用好三角形中的一个“铁三角”
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．
所以ｃ ２ ＝ 舍去， ＝ 口ｓ Ｂ ６ 所以 去 ｃｉ ＝ ． ｎ
由此可 以看 出 ，解 三角 形 时 应 当 心增 解 ．利 用 铁 三 角 检 验 增解 ，剔 除 增解 是 最 有 效 的 办法 ．那 么 怎样 用好 铁 三 角解 三 角 形 呢？ 由该 结论 的表 示 形 式 可知 把 握 好 三 个等 价 关 系 是 关键 ．下 面例 说 这 三 个 等价 关系 在剔 除 增解 的应 用 ． １ ．大 边对 大 正弦 值
解 １ｃｓ ，可得 Ｂ （，／，ｓ ＝ ２ ￣ ｏＢ＝ １ ｅ０ ＂ ｉ 西 ７ ） ｎ １
．
从上述三个例子可知 ，解三角形 时，如果出现 多解应该提高警觉 ，有必要考究是否有增解 ，用好 这个铁三角 ，抓住三个等价关系便能有效 的找出增 解 ，将其 舍去 ，防止错解 ．
Ｉｓ ￣ ｉ ！ ｎＡ：３
２ １ 年 第 ４期 ００
福 建 中学数 学
４ ３
当Ａ Ｂ与 Ｘ 垂直 时 ，Ｘ ＝ ＝２， 轴 ． ， 求得 Ｍ（，） ８ ０，
Ａ 不与 轴垂 Ｂ 直时，ｌＹ －２ ２ Ｙ 三至
２
Ｙ，
也满 足 上述 方程 ．
’
．
．
点 的轨 迹 方程 是 （ 一６ 一 ＝４． ） Ｙ
一
；，ｂ＝ ｃ ａ ，求 ．
解 由ｃｓ — ） ｃｓ ， ｏ（ Ｃ ＋ ｏ Ｂ＝ Ａ
Ｂ： 一（ ＋Ｃ），
连 串 的疑 惑 令 人如 坠 云雾 ．为 了拨 开 迷 雾 ，修 缮
解法 ，下 面 我们 先来 看 看 三 角形 中边 、 角 、 角 的正 弦值 三者 的关 系 的一 个 结论 ，不妨 称 之 为 三 角形 中
如 引例 ．
．
由正弦定理可得 ６ ＿＿＿ 而 ：ａｉＢ：√ ｓ ｎ
由余 弦 定理 可知 １ ８ ２ × ４ ＣＳ５ ， ０＝１＋ｃ 一 ｃ ３ ２×Ｏ ４。
即 Ｃ 一 ｃ ＝０，解 得 Ｃ ６ ＋８ ＝４或 Ｃ ＝２，
所 以 Ｓ＝￣ａ ｓ Ｂ＝６ Ｓ＝ １ ｃｉ Ｂ＝３． ｃｉ ｎ 或 口 ｓ ｎ
， 、
２ ．大 边对 大 角 例 １ （０ ９年 高考 全 国卷 ）设 Ａ Ｂ ２０ Ａ Ｃ的 内角 、
Ｂ、 Ｃ的对 边 长分 别 为 ａ、ｂ、 Ｃ ｏ（ ，ｃ ｓ Ａ—ｃ ＋ Ｏ Ｂ ） ＣＳ
＝
显 然该 三 角 形 只 有一 个 解 ， 因为 已 知 了角 的 余弦 值 ， 即给 定 了角 的大小 ， 给 定角 和边 ａ 又 所 以Ａ Ｂ Ａ Ｃ是 唯一确 定 的 ，有 的同学 就纳 闷了 ，老 师不 是说 关于 边 Ｃ 的二 次 方程 有几 个正 根 ， 角形 就 有几 三 个解 吗 ，怎 么还 会 增 解 呢 ？ 到 底应 该 舍 去 哪 一 个？
由 ｂ ＝ａ 。 ｃ，则பைடு நூலகம்ｂ 口 或６≤ Ｃ，
２ １ 年第 ４ ００ 期
・ ．
‘ｉＢ＞ｓ Ａ， ．Ｂ＞Ａ，则 Ａ为锐 角 ， ｓ ｎ ｉ ｎ ・ ．
．
于 是 Ｂ≤ 或 Ｃ，所 以 Ｂ： ．
・ ．
ｃｏｓ
：
，
点评 本题 得分 易 ，得 满分 难 ． 己知 条 件 ｂ ＝ａ ｃ， 隐 含 着 ｂ 或６ 口 ｃ，从 而 Ｂ 或８≤Ｃ，大 部分 考 生没 有注 意到 ，因而 产 生增 解 ，导致 失误 ． ３ ．大 角对 大 正弦值
的铁 三 角 ．
得 ｃｓ１一 ） ｏ（ ｃ） ， ｏ（ Ｃ 一ｃｓＡ＋ ＝ ４ 所 以 ｓ Ａｓ Ｃ ｉ ｉ ｎ ｎ ・
结 论 Ａ＞Ｂ营 ａ＞ｂ； Ａ＞Ｂ铮 ｓ ｉ ｎＡ＞ｓ Ｂ ； ｉ ｎ
ａ＞ｂ ｓｎＡ ＞ ｓｎＢ ． ｉ ｉ
又 由 ｂ ＝ａ Ｃ，可得 ｓ ｉ Ｂ＝ｓ Ａ ｉ Ｃ， ｎ ｉ ｓ ｎ ｎ
， ∈０刀 （ ， ），得 ｃｓ ：± ． 。
修缮解法 因为 ｓ Ｃ： ｉ Ａ＋ ： ｉ ｎ ｓ （ ） ｎ
则 ｓ Ｃ＞ｓ Ｂ，于 是 ｃ ｉ ｎ ｉ ｎ ＞ｂ．
，
口 ， ， ｃｓ ：３５ 。Ａ：
这 是 学 了 解 三 角 形 这一 章 ，笔 者 布 置 的一 道作 业 ，有 些 学 生是这 么做 的 ： 解 ￣ ｓ ｌｏ Ａ＝ ｃ 可得 ｓ Ａ＝ ｉ ｎ
略证
＞ ａ＞ｂ ２ ｓ Ａ＞２ ｎ Ｂ § Ｒｉ ｎ Ｒｓ Ｂ ｉ
ｓｎＡ ＞ｓｎＢ ． ｉ ｉ
所 ｎ Ｂ＝ ，ｉ ｉＢ＝ ２ ￣ｓ ｎ ２ ，
于 是 ＝ｚ或 ｚ ２
．
由结 论可 知 三角 形 中边 、 角、 角 的正弦 值 大小
一
致 ，相 互制 约 ．
福建 中学数学
将 （一 代入上 （ 式， —ｚ ＝ Ｘ ） ｌ ）
化 简得 ｆ 一 ） 一 Ｘ ６ Ｙ ＝４．
用好三 角形 中的一个 “ 铁三 角 ＂
陈东 生 引例 广 东 省澄 海 中学 （ ８０ ５ ０ ） １ ５
（０９年 北京模 拟 ）在 Ａ Ｂ ２０ Ａ Ｃ中 ，Ｂ＝４。 ５， ，求 ｃ的面 积 ．
即Ｙ— ２ （ 一 ２． ｌ Ｙ ＝— ）
Ｘ 一
点 睛 探求 轨迹 问题 中 ，涉 及到 弦 的 中点 、 弦 的
斜率 、 点 坐标 等 问题 ， 用 点差 法进 行“ 而不 解” 端 常 设 、 “ 石 攻玉 ”可 减少 运 算量 ， 借 ， 是一条 解 题 思路 的捷径 ．
．
．
ｃｓ ｏ Ｃ＝一 ｏ（ Ｂ ｃｓ Ａ＋ 、
—
： ｓｎＡ ｎＢ —ｃ ｓＡＣ Ｓ ： — ｉ ｓ ｉ ｏ Ｏ Ｂ １ ６
．
６ ５
点评 本题 是一 道经 典 的易 错题 ，学 生通 常忽 略 了三 角 形 的一 个特 有 的性 质 ：大 角对 大 正 弦值 ，而
ｏ ： ；，导致错误． ｓ 例２ ，Ｃ ｓ Ａ ； ｃ Ｂ ， ｏ ． 产生增解ｃ Ａ 一 ＡＢ 中，ｉ ＝ ，ｏ ＝ 求ｃ Ｃ ４ ｎ ｓ ｓ
所以ｃ ２ ＝ 舍去， ＝ 口ｓ Ｂ ６ 所以 去 ｃｉ ＝ ． ｎ
由此可 以看 出 ，解 三角 形 时 应 当 心增 解 ．利 用 铁 三 角 检 验 增解 ，剔 除 增解 是 最 有 效 的 办法 ．那 么 怎样 用好 铁 三 角解 三 角 形 呢？ 由该 结论 的表 示 形 式 可知 把 握 好 三 个等 价 关 系 是 关键 ．下 面例 说 这 三 个 等价 关系 在剔 除 增解 的应 用 ． １ ．大 边对 大 正弦 值
解 １ｃｓ ，可得 Ｂ （，／，ｓ ＝ ２ ￣ ｏＢ＝ １ ｅ０ ＂ ｉ 西 ７ ） ｎ １
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从上述三个例子可知 ，解三角形 时，如果出现 多解应该提高警觉 ，有必要考究是否有增解 ，用好 这个铁三角 ，抓住三个等价关系便能有效 的找出增 解 ，将其 舍去 ，防止错解 ．
Ｉｓ ￣ ｉ ！ ｎＡ：３
２ １ 年 第 ４期 ００
福 建 中学数 学
４ ３
当Ａ Ｂ与 Ｘ 垂直 时 ，Ｘ ＝ ＝２， 轴 ． ， 求得 Ｍ（，） ８ ０，
Ａ 不与 轴垂 Ｂ 直时，ｌＹ －２ ２ Ｙ 三至
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解法 ，下 面 我们 先来 看 看 三 角形 中边 、 角 、 角 的正 弦值 三者 的关 系 的一 个 结论 ，不妨 称 之 为 三 角形 中
如 引例 ．
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由正弦定理可得 ６ ＿＿＿ 而 ：ａｉＢ：√ ｓ ｎ
由余 弦 定理 可知 １ ８ ２ × ４ ＣＳ５ ， ０＝１＋ｃ 一 ｃ ３ ２×Ｏ ４。
即 Ｃ 一 ｃ ＝０，解 得 Ｃ ６ ＋８ ＝４或 Ｃ ＝２，
所 以 Ｓ＝￣ａ ｓ Ｂ＝６ Ｓ＝ １ ｃｉ Ｂ＝３． ｃｉ ｎ 或 口 ｓ ｎ
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显 然该 三 角 形 只 有一 个 解 ， 因为 已 知 了角 的 余弦 值 ， 即给 定 了角 的大小 ， 给 定角 和边 ａ 又 所 以Ａ Ｂ Ａ Ｃ是 唯一确 定 的 ，有 的同学 就纳 闷了 ，老 师不 是说 关于 边 Ｃ 的二 次 方程 有几 个正 根 ， 角形 就 有几 三 个解 吗 ，怎 么还 会 增 解 呢 ？ 到 底应 该 舍 去 哪 一 个？
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・ ．
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的铁 三 角 ．
得 ｃｓ１一 ） ｏ（ ｃ） ， ｏ（ Ｃ 一ｃｓＡ＋ ＝ ４ 所 以 ｓ Ａｓ Ｃ ｉ ｉ ｎ ｎ ・
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又 由 ｂ ＝ａ Ｃ，可得 ｓ ｉ Ｂ＝ｓ Ａ ｉ Ｃ， ｎ ｉ ｓ ｎ ｎ
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这 是 学 了 解 三 角 形 这一 章 ，笔 者 布 置 的一 道作 业 ，有 些 学 生是这 么做 的 ： 解 ￣ ｓ ｌｏ Ａ＝ ｃ 可得 ｓ Ａ＝ ｉ ｎ
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＞ ａ＞ｂ ２ ｓ Ａ＞２ ｎ Ｂ § Ｒｉ ｎ Ｒｓ Ｂ ｉ
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于 是 ＝ｚ或 ｚ ２
．
由结 论可 知 三角 形 中边 、 角、 角 的正弦 值 大小
一
致 ，相 互制 约 ．
福建 中学数学
将 （一 代入上 （ 式， —ｚ ＝ Ｘ ） ｌ ）
化 简得 ｆ 一 ） 一 Ｘ ６ Ｙ ＝４．
用好三 角形 中的一个 “ 铁三 角 ＂
陈东 生 引例 广 东 省澄 海 中学 （ ８０ ５ ０ ） １ ５
（０９年 北京模 拟 ）在 Ａ Ｂ ２０ Ａ Ｃ中 ，Ｂ＝４。 ５， ，求 ｃ的面 积 ．
即Ｙ— ２ （ 一 ２． ｌ Ｙ ＝— ）
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点 睛 探求 轨迹 问题 中 ，涉 及到 弦 的 中点 、 弦 的
斜率 、 点 坐标 等 问题 ， 用 点差 法进 行“ 而不 解” 端 常 设 、 “ 石 攻玉 ”可 减少 运 算量 ， 借 ， 是一条 解 题 思路 的捷径 ．
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ｃｓ ｏ Ｃ＝一 ｏ（ Ｂ ｃｓ Ａ＋ 、
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： ｓｎＡ ｎＢ —ｃ ｓＡＣ Ｓ ： — ｉ ｓ ｉ ｏ Ｏ Ｂ １ ６
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点评 本题 是一 道经 典 的易 错题 ，学 生通 常忽 略 了三 角 形 的一 个特 有 的性 质 ：大 角对 大 正 弦值 ，而
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