2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第三章 第三节 三角函数的图像与性质

课时作业 A 组——基础对点练
1．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
D ．y ＝sin x ＋cos x
解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π
2＝π，且为奇函数，其图像关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图像关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图像不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A
2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上为增函数，且图像关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )
A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
13，23，1 B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫16，13 C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫13，23 D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧
0<ω≤1，ω＝k 3，
其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝2
3
或ω＝1，即ω的取值集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
13，23，1.
答案：A
3．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4
B ．x ＝π
3
C ．x ＝π
2
D ．x ＝π
解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π
4时，f (x )取得最值，故选A.
答案：A
4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤
k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)
B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)
C.⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z) D ⎝
⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π
12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫
k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 答案：B
5．(2018·云南五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，π3]上的最大值为1，则ω
＝( ) A.14 B.13 C.12
D.32
解析：因为0＜ω＜1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3.所以f (x )在区间[0，π
3]上单调递增，则f (x )max
＝f (π3)＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝1
2，选C.
答案：C
6．函数f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －3
2(x ∈[0，π])的单调递增区间为( )
A ．[0，5π
6]
B ．[0，2π
3]
C ．[5π
6
，π]
D ．[2π
3
，π]
解析：f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32＝32(2cos 2x 2－1)－12sin x ＝32cos x －12sin x ＝cos(x ＋π
6)，由
2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π
6(k ∈Z)，又x ∈[0，π]，所以当k ＝1时，
f (x )的单调递增区间为[5π
6，π]，故选C.
答案：C
7．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π的偶函数
解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C
8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π
6等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0
D ．－2或0
解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫
π6－x ，所以该函数图像关于直线x ＝π
6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
答案：B
9．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω 的取值范围为( ) A ．(0，4
3]
B ．(43，73]
C ．(73，103
]
D ．(103，133
]
解析：易得f (x )＝2sin(ωx －π3)，设t ＝ωx －π3，因为0＜x ＜π，所以－π3＜t ＜ωπ－π
3，因为函数
f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π＜ωπ－π3≤2π，解得43＜ω≤7
3，故选B.
答案：B
10.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图
像如图所示，其中图像最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π
12
，图像在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论： ①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2； ③f ⎝⎛⎭⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎫x －π6为奇函数． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫
7π12－π12＝π， 则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3
.
由f (0)＝3，得A sin π
3＝3，即A ＝2.
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝2cos π3
＝1， f ⎝⎛⎭
⎫x －π
6＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确． 答案：D
11．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________． 解析：
令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图像如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)
12．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝⎛⎭
⎫|φ|<π
2为偶函数，则φ＝__________. 解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎫x ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π
2＋k π(k ∈Z)．又由|φ|<π2，得φ＝π
4.
答案：π4
13．当函数y ＝s in x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.
解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π
2时y 取得最大值，此时x ＝5π
6.
答案：5π6
B 组——能力提升练
1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫
π2，3π2内的图像是( )
解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨
⎧
2tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤
π
2，π，
2sin x ，x ∈⎝
⎛⎭⎫π，3π2，对比选项，可知选D.
答案：D
2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝⎛⎭⎫
π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B.⎣⎡⎦⎤
5π8，9π8 C.⎣⎡⎦
⎤－3π8，π8 D.⎣⎡⎦⎤π8，5π8
解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2k π，又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π
8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎡⎦⎤π8，5π8. 答案：D
3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图像的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．6
D ．9
解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫
k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以πω6＝k π
2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)．因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3，故选B. 答案：B
4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与直线y ＝b (0<b <A )相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈Z B ．[6k －3,6k ]，k ∈Z C ．[6k,6k ＋3]，k ∈Z
D ．[6k π－3,6k π]，k ∈Z
解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T ＝6，结合f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图
像可知f (x )在区间[6k －3,6k ]，k ∈Z 上是单调递减的，故选B. 答案：B
5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π
2，且该函数图像关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，则x 0＝( ) A.5π
12
B.π4
C.π3
D.π6
解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，得x 0＝k π2－π
12
(k ∈Z)，又x 0∈
⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12
.
答案：A
6．已知函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －1
2(ω＞0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则
ω 的取值范围是( ) A ．(0，5
12]
B ．(0，512]∪[56，11
12)
C ．(0，5
6
]
D ．(0，512]∪[56，11
12
]
解析：函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin(ωx ＋π6)，可得T ＝2π
ω≥π，0
＜ω≤2，f (x )在区间(π，2π)内没有零点，函数的图像如图两种类型，结合三角函数可得：
⎩⎨⎧
ωπ＋π6
≥0
2ωπ＋π6
≤π或⎩⎨⎧
πω＋π6
≥π
2ωπ＋π
6
≤2π，
解得ω∈(0，512]∪[56，11
12)．
答案：B
7．已知函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫ωx －π
6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若
x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，则f (x )的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3
2，3 B ．[－3,3] C.⎣⎡⎦
⎤－32，32 D.⎣
⎡⎦
⎤
－
32，
32 解析：因为两个函数图像的对称轴完全相同，所以这两个函数的周期相同，即ω＝2，所以函数f (x )＝3sin(2x －π6)．当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π
6]，由正弦函数的图像及其性质知，
f (x )min ＝f (0)＝－32，f (x )max ＝f (π
3)＝3，故选A.
答案：A
8．(2018·长沙市模拟)已知函数f (x )＝
32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π
6
)，若存在x 1，x 2，…，x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤6π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．10 C ．8 D ．12
解析：f (x )＝
32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)＝sin(x ＋π6－π
6
)＝sin x ，所以|f (x n －1)－f (x n )|≤2，又|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，所以要使n 取最小值，需x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，…，x 7＝11π
2，x 8＝6π.故满足条件的最小整数n 为8.
答案：C
9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π
2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤
2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数
解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k ∈Z)，得－π3
＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)上单调递增；由π2＋k π≤x ＋π
3
≤π＋k π(k
∈Z)，得π6＋k π≤x ≤2π
3＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确． 答案：B
10．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎫
π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝cos x B ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2 C ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
2 D ．f (x )＝cos 6x
解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图像关于直线x ＝π
4对称．因为f (x )＝cos x 是
偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，不是最值，故不满足图像关于直线x ＝π
4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，是最小值，故满足图像关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，不是最值，故不满足图像关于直线x ＝π4对称，故排除D. 答案：C
11．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2图像相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝1
2，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最小值为( ) A ．－ 3 B ．－2 C ．－1
D ．1
解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π
6，所以g (x )＝
2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π
6∈⎣⎡⎦⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤3
2，则g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－2. 答案：B
12．已知函数f (x )＝2cos 22x －2.给出下列命题：①存在β∈R ，f (x ＋β)为奇函数；②存在α∈
(0，3π
4)，f (x )＝f (x ＋2α)对x ∈R 恒成立；③任意x 1，x 2∈R ，若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|的
最小值为π
4；④任意x 1，x 2∈R ，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z)．其中的真命题有( )
A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．①④
解析：由题意，f (x )＝2cos 22x －2＝cos 4x －1.对于①，f (x )＝cos 4x －1的图像如图所示，函数f (x ＋β)的图像是f (x )的图像向左或向右平移|β|个单位长度得到的，它不会是奇函数，故①错误；对于②，f (x )＝f (x ＋2α)，所以cos 4x －1＝cos(4x ＋8α)－1，所以8α＝2k π，k ∈Z ，所以α＝k π4，k ∈Z.又α∈(0，3π4)，所以取α＝π4或π
2时，f (x )＝f (x ＋2α)对x ∈R 恒成立，故②正确；
对于③，|f (x 1)－f (x 2)|＝|cos 4x 1－cos 4x 2|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2π2×4＝π4，所以③正确；
对于④，任意x 1，x 2∈R ，当f (x 1)＝f (x 2)＝0时，x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π
2，k ∈Z ，所以④错误．综
上，真命题是②③，故选C.
答案：C
13．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4的图像与x 轴交点的坐标是__________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π
8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫
k π2－π8，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z
14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭
⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________． 解析：由f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6知，f (x )有对称中心⎝⎛⎭⎫π3，0，由f ⎝⎛⎭⎫π
2＝f ⎝⎛⎭⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋23π＝7
12
π.
记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π
6，
即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T
4，
解得T ＝π. 答案：π
15．已知函数：①f (x )＝2sin(2x ＋π3)；②f (x )＝2sin(2x －π6)；③f (x )＝2sin(12x ＋π
3)；④f (x )＝2sin
(2x －π3)．其中，最小正周期为π且图像关于直线x ＝π
3对称的函数序号是________．
解析：对于①，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图像的对称轴为2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝
k π2＋π12(k ∈Z)，显然x ＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x ＋π
3)图像的对称轴，①错误；对于②，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图像的对称轴为2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，显然x ＝π3是
函数f (x )＝2sin(2x －π6)图像的对称轴，②正确；对于③，其最小正周期T ＝2π
1
2＝4π，③错误；
对于④，其最小正周期T ＝
2π2＝π，其图像的对称轴为2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋5π12
(k ∈Z)，显然x ＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x －π
3)图像的对称轴，④错误．
答案：②。