专题51 椭圆、双曲线、抛物线(知识梳理)(新高考地区专用)(原卷版)

专题51 椭圆、双曲线、抛物线（知识梳理）
一、椭圆
(一)椭圆的基本定义和方程
1、椭圆的定义：设1F 、2F 是定点，P 为动点，则满足a PF PF 2||||21=+(a 为定值且||221F F a >)的动点P 的轨迹称为椭圆，符号表示：a PF PF 2||||21=+(||221F F a >)。

注意：当||221F F a =时为线段21F F ，当||221F F a <时无轨迹。

2、椭圆的方程及图像性质 定义方程 a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ a c y x c y x 2)()(2222=-++++
标准方程 12222=+b y a x (0>>b a ) 12
2
22=+b x a y (0>>b a ) 一般方程 122=+ny mx (0>m ，0>n ，n m ≠) 推导方程 22
222
b x a
b y +-=(0>>b a )
22
222
a x b
a x +-=(0>>
b a )
范围
][a a x ，-∈，][b b y ，-∈
][b b x ，-∈，][a a y ，-∈
图形
焦点坐标 焦点在x 轴上)0(1，c F -，)0(2，c F
焦点在y 轴上)0(1c F -，，)0(2c F ，
对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)
顶点 )0(1，a A -、)0(2，a A 、)0(1b B -，、)0(2b B ， )0(1a A ，、)0(2a A -，、)0(1，b B 、)0(2，b B -
轴 长轴21A A 的长为：a 2(a 为长半轴) 短轴21B B 的长为：b 2(b 为短半轴)
离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率a
c
e =
，)10(，∈e ， e 越大越扁，e 越小越圆
焦距：c F F 221=
222c b a +=
3、椭圆122=+b
y a x (0>>b a )的图像中线段的几何特征(如图)：
(1)a PF PF 2||||21=+，e PM PF PM PF ==2211，c
a PM PM 2
212||||=+； (2)a BF BF ==||||21，c OF OF ==||||21，2221||||b a B A B A +=+； (3)c a F A F A -==||||2211，c a F A F A +==||||1221。

例1-1．判断：
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。

(×)
(2)在椭圆定义中，将“大于||21F F ”改为“等于||21F F ”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段。

(√)
(3)到两定点)02(1，
-F 和)02(2，F 的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆。

(×)
例1-2．椭圆192522=+y x 的焦点在 轴上，焦距为 ；椭圆116
922=+y x 的焦点在 轴上，焦点坐标
为 。

例1-3．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)20(，，则m 的值为( )。

A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
例1-4．方程1)1(2
2
22=-+
m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 。

(二)椭圆中的焦点三角形：若1F 、2F 是椭圆122
22=+b y a x (0>>b a )的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则
21F PF ∆称为椭圆的焦点三角形，其周长为)(2c a +。

1、相关性质：
(1)当点P 从A 点逆时针运动时，21PF F ∠由锐角逐渐增大，到达B 点时达到最大，过了y 轴之后又逐渐减小。

(2)设θ=∠21PF F ，则221cos e -≥θ。

(当且仅当动点为短轴端点时取等号)
(3)设θ=∠21PF F ，则焦点三角形的面积2
tan 221θ
⋅=∆b S PF F 。

证明：设m PF =||1，n PF =||2，由余弦定理得2221224||cos 2c F F mn n m ==θ⋅-+，
由椭圆定义得a n m 2=+，带入得θ
+=
θ+-=cos 12cos 1)(22
22b c a mn ， 2
tan cos 1sin sin 212221θ⋅=θ+θ⋅=θ⋅=
∆b b mn S PF F (最大值为bc )。

(4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2。

(5)22122b PF PF c b ≤⋅≤-，最大值与最小值之差一定是2c 。

证明：1PF 的坐标为)(y x c ---，，2PF 的坐标为)(y x c --，
，根据椭圆方程12222=+b
y a x 得22222
b x a b y +-=， 222222
22222
2
2
21)1()()()()(c b x a
c c b x a b y x c y y x c x c PF PF -+⋅=-+⋅-=++-=-⋅-+-⋅--=⋅，
当0=x 时取最小值为22c b -，当a x ±=时取最大值为2b 。

2、解与焦点三角形21F PF ∆(P 为椭圆上的点)有关的计算问题
(1)与焦点三角形21F PF ∆有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式2121sin ||||2
121PF F PF PF S PF F ∠⋅⋅=
∆相结合的方法进行计算解题。

(2)将有关线段||1PF 、||2PF 、||21F F ，有关角21PF F ∠(2121BF F PF F ∠≤∠)结合起来，建立||||21PF PF +和
||||21PF PF ⨯之间的关系。

例1-5．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。

A 、)21
0(， B 、)220(， C 、)2221(， D 、)122(，
例1-6．椭圆164
1002
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足 6021=∠PF F ，则=∆21PF F S ( )。

A 、
3316 B 、3
64 C 、33
64 D 、3391
例1-7．椭圆136
1002
2=+y x 上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则21PF F ∆的面积是 。

(三)直线与椭圆
1、由方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=++1
02222b y a
x C By Ax ，消去y 导成02=++n qx px (0≠p )，判断pn q 42-=∆。

2若)(000y x P ，在椭圆12222=+b y a x (0>>b a )上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=⋅+⋅b y
y a x x 。

3、弦长公式：若直线f kx y +=与椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )的交点为)(11y x A ，、)(22y x B ，，则||AB 叫
做弦长。

21221222122212214)(1)(1)()(||x x x x k x x k y y x x AB -+⋅+=-⋅+=-+-=
||12p k ∆
⋅
+=(韦达定理)||11)(112122212y y k
y y k -⋅+=-⋅+=。

说明：∆与||p 分别是直线与曲线方程联立方程组消去y 后的根的判别式及2x 项的系数。

4、焦点弦公式：椭圆方程为122
22=+b
y a x (0>>b a )，半焦距为0>c ，焦点)0(1，c F -、)0(2，c F ，设过1F 的
直线l 的倾斜角为α，l 交椭圆于两点)(11y x A ，、)(22y x B ，，求弦长||AB 。

解：连结A F 2、B F 2，设x A F =||1、y B F =||1，由椭圆定义得x a A F -=2||2、y a B F -=2||2，
由余弦定理得2
2
2
)2(cos 22)2(x a c x c x -=α⋅⋅-+，整理可得α
⋅-=cos 2
c a b x ，
同理可求α
⋅+=cos 2
c a b y ，则α-=
α⋅++α⋅-=+=222222cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB ； 同理可求焦点在y 轴上的过焦点弦长为α
-=2
222
sin 2||c a ab AB (a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距)。

结论：椭圆过焦点弦长公式：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧α⋅-α
⋅-=)(sin 2)(cos 2||2222
2222
轴上焦点在轴上焦点在y c a ab x c a ab AB 。

5、椭圆的斜率公式：
(1)过椭圆上12222=+b
y a x (0>>b a )上一点)(00y x ，的切线斜率为020
2y a x b -。

(2)直线l (不平行于y 轴)过椭圆122
22=+b y a x (0>>b a )上两点A 、B ，AB 中点为)(00y x P ，，则
22
a
b k k OP
AB -=⋅。

证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112
2
222222
1221b y a x b
y a x ， 上式减下式得02
2
2
2122221=-+-b y y a x x ，∴222
2212221a b x x y y -=--， ∴
220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22
a
b k k OP AB -=⋅。

特殊的：直线l (存在斜率)过椭圆122
22=+b x a y (0>>b a )上两点A 、B ，AB 中点为)(00y x P ，，则有
22
b
a k k OP
AB -=⋅。

证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112
2
222222
1221b x a y b
x a y ，
上式减下式得02
2
2
2122221=-+-b
x x a y y ，∴22222
12221b a x x y y -=--， ∴
220021210021212121212122b a x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22
b
a k k OP AB -=⋅。

(3)若A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，当PA 、PB 的
斜率PA k 和PB k 都存在时，有22
a
b k k PB
PA -=⋅。

证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，
则PA OM //，∴有PA OM k k =， 由椭圆中点弦斜率公式得：22a b k k PB
OM -=⋅，∴22
a
b k k PB PA -=⋅。

(4)若1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆122
22=+b y a x (0>>b a )上的左、右、上、下顶点，P 是椭圆上除了1A 、2A 、
1B 、2B 的任意一点，则222
1a b k k PA PA -=⋅，22
21a
b k k PB PB -=⋅。

(5)椭圆122
22=+b
x a y (0>>b a )与斜率为k 的直线l 相交于A 、B 两点，AB 的中点为)(00y x M ，，则有
020
20=+k b
y a x 。

例1-8．已知椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )的一条弦所在的直线方程是03=+-y x ，弦的中点坐标是
)12(，-M ，则椭圆的离心率是( )。

A 、
55 B 、2
1
C 、22
D 、23 例1-9．过椭圆14
162
2=+y x 内的一点)12(，M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程。

例1-10．已知椭圆C 的焦点)022(1，
-F 和)022(2，F ，长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

二、双曲线
(一)双曲线的基本定义和方程
1、双曲线的定义：把平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数a 2(||2021F F a <<)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2、曲线的标准方程： 定义方程 a y c x y c x 2|)()(|2222=+--++ a c y x c y x 2|)()(|2222=-+-++
标准方程 12222=-b y a x (0>a ，0>b ) 122
22=-b
x a y (0>a ，0>b ) 一般方程 122=+ny mx (0<⋅n m )
范围
a x ≥||，R y ∈ a y ≥||，R x ∈
图形
焦点坐标 焦点在x 轴上)0(1，c F -，)0(2，c F
焦点在y 轴上)0(1c F -，，)0(2c F ，
对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点(这个对称中心称为双曲线的中心)
顶点
)0(1，a A 、)0(2，a A -、)0(1b B ，、)0(2b B -， )0(1a A ，、)0(2a A -，、)0(1，b B 、)0(2，b B -
实轴21A A 长a 2(a 为实半轴)，虚轴21B B 长b 2(b 为虚半轴)，焦距c F F 221=，222b a c += 渐近线 0=±ay bx (或x a
b
y ±=)
0=±by ax (或x b
a
y ±=)
离心率
双曲线的焦距与长轴长度的比：a
c
e =
，)1(∞+∈，e ，e 越大开口越大 (1)6|)5()5(|2222=+--++y x y x ； (2)6)4()4(2222=+--++y x y x 。

例2-2．已知双曲线122=-y x ，点1F 、2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则
||||21PF PF +的值为 。

例2-3．过双曲线822=-y x 的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 两点，若7||=PQ ，2F 是双曲线的
右焦点，则Q PF 2∆的周长为 。

例2-4．已知双曲线的方程为13
22
=-y x ，则焦点到渐近线的距离为 。

例2-5．若双曲线以椭圆19
162
2=+y x 的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程
为 。

例2-6．双曲线C ：122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距为
( )。

A 、2
B 、22
C 、4
D 、24 (二)双曲线焦点三角形的几个性质
设若双曲线方程为122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )，1F 、2F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则
有：
性质1、若θ=∠21PF F ，则2
cot 221θ
⋅=∆b S PF F ；特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆。

证明：设m PF =||1，n PF =||2，由余弦定理得2221224||cos 2c F F mn n m ==θ⋅-+，
mn n m n m 2)(222+-=+，由双曲线定义得a n m 2||=-，带入得222444)cos 1(2b a c mn =-=θ-，
θ-=cos 122b mn ，2
cot cos 1sin sin 212221θ
=θ-θ=θ⋅=∆b b mn S PF F 。

性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与21F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线122
22=-b
y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F 、1PF 、2PF 于点A 、B 、C ，双曲线的两
个顶点为1A 、2A ，则|||||||||||||||||212121AF AF CF BF PF PF -=-=-，∵a PF PF 2||||||21=-，
∴a AF AF 2||||||21=-，∴A 在双曲线上，又A 在21F F 上，∴A 在双曲线与x 轴的交点，即点1A 、2A 。

性质3、双曲线离心率为e ，其焦点21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则
e AP BA =|
||
|。

证明：由角平分线性质(三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例)得
e a
c
P
F P F B F B F P
F B F P
F B F AP
BA ==
--=
=
=
2221212211。

性质4、双曲线的焦点21F PF ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，当点P 在双曲线右支上时，有
112cot 2tan +-=
β⋅αe e ；当点P 在双曲线左支上时，有1
1
2tan 2cot +-=β⋅αe e 。

证明：由正弦定理知
β
-α-=
β+α=
β
=
α
sin sin )
sin(sin sin 122112P F P F F F P F P F ，∴
)
sin(2sin sin 2β+α=
β-αc
a ， ∴2
sin 2cos 2cos 2sin 2sin
2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 2sin
2sin sin )sin(β
α-βαβ
α+βα=β-αβ+α=β-αβ+αβ+αβ+α=β-αβ+α=
=a c e ， 分子分母同除以2sin 2cos βα，得12
cot 2tan 1
2cot 2tan
-βα+β
α=e ，得112cot 2tan +-=β⋅αe e 。

例2-7．设1F 、2F 分别为双曲线122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得
b PF PF 3||||21=+，ab PF PF 4
9
||||21=
⋅，则双曲线的离心率为( )。

A 、
34 B 、35 C 、4
9
D 、3 例2-8．已知1F 、2F 是双曲线C ：14
2
2
=-y x 的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使
得0)(22=⋅+P F OF OP ，O 为坐标原点，且||||21PF PF λ=，则λ的值为( )。

A 、
31 B 、2
1
C 、2
D 、3 (三)双曲线中点弦的斜率公式
性质1、直线l (不平行于y 轴)过双曲线122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )上两点A 、B ，
其中AB 中点为)(00y x P ，，
则有22
a
b k k OP
AB =⋅。

证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1
12
2
222222
1221b y a x b
y a x ，上式减下式得022
22122221=---b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y =--， ∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y =⋅--=⋅--=++⋅--，∴22
a
b k k OP AB =⋅。

特殊的：直线l (存在斜率)过椭圆122
22=-b x a y (0>a ，0>b )上两点A 、B ，AB 中点为)(00y x P ，，则
22
b
a k k OP
AB =⋅。

证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1
122
222222
1221b x a y b
x a y ，上式减下式得022
22122221=---b x x a y y ，∴2222212221b a x x y y =--， ∴220021210021212121212122b a x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y =⋅--=⋅--=++⋅--，∴22
b
a k k OP AB =⋅。

性质2、若A 、B 是双曲线122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )上关于原点对称的两点，P 是双曲线上任意一点，
当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22
a
b k k PB
PA =⋅。

证明：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则PA OM //，∴有PA OM k k =， 由椭圆中点弦斜率公式得：22a b k k PB
OM =⋅，∴22
a
b k k PB PA =⋅。

性质3、若1A 、2A 是双曲线122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )上的左、右顶点，P 是双曲线上除了1A 、2A 的任
意一点，则22
2
1a
b k k PA PA =⋅。

(四)双曲线的弦长公式
1、双曲线的焦点弦长公式：设双曲线122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )其中两焦点坐标为)0(1，
c F -、)0(2，c F ，过1F 的直线l 的倾斜角为α，交双曲线于两点)(11y x A ，、)(22y x B ，。

则弦长||AB 为：
焦点在x 轴上的焦点弦长：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π<α<-π<α≤-α-π<α<α-=)arctan arctan 0(cos 2)arctan (arctan cos 22
222
2222a b a b a c ab a b
a b c a ab AB 或，
焦点在y 轴上的焦点弦长：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-π<α<-απ<α<-π<α≤α-=)
arctan (arctan sin 2)arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a b
a b c a ab AB 或， 其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角。

2、双曲线的普通弦长公式：设直线l ：f kx y +=与双曲线122
22=-b
y a x (0>a ，0>b )交于)(11y x A ，、
)(22y x B ，，且l 斜率为k (1
21
2x x y y k --=
)，则：
21221221222122212214)(1||1)(1)()(||x x x x k x x k x x k y y x x AB -+⋅+=-⋅+=-⋅+=---=
||12p k ∆⋅
+=(韦达定理)||1
1)(112122212y y k
y y k -⋅+=-⋅+=。

说明：∆与||p 分别是直线与曲线方程联立方程组消去y 后的根的判别式及2x 项的系数。

例2-9．已知双曲线E 的中心为原点，)03(，F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为)1512(--，N ，求双曲线E 的方程。

例2-10．已知双曲线12
2
2
=-y x ，经过点)11(，M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线于A 、B 两点且点M 是
线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由。

三、抛物线
1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的图形和性质：
(1)顶点是焦点向准线所作垂线段的中点；
(2)焦准距：p F F ='；
(3)通径：过焦点垂直于轴的弦长为p 2； (4)顶点平分焦点到准线的垂线段：2
p F O OF =
'=。

3、抛物线标准方程的四种形式：px y 22=，px y 22-=，py x 22=，py x 22-=。

特点：焦点在一次项的轴上，开口与“p 2±”方向同向。

4、抛物线px y 22=的图像和性质：
(1)焦点坐标是：)02(，p
； (2)准线方程是：2
p x -=； (3)焦半径公式：20p x PF +=；
(4)抛物线px y 22
=上的动点可设为)2(02
y p
y P ，或)22(2pt pt P ，。

5、一般情况归纳：
方程
图象
焦点 准线 定义特征
kx y =2
0>k 时开口向右 )04(，k 4k x -= 到焦点)04(，k
的距离=到准线4
k x -=的距离 0<k 时开口向左 ky x =2
0>k 时开口向上 )40(k ， 4k y -= 到焦点)40(k
，的距离=到准线4
k y -=的距离 0<k 时开口向下
6、焦点弦的相关公式：直线l 经过抛物线px y 2=(0>p )的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，其中)(11y x A ，、)(22y x B ，。

(1)焦点弦长公式：过焦点弦长p x x p
x p x AB ++=+++
=21212
2||。

证明：p x x p
x p x B B BB A A AA BB AA AB ++=+++=+++=+=2121211212112
2||||||||||||||； (2)以||AB 为直径的圆必与抛物线的准线相切。

证法：设抛物线方程为px y 22=(0>p )，则焦点)02(，p
F ，准线l ：2
p x -=，
设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，
A 、
B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，
则||||||||||11AB BF AF BB AA =+=+，又||2||||111MM BB AA =+， ∴||2
1
||1AB MM =
，即||1MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1MM l ⊥，∴命题成立。

(3)4
2
21p x x =⋅，221p y y -=⋅的值。

证法一：设直线l 的方程为)2(p x k y -=，与抛物线方程px y 22=(0>p )联立可得：⎪⎩
⎪
⎨⎧-==)
2(22p x k y px
y ，
则px p x k 2)]2
([2=-，化简得04)2(222
22=⋅++-p k x p p k x k ，则4221p x x =
⋅，
又4212212221
422p x x p px px y y =⋅⋅=⋅=⋅，且021<⋅y y ，则221p y y -=⋅。

证法二：设直线l 的方程为2p my x +=，与抛物线方程px y 22=(0>p )联立可得：⎪⎩
⎪
⎨⎧+
==222p my x px
y ，
则)2
(22
p my p y +=，化简得0222=--p pmy y ，则2
21p y y -=⋅，又4422222
221222121p p y y p y p y x x =⋅=⋅=⋅。

(4)直线1AB 与直线1BA 必经过原点O 。

证法一：设AB ：2
p
my x +
=，代入px y 22=，得0222=--p pmy y ， 由韦达定理，得2
p y y B A -=⋅，即A
B y p y 2
-=，
∵x BB //1轴，且1B 在准线2
p x -=上，∴)2(1B y p
B ，-，
则OA A A
A B OB k x y y p p y k ===-=
22
1，故直线AC 经过原点O 。

证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为F '，过A 作l AA ⊥1，垂足为A '，则11////BB F F AA '，
连结1AB 交F F '于点N ，则
||||||||||||111AB BF AB N B AA N F =='，|
||
|||||1AB AF BB NF =
， ∵||||AD AF =，||||1BB BF =，∴|||
||
|||||||||||11NF AB BB AF AB BF AA F N =⋅=⋅=
'，
即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O 。

(5)F B F A 11⊥，即2
11π
=
∠FB A 。

证明：)22(
121y p p y FA ，-=，)2
2(22
2y p p y FB ，-=，∵A 、B 、F 三点共线， ∴
12
2122212
21221y p y y p y p y y p -=-，∴221p y y -=⋅， ∴0)()(2122111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA ，，，∴F B F A 11⊥，即2
11π
=∠FB A 。

(6)F F B F F A '∠='∠。

证明：)(11y x A ，、)(22y x B ，，)02
(，p
F -'，则2
11p x y k F A +
=
'，2
22p x y k F B +
=
'，
则)
2
)(2()2()2(2
2
2112212211p x p x p x y p x y p x y p x y k k F B F A +++++
=
+
+
+
=
+''
)
2
)(2(2
222)2)(2()22()22(212212122121212221p x p x py p y y py p y y p x p x p p y y p p y y ++++++
+++++= 0)
2
)(2()22)(()2)(2()22)(()2)(2()(2)(22122121212121212121=+++-+=++++=+++++=p x p x p p p y y p x p x p p y y y y p x p x y y p y y p y y ， ∴F F B F F A '∠='∠。

(7)
p
BF AF 2||1||1=+。

证明：
)
2
)(2(||||||||||1||12
121p x p x p
x x BF AF BF AF BF AF ++++=
⋅+=+ p k
k p k k p p k p p k p p p k p p k p x x p x x p x x 2)
12
(2)12
(422424)(222
2222222222212121=++++=++⋅+++=+++++=。

例3-1．斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。

例3-2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线px y 22=(0>p )上，求这个正三角形的边长。

例3-3．已知A 、B 是抛物线px y 22=(0>p )上的两点，满足OB OA ⊥(O 为坐标原点)。

求证： (1)A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值； (2)直线AB 经过一个定点。

例3-4．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线x y =2上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离。

例3-5．已知抛物线px y 22=(0>p )，点)32(，A ，F 为焦点，若抛物线上的动点到A 、F 的距离之和的最小值为10，求抛物线方程。

例3-6．已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点。

(1)求证：OB OA ⊥；
的面积等于10时，求k的值。

(2)当OAB。