十字架模型-解析版

十字架模型
【模型讲解】
1◎结论1：正方形内部，AE⊥BF，则AE=BF,△ABE≌△BCF .
相等未必垂直
过点H作HP⊥CD与P，作I关于HP对称点Q,虽然HI=JK，但HQ≠JK
方法总结：正方形内两条互相垂直的直线与各边的交点所得的线段，那么这两条线段相等。

证明方法往往通过证明三角形全等，如果没有，则按照上图构造两个全等三角形，结合平行四边形的性质节课得出结论
1(2023春·八年级课时练习)如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D 与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ的周长最小值是()
A.3
2+22 B.3+35
2
C.3
2
+23 D.9
2
【答案】B
【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM=PQ，GH=DC，PC=PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP=BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解．
【详解】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM，
由折叠可知，PM=PQ，GH=DC，PC=PG，在Rt△BCG中，P是CG的中点，
∴BP=PG=1
2
GC，
∵Q是GH的中点，
∴QG=1
2
GH，
∴△GPQ的周长=PQ+QG+PG=PM+1
2GH+PB=PM+PB+1
2
CD，
∵CD=3，
∴△GPQ的周长=PM+PB+3
2，
当M、P、B三点共线时，PM+BP=BM最小，
在Rt△BCM中，BM=35 2，
∴△GPQ的周长的最小值为3+35
2
.
故选B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．2(2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为()
A.210
B.25
C.6
D.5
【答案】D
【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再证明
△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S
四边形
AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可
【详解】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．
设AG=GE=x，则BG=3-x，
在Rt△BGE中，
∵BE2+BG2=GE2，
∴12+(3-x)2=x2，
∴x=5
3．
在Rt △ABE 中，
∵AB 2+BE 2=AE 2，
∴32+12=AE 2，
∴AE =10．
∵∠HAP +∠APH =90°，∠OFP +∠OPF =90°，∠APH =∠OPF ，
∴∠HAP =∠OFP ，
∵四边形ADFH 是矩形，
∴AB =AD =HF ．
在△ABE 和△FHG 中，
∠HAP =∠OFP
∠ABE =∠GHF AB =HF
，∴△ABE ≌△FHG ，∴FG =AE =10，∴S 四边形AGEF =
S △AGF +S △EGF
=12GF ⋅OA +12GF ⋅OE =12GF ⋅OA +OE =12GF ⋅AE =12
×10
×10=5．
故选D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
3(2023春·八年级课时练习)如图，
将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长为()
A.32
B.3
C.94
D.154
【答案】C
【分析】设EF =FD =x ，在RT △AEF 中利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，
∴EF=DE，AB=AD=6cm，∠A=90°
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=3cm，
在Rt△AEF中，EF2=AF2+AE2，
∴(6-AF)2=AF2+9
∴AF=9
4
故选C．
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．
4(2023春·全国·八年级专题练习)如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为()
A.12
B.13
C.14
D.15
【答案】B
【详解】过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE
∴PQ=AE=52+122=13.
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
5(2023春·八年级课时练习)如图，现有一张边长为8的正方形纸片ABCD，点E为正方形CD边上的一点(不与点A，点D重合)将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处，点B落在H处，HG交BC于P，折痕为EF，连接AP，AG.则ΔPGC的周长是．
【答案】16.
【分析】解过点A作AM⊥GH于M，由正方形纸片折叠的性质得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，则EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一条直线的两直线平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，则
∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，则DG=GM，由AAS证得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL证得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，则△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC= CG+DG+BP+PC=CD+CB=16．
【详解】解：过点A作AM⊥GH于M，
如图所示：
∵将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处，
∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，
∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，
∴AM∥EG，
∴∠EGA=∠GAM，
∴∠EAG=∠GAM，
∴AG平分∠DAM，
∴DG=GM，
在△ADG和△AMG中
∠DAG=∠GAM
∠ADG=∠AMG=90°DG=GM
，
∴△ADG≌△AMG(AAS)，∴AD=AM=AB，
在Rt△ABP和Rt△AMP中
AB=AM AP=AP ，
∴Rt△ABP≌Rt△AMP(HL)，
∴BP=MP，
∴△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16，故答案为16．
【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB= 5，BE=2，则AF=．
【答案】34.
【分析】根据正方形的性质得到AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°，推出∠BAE =∠EBH ，根据全等三角形的性质得到CF =BE =2，求得DF =5-2=3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°，
∴∠BAE +∠AEB =90°，
∵BH ⊥AE ，
∴∠BHE =90°，
∴∠AEB +∠EBH =90°，
∴∠BAE =∠EBH ，
在△ABE 和△BCF 中，∠BAE =∠CBF AB =BC ∠ABE =∠BCF
，
∴△ABE ≌△BCF (ASA )，
∴CF =BE =2，
∴DF =5-2=3，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =AD =5，∠ADF =90°，
由勾股定理得：AF =AD 2+DF 2=52+32=34．
故答案为34．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE ≌△BCF 是解本题的关键．
7(2023春·全国·八年级专题练习)正方形ABCD 中，
点E 、F 在BC 、CD 上，且BE =CF ，AE 与BF 交于点G ．(1)如图1，求证AE ⊥BF ；
(2)如图2，在GF 上截取GM =GB ，∠MAD 的平分线交CD 于点H ，交BF 于点N ，连接CN ，求证：AN
+CN =2BN ；【答案】(1)见解析；(2)见解析；
【分析】(1)根据正方形的性质得AB =BC ，∠ABC =∠BCD =90°，用SAS 证明△ABE ≌△BCF ，得∠BAE =∠CBF ，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；
(2)过点B 作BH ⊥BN ，交AN 于点H ，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS 证明△AGB ≌△AGM ，得∠BAG =∠MAG ，根据角平分线性质得∠BHA =∠GAN =45°，则△HBN 是等腰直角三角形，用SAS 证明△ABH ≌△CBN ，得AH =CN ，在Rt △HBN 中，根据勾股定理即可得；
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中，AB=BC
∠ABE=∠BCF BE=CF
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠AEB+∠BAE=180°-∠ABC=180°-90°=90°，∴∠AEB+∠CBF=90°，
∴∠EGB=180°-(∠AEB+∠CBF)=180°-90°=90°，∴AE⊥BF；
(2)如图所示，过点B作BH⊥BN，交AN于点H
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AC，∠ABC=∠HBN=90°，
∵∠HBN=∠HBA+∠ABN=90°，
∠ABC=∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠HBA=∠CBN，
由(1)得，AE⊥BF，
∴∠AGB=∠AGM=90°，
∴∠HBG=∠AGM=90°,
∴HB⎳AE，
∴∠BHA=∠EAN，
在△AGB和△AGM中，AG=AG
∠AGB=∠AGM GB=GM
∴△AGB≌△AGM(SAS)，
∴∠BAG=∠MAG，
∵AN平分∠DAM，
∴∠DAN=∠MAN，
∴∠BAG+∠MAG+∠MAN+∠DAN=90°，
2∠MAG+2∠MAN=90°，
∠MAG+∠MAN=45°，
∠GAN=45°，
∴∠BHA=∠GAN=45°，
∴∠BNH=180°-∠HBN-∠BHA=180°-90°-45°=45°，∴△HBN是等腰直角三角形，
∴BH=BN，
在△ABH和△CBN中，BH=BN
∠HBA=∠CBN AB=CB
∴△ABH≌△CBN(SAS)，
∴AH=CN，
在Rt△HBN中，根据勾股定理
HN=BH2+BN2=2BN，
∴AN+CN=AN+AH=HN=2BN；
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
8(2023春·全国·八年级专题练习)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE
于点
H，交CD于点G．
(1)求证：AE=BG；
(2)如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．
【答案】(1)见解析；(2)四边形MNPQ为正方形，理由见解析；(3)10 6
【分析】(1)由四边形ABCD为正方形，可得∠ABC=∠BCD=90°，推得∠ABG+∠CBG=90°，由BG⊥AE，可得∠BAE+∠ABG=90°，可证△ABE≅△BCG ASA
即可；
(2)M、N为AB、AG中点，可得MN为△ABG的中位线，可证MN⎳BG，MN=1
2
BG，由点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，可得PQ是△BEG的中位线，MQ为△ABE的中位线，NP为△AEG的中位线，可证
PQ⎳BG，PQ=1
2BG，MQ⎳AE，MQ=1
2
AE，NP⎳AE，NP=1
2
AE，可证四边形MNPQ为平行四边形．再
证四边形MNPQ为菱形，最后证MN⊥MQ即可；
(3)延长AO交BC于点S，由对称性可得BF=B'F，AB'=BS=1，AO=SO，由勾股定理可求AS=10，可得
AO=1
2AS=10
2，设AF=x，在Rt△AB'F中，1
2+(3-x)2=x2，解得x=5
3，在Rt△AOF中，可求OF=
10
6．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BG⊥AE，
∴∠AHB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
在△ABE与△BCG中，∠BAE=∠CBG AB=BC
∠ABC=∠BCD
，
∴△ABE≅△BCG ASA
，
∴AE=BG．
(2)解：四边形MNPQ为正方形，理由如下：
∵M、N为AB、AG中点，
∴MN为△ABG的中位线，
∴MN⎳BG，MN=1
2
BG，
∵点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，
∴PQ是△BEG的中位线，MQ为△ABE的中位线，NP为△AEG的中位线，，
∴PQ⎳BG，PQ=1
2BG，MQ⎳AE，MQ=1
2
AE，NP⎳AE，NP=1
2
AE，
∴MN=PQ，MQ=NP，
∴四边形MNPQ为平行四边形．
∵AE=BG，
∴MN=MQ，
∴四边形MNPQ为菱形，
∵BG⊥AE，MQ⎳AE，
∴MQ⊥BG，
∵MN⎳BG，
∴MN⊥MQ，
∴四边形MNPQ为正方形．
(3)解：延长AO交BC于点S，
由对称性可知
BF=B'F，AB'=BS=1，AO=SO，在Rt△ABS中，
AS=AB2+BS2=10，
∴AO=1
2AS=10
2，
设AF=x，则BF=B'F=3-x，
在Rt△AB'F中，
12+(3-x)2=x2，
x=5
3，
∴AF=5
3，
在Rt△AOF中，
OF=AF2-AO2=53 2-102 2=106．
【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键．。