整式章节因式分解篇

【本讲教育信息】
教学内容：因式分解
一、课程标准要求分析
初中已经学习整式的概念和运算，会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）
进行因式分解。

二、衔接知识内容分析
因式分解是高中学习的一个很重要数学工具，在高中函数、不等式、数列和解析几何中等学习中都是不可少的内容。

初中学习的提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解，到高中是很不够用的，因而为了能很好地进入高中学习，顺利地完成高中学习任务，我们需要补充一些因式分解的一些知识和内容。

三、知识内容精讲、精选例题
因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方
程等知识的基础，现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面有广泛的应用。

同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。

因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一。

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形，我们已
经知道，在多项式的乘法运算中，对于某些常见的特殊的多项式相乘的运算结果，我们把它们当作公式加以熟记，遇到类似的多项式相乘时，就可以直接运用公式计算。

1．平方差公式22()()a b a b a b
+-=- 2．完全平方公式222
()2a b a ab b ±=±+
3．立方和(差)公式2233()()a b a ab b a b ±+=±
4．完全立方公式33223()33a b a a b ab b ±=±+±
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解是多项式乘法的逆
推，常用的因式分解的方法有：
l. 提取公因式法()am bm m a b +=+
2．公式法运用乘法公式进行逆推．
因式分解的方法还有不少，如：
3．分组分解法把多项式分组后，在各组分解因式的基础上再完成整个多项式的因式分解，这种方法叫分组分解法．
4．十字相乘法 利用等式2
()()()mnx mb na x ab mx a mx b +++=++来分解因式．
5．求根法 借助求方程的根的方法分解因式．
6．待定系数法．
熟练地进行整式的恒等变形是继续学习高中数学的基本技能，上面所列的后面几个内容是对初中教材的补充，建议同学能理解和初步熟练。

要特别注意的是，上面各式中的字母有广泛的意义，它可以表示数，字母，也可以表示一个单项式或一个多项式。

例1 分解下列各多项式： 34(1)381;a b b - （2）76a ab -
分析 （1）中多项式为两项式，观察有公因式3b ，应先提取公因式，再进一步分解；
（2）中提取公因式a 之后，括号内出现66a b -，可看成32322323()()()().a b a b --或
解 3433(1)3813(27)
a b b b a b -=- 223(3)(39).b a b a ab b =-++
(2) 7666
()a ab a a b -=- 3333()()a a b a b =-+
2222()()()()a a b a ab b a b a ab b =-+++-+
2222()()()()a a b a b a ab b a ab b =-+++-+
由于多项式因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，
我们就得到：
3322()();a b a b a ab b +=+-+ 3322()()
a b a b a a b b -=-++ 这就是说，两个数的立方和（或者差），等于这两个数的和（或差）乘以它们的平方和
它们积的差（或者和），这两个公式分别就是立方和公式与立方差公式，运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式分解因式。

例2 把2105ax ay by bx -+-分解因式.
分析把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样就可继续提公因式．
解 21052(5)(5)ax ay by bx a x y b x y -+-=---(5)(2).x y a b =--
说明 用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法，本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，读者可以试一试。

由此你能得到什么规律?
对四项以上的多项式，如果不能直接用公式法分解，且无公因式可以提取，该怎么分解
呢?如多项式,ma mb na nb +++这是四项式，若把它们中的某两项为一组，可以分成两组，前2项为一组，并提出公因式m ，后两项为另一组，可提取出公因式n ，由于()(),m a b n a b ++与又有公因式a b +，于是可提出a b +，从而得到()()a b m n ++ (还可以进行其他分组吗?)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
例3 2222()()ab c d a b cd ---把分解因式.
分析按照原先分组方式，无公因式可以提取，不能直接因式分解，需要把括号打开后
重新分组，然后再分解因式．
解 2222()()ab c d a b cd ---2222
abc abd a cd b cd =--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()ac bc ad bd bc ad =-+-
()().bc ad ac bd =-+
说明 本题还可以展开后按一、四项与二、三项分别为一组．
由上例子可以看出：分组时运用了加法结合律；而为了合理分组(能因式分解)，我们先运用了加法交换律．分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
我们来讨论2
()x p q x pq +++这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是
(1)二次项系数是1；
(2)常数项是两个数之积；
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．
对这个式子先去括号，得到2()x p q x pq +++=2x px qx pq +++于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即 2()x p q x pq +++=2()()x px qx pq ++()()x x p q x p =+++=()()x p x q ++
因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式
例4 把下列各式分解因式
（1）276x x -+ （2）2
1336x x ++
分析：（1）276x x -+ 的常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1×
6=（-1）×（-6）=2×3=（-2）×（-3），要使得它们的代数和等于-7，只有取-1，-6。

（2）21336x x ++的常数项36正数，所以分解成的两价目因数必是同号，而36=36×1=（-36）×（-1）=18×2=（-18）×（-2）=12×3=（-12）×（-3）=9×4=（-9）×（-4）=6×6=（-6）（-6），要使得它们的代数和为13，只有取4，9。

解 （1）因为6=（-1）×（-6），并且（-1）+（-6）=-7，所以
276x x -+=[(1)][(6)](1)(6).x x x x +-+-=--
(2)因为36=9×4，并且4+9=13，所以2
1336x x ++=(4)(9)x x ++
从此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数相同．再来看常数为负数的情况．
例5、把下列各式分解因式：(1) 226;x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++
分析 (1)把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ,把26y -分解成3y 与(2)y -的积，3y+(一2y)=y ，正好等于一次项系数.
(2)把2()x x + 整体作为一字母a 看待，可不必写出，只当作是分解二次三项式2812.a a -+
解 （1）226x xy y +-=226x yx y +-=(3)(2)x y x y +-
（2）222()8()12x x x x +-++=22(6)(2)x x x x +--+-=(3)(2)(2)(1)x x x x +-+-
我们知道(2)(35)x x ++=231110x x ++，反过来，就得到231110x x ++的因式分解
的形式，即231110x x ++=(2)(35)x x ++我们发现，二次项的系数3分解成1，3两个因数的积；常数项10分解成2、5两个因数的积；当我们把1，3，2，5写成：
后，发现1×5+2×3正好等于一次项系数11．可以想到如何把二次三项式。

我们知道，
我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a 、2a 、1c 、2
c 排列如右：
，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2
ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中1a 、1c 位于上图上一行，2a 、2c 位于下一行。

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
例6 分解因式32
34x x -+
分析 此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不好进行．细查式中无一
次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为零了，21122121221122121221122121221121122()()()()()()
a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c a a x a c a c x c c a x c a x c ++=+++=++++++=++反过来,就得到1a
2a 1c 2
c
可考虑通过添项或拆项来解决问题．
解32
34x x -+
说明 本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造就可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x x -，将多项式3234x x -+分成两组322()44x x x +-+和。

把一个多项式分解因式，一般可以按下列步骤进行：
(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其他方法(如十字相乘法)来分解；
(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们要熟悉以下的结果，并能应用它。

1、)1)(1(1±±=+±±b a a b ab ；
2、)1)(1(1±=+±b a b a ab ；
3、)22)(22(4224+--+=+a a a a a ；
4、)122)(122(142
24+-++=+a a a a a ；
5、2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；
6、))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++
例7、已知4,322=-+=+xy y x y x ，求：3344xy y x y x +++的值。

解：3344xy y x y x +++=)(2244y x xy y x +++=)4(44xy xy y x +++
=xy y x y x 42244+++=xy y x y x y x 42)(2222222++-+
=xy y x xy 4)4(222+-+=xy y x y x xy 48162222+-++=xy 1216+ 3
5,4,92,9)(,322222==-+=++=+=+xy xy y x xy y x y x y x 所以又 原式=xy 1216+=36
例8、已知02,022=-+≠b ab a ab ,求：b
a b a +-22的值。

思路点拨 对已知等式通过恰当的变形，寻求a 、b 之间的关系，代入求值。

解：由已知得0))(2(=-+b a b a ，故002=-=+b a b a 或求得：a=-2b 或a=b
322222(1)(33)(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)](1)(44)(1)(2)x x x x x x x x x x x x x x x x =
+--=+-+--+=
+-+--=+-+=
+-
b a b a +-22=3
531或 例9、计算下列各题：
（1）)
219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(252(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ （2）2001
2000200019982000220002323-+-⨯- 思路点拨 观察分子、分母数学间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解
变形，寻找复杂数值下隐含的规律。

解：（1）考虑一般性，)2)(1(232++=++n n n n 原式9981995)
(19949)(87)(65)(43)(21996)(199510)(98)6)(7(54)(3=⨯⨯⋅⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⋅⨯⨯⋅⨯= （2）设2000=a ，则原式2001199812)1)(1()1)(2()
1()2(2222323=+-=-+--=+-+---=a a a a a a a a a a a a 例10、已知n 是正整数，且1001624+-n n 是质数，求n 的值。

思路点拨 从因式分解的角度来看，质数只能分解成1和本身的乘积（也可从整除的角
度看），故对原式进行恰当的分解变形，是本例的最自然的思路。

解：1001624
+-n n 2243610020n n n -++=22236)10(n n -+=
)106)(106(22+-++=n n n n 因11062≠++n n ，而1001624+-n n 为质数且n 为正整数，
故11062=+-n n ，即0)3(2=-n ，得3=n
四、双基训练
把下列各式分解因式：
1、（1）327a + （2）38m -
2、（1）3318125x y -
（2）3331121627x y c + 3、（1）2627x x -- （2）21126x x +-
4、（1）2673x x -- （2）2245m mn n --
5、（1）233ax ay xy y -+- （2）328421x x x +--
6、（1）224202536a ab b -+- （2）1432234
a b a b a b ab +--
7、（1）2(1)()x x y xy x +-+： （2）2222()()ab c d cd a b -+-
8、（1）464x + （2）3223428x xy x y y --+
9、（1）22484x mx mn n -+- （2）32113121x x x -+-
10、已知22222,2,23
a b ab a b a b ab +==++求代数式的值 11、如果133=-x x ，那么200473129234+--+x x x x 的值等于。

12、求证：817－279－913能被45整除；
13、计算：1997
1996199319911995)39851994)(20001994(22⨯⨯⨯⨯+- 14、已知01432=++++x x x x ，则多项式1989
321x x x x ++++的值等于。

15、若a 是自然数，则9324+-a a 是质数还是合数？给出你的证明。

双基训练参考答案： 1、（1）2(3)(39)a a a +-+ （2）2(2)(42)m m m -++ 2、（1）22121(2)(4)5525xy x y xy -+
+ （2）2221(2)(24)216
xy c x y xyc c +-+ 3、（1）(9)(3)x x -+ （2）(2)(13)x x -+ 4、（1）(23)(31)x x -+ （2）()(5)m n m n +- 5、（1）(3)()a y x y +-
（2）2(21)(21)x x +- 6、（1）(256)(256)a b a b ---+ （2）12
()()ab a b a b +-
7、（1）()(1)x x y x y -++：（2）()()ab cd ac bd +-8、（1）22(48)(48)x x x x -+++
（2）2(2)(2)x y x y -+9、（1）(42)(2)x m n x n -+- （2）(1)(3)(7)x x x --- 10、283 11、2008，12 .因为：817－279－913=328-327-326=326（9-3-1）=45*324所以能被45整除。

13、设b =1994，
则原式[][]
)3)(2)(1)(3()1()32()6(22++--+-++-=b b b b b b b b b 19951)3)(2)(1)(3()1)(1)(3)(2)(3(=+=++--+-++-=b b b b b b b b b b 14、原式=)1)(1(1985105432x x x x x x x ++++++++
=0 15、原式=)33)(33(9)96(22224+-++=-++a a a a a a a
当0=a
时，原式=9是合数；当1=a 时，原式=7是质数；当2=a 时，原式=13也是质数； 当2>a 时，1332>++a a ，11)1)(2(332>+--=+-a a a a ，
这说明，此时9324+-a a 可以分解为两个大于1的自然数的积，即它为合数。

五、能力提高
把下列各式分解因式：
1、（1）3278x -+ （2）3311864p q -
- 2、（1）34xy x + （2）2323()a m n a b +-
3、（1）232x x -+ （2）23736x x ++
4、（1）33n n x
x y +- （2）2126n n n a a b a b +++-
5、（1）2()11()28a b a b -+-+ （2）2232(2)y x x y -+
6、（1）251526x x xy y -+- （2）5431016ax ax ax -+
7、（1）22(2)9x x -- （2）42
718x x --
8、（1）22414xy x y +-- （2）66321x y x --+
9、27()5()2a b a b +-+-2282615x xy y +- 10、计算：6
2002112002620026200252002232+⨯+⨯++⨯+ 11、证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差。

12、已知d c b a 、、、为非负整数，且1997=+++bc ad bd ac ，求：d c b a +++的值
13、证明：53254120n n n n -+当为大于的整数时,能被整除.
14、32230.:0.a b c a a c b c abc b ++=++-+=已知求证
15、设d c b a 、、、是4个整数，且使得222222)(41)(d c b a cd ab m --+-
+=是个非零整数，求证：m 一定是个合数。

能力提高参考答案
1、（1）2(23)(469)x x x -++ （2）221(2)(42)64p q p pq q -
+-+ 2、（1）22()()x y x y xy x +-+ （2）222()[()()]a m n b m n m n b b +-++++
3、（1）(2)(1)x x -- 2）(1)(36)x x ++
4、（1）22()()n x x y x xy y -++ （2）(3)(2)n
a a
b a b +-
5、（1）(4)(7)a b a b -+-+ （2）22432(1)(4321)y x x x x x --+++
6、（1）(52)(3)x y x +- （2）3(2)(8)ax x x --
7、（1）2(3)(1)(23)x x x x -+-+ （2）2(2)(3)(3)x x x ++-
8、（1）(12)(12)y x y x -++- （2）3333(1)(1)x y x y ---+
9、(772)(1)a b a b +++-(2)(415)x y x y -+ 10、设2002=a ，则原式)65()65(652232+++++++=a a a a a a a 2003
111=+=a ；
11、从反面说明，结合奇、偶性的性质 12、已知d c b a 、、、为非负整数，
且,1997))((:=++=+++d c b a bc ad bd ac 因为1997是一质数所以a+b=1,c+d=1997或
a+b=1997,c+d=1所经d c b a +++的值等于1998
13．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++因为.
14、322322:()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++提示 15、[])()(4412
2222d c b a cd ab m --+-+=
)22)(22(41
22222222d c b a cd ab d c b a cd ab ++--+--+++= =[]22)()(41
d c b a --+[]22)()(b a d c --+
)
)()()((41
b a d
c
d c b a d c b a d c b a +-+++-+-+-++=因、d c b a -++、d c b a +-+、d c b a ++-b a d c +-+奇偶性相同， 而m 为整数，则它们必同时为偶数，从而4m ，故m 一定是个合数。