极坐标与极坐标方程

极坐标及极坐标方程的应用
1.极坐标概述
第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。

他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。

此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。

瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。

J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。

在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。

有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。

通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。

国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。

由此看来，极坐标已应用到各个领域。

极坐标系的建立
在平面内取一个定点O ，叫作极点，引一条射线OX ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。

对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫点M 的极径，θ叫点M 的极角，有序数对()ρθ，就叫点M 的极坐标。

这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M ()ρθ，．若点M 在极点，则其极坐标为ρ=0，θ可以取任意值。

图1-1 图1-2 如图1-2，此时点M 的极坐标可以有两种表示方法： (1) ρ＞0， M ()ρπθ+， (2) ρ＞0， M ()ρθ-， 同理，()()ρθρπθ-+，与，也是同一个点的坐标。

又由于一个角加2n π()n Z ∈后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。

但若限定0ρ>， 02θππθπ≤<-<≤或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。

曲线的极坐标方程
在极坐标系中，曲线可以用含有ρθ，这两个变数的方程()0ϕρθ=，来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。

求曲线的极坐标方程的方法与步骤：
1°建立适当的极坐标系，并设动点M 的坐标为()ρθ，； 2°写出适合条件的点M 的集合； 3°()0ϕρθ=列方程，； 4°化简所得方程；
5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。

三种圆锥曲线统一的极坐标方程：
图1-3
过点F 作准线L 的垂线，垂足为K ，以焦点F 为极点，FK 的反向延长线FX 为极轴，建立极坐标系。

设()M ρθ，是曲线上任意一点，连结MF ，作MA ⊥L ，MB ⊥FX ，垂
足分别为A B ，．那么曲线就是集合MF p M e MA ⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭
.
设焦点F 到准线L 的距离FK P MF ρ==，由，MA BK P COS ρθ==+ 得
cos e p ρ
ρθ
=+
即 1cos ep
e ρθ
=
-
这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。

其中当01e <<时，方程表示椭圆，定点F 是它的左焦点，定直线L 是它的左准线。

1e =时，方程表示开口向右的抛物线。

1e >时，方程只表示双曲线右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。

若允许
0ρ<，方程就表示整个双曲线。

极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，X 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，其直角坐标()x ，y ，极坐标是()ρθ，，从点M 作
MN ⊥OX ，由三角函数定义，得cos sin x y ρθρθ==，.
图1-4
进一步有 ()222,0y
x y tg x x
ρθ=+=
≠ 注：在一般情况下，由tg θ确定角θ时，可根据点M 所在的象限取最小角。

2 极坐标在平面解析几何中的应用 极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。

但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。

巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。

2.1.1以定点为极点
如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M 的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M 点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。

例1 设等腰OAB ∆的顶角为2θ，高为h ，在OAB ∆ 内有一动点p ，到三边OA OB 、
OC 的距离分别为PD PF PE 、、，并且满足关系2
PD PF PE =，求P 点的轨迹。

B A
图2-1
解: 如图2-1所示,以O 为极点,∠AOB 的平分线为极轴,建立极坐标系，设P 点极坐标为()p ρα，,则
()()sin ,sin ,PD PF ρθαρθα=-=+cos PE h ρα=-
由2
PD PF PE =得
()()()2
2sin sin cos h ρθαθαρα-+=-
化简得
2
2
22
2cos 0cos cos h h ρραθθ
-+= 化成直角坐标方程为
22
222
sin cos cos h h x y θθθ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
这是以2cos h θ⎛⎫
⎪⎝⎭，0为圆心，以2
sin cos h θθ为半径的圆，所求的轨迹是该圆在等腰OAB ∆内部的部分。

2.1.2以原点为极点
如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。

例2 已知椭圆2212416x y +
=，直线L :1128
x y
+=，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足2
OQ OP OR =，当点P 在L 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解: 如图2-2所示，以O 为极点，OX 为极轴，建立极坐标系。

则由互化公式知椭圆的极坐标方程为
()2222cos 3sin 48ρθθ+= (1) 直线L 的极坐标方程为
()2cos 3sin 24ρθθ+= (2) ()()()12Q R P ρθρθρθ设，、，、，，则由(1)式知
2122
48
2cos 3sin ρθθ=
+ 由(2)式知
224
2cos 3sin ρθθ
=
+
又221ρρρ=,有
()22
2448
02cos 3sin 2cos 3sin ρ
ρθθθθ
=≠++ 22222cos 3sin 4cos 6sin ρθρθρθρθ+=+
所以 2223440x y x y +--=
即
()()()2
2
111,0552
3
x y x y --+
=
不同时为
点Q 的轨迹是以(
)1，1为中心，长轴、且长轴平行与X 轴的椭圆，
去掉坐标原点。

图2-2
2.1.3以焦点为极点
凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。

例3 设O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ 为过F 的弦。

已知OF a PQ b ==，
OPQ ∆求的面积。

O
图2-3
解: 如图2-3所示，以F 为极点，FO 的反向延长线FX 为极轴，建立极坐标系。

则抛物线的极坐标方程为
21cos a
ρθ=
-
2222241cos 1cos sin a a a
b PQ PF QF θθθ
==+=+=
-- 于是 24sin a
b
θ=
11sin 22OPQ S PQ OF θ∆=
== 极坐标简解与角有关的解析几何题
含有已知角或公共顶点的一类解析几何题，运用极坐标系（或化直角坐标系为极坐标系）进行解题，常可避繁就简，化难为易，达到事半功倍的效果。

下面分类举例说明。

2.2.1含有已知角，角顶点为极点
例4 已知P Q ，在∠AOB 的两边OA OB ，上，∠AOB =3
π
，POQ ∆的面积为8，求PQ 的中点M 的轨迹方程。

x
P
图2-4
解：以O 为极点，OB 为极轴，建立极坐标系，如图2-4所示，设()123P Q πρρ⎛⎫
⎪⎝
⎭，0，，，
()M ρθ，，则
121sin 823
π
ρρ=
即
128ρρ= (1) 因为 1
2
POM QOM POQ S S S ∆∆∆==
所以 11
sin 42ρρθ= (2)
11sin 423
πρρθ-=（） (3) ()()23得
2121sin sin()1643
π
ρρρθθ-= (4)
(1)代入(4)
并化简，得2sin sin()3
π
ρθθ-= 2.2.2含有已知角，坐标轴平移，化角顶点为极点
例5 已知曲线G
：y A （2，0），点B 是G 上的动点，ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，顶点A B C 、、按顺时针排列，O 为坐标原点，求OC 的最大值及点C 的坐标。

图2-5
解: 曲线G 化为：()2210x y y +=≥，以点A 为新坐标系原点，则
'2'
{
x x y y =+=
曲线G 为 ()22('2)'1'0x y y ++=≥
以点A 为极点，'x 轴的正方向为极轴，建立极坐标系。

如图2-5所示，则曲线G 为
()2
2(cos 2)sin 1ρθρθ++=
(1)
设()0,0,(',')B C ρθρθ，则
00'
'2
{
ρρπθθ==+
(2)
(2)代入(1)得
22
'cos '2'sin '122ππρθρθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦ 即 ()()2
2
'sin '2'cos '1ρθρθ-++= 所以点C 的轨迹方程为
22('2)'1y x -+=
即 ()()()22
2212x y x -+-=>
(3)
故当OC过（3）的圆心()
2,2时，OC
的最大值为1+，此时点C
的坐标为11
⎛
+
⎝⎭
.
极坐标法证明几何定理
在平面几何证明中，极坐标法是一种重要的方法，应用十分广泛，下面以部分平面几何中著名定理为例，谈谈极坐标法在证明中的应用。

2.3.1应用圆心是(,0)
a，半径是a的圆的方程2cos
a
ρθ
=来证明例6 求证：圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积（托列迷定理）。

证明：如图2-6，以D为极点，DO的延长线为极轴建立极坐标系。

设圆的半径为a，则O：2cos
a
ρθ
=.
11
(,)
Aρθ、
22
(,)
Bρθ、
33
(,)
Cρθ三点都在O上，
112233
2cos,2cos,2cos
AD a BD a CD a
ρθρθρθ
======
另由正弦定理得
()()()
122313
2sin2sin2sin
AB a BC a AC a
θθθθθθ
=-=-=-
，，
∴()()
2
123231
4sin cos sin cos
AB CD BC DA aθθθθθθ
+=-+-
⎡⎤
⎣⎦
()()()() 2
123123231231 2{sin sin sin sin}
aθθθθθθθθθθθθ=-++--+-++--
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
()()
2
123123
2[sin sin]
aθθθθθθ
=-+++-
()
2
132
4sin cos
aθθθ
=-
AC BD
=
θ
图2-6
2.3.2应用极点在圆上，圆心为()0,a θ的方程()02cos a ρθθ=-证明
例7 自圆上一点引三弦，并以它们各自为直径画圆。

求证：所画三圆的其它三交点共线（沙尔孟salmon 定理）。

图2-7
证明：如图2-7 ,123OA OA OA OA 、、、分别是123C C C C 、、、的直径，123P P P 、、分别是122331C C C C C C 与
、与
、与
的交点，以O 为极点，OA 的延长线为极轴建立极
坐标系，为简便计，设1OA =，极轴与123OA OA OA 、、的交角分别为123θθθ、、，则
1122cos cos cos OA OA OA θθθ=33、=、=
所以
()111cos cos C ρθθθ=-： （1） ()222cos cos C ρθθθ=-： （2） ()333cos cos C ρθθθ=-： （3）
设()111,p ρθ，则由（1）、（2）得
()()1122cos cos cos cos θθθθθθ-=-
()()()()()1111222211cos cos cos cos 22
θθθθ
θθθθθθθθ∴+-+-+=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 积化和
()()12cos 2cos 2θθθθ-=- 22222k θθπθθ-=+-
∴ ()12k k θπθθ=++∈ 整数
取0k =，得12θθθ=+，代入（1）中，得12cos cos ρθθ=.
1p ∴ 点坐标为1212(cos cos ,)θθθθ+.同理应用轮换得2p 点坐标为2323(cos cos ,)θθθθ+，3p 点
坐标为3131(cos cos ,)θθθθ+.
显然123P P P 、、三点坐标满足法线式方程
()123123cos cos cos cos ρθθθθθθθ---=
故123P P P 、、三点共线，命题获证。

2.3.3应用圆的极坐标方程、两点或直线方程和法线式方程证明
例8 求证：三角形外接圆上任一点在三边上的射影共线（西摩松Sinson 定理）。

图2-8
证明：如图2-8，以P 为极点，PO 的延长线为极轴建立坐标系。

设123A A A ∆的外接圆直径为d ，则O 的方程为cos d ρθ=，设顶点为()()[]cos 12302i i i i A d i θθθπ=∈，，， ，
12A A ∴的两点式方程为
()
()()
212112
sin sin sin cos cos d d θθθθθθρ
θθ---=
+
. ∴ ()()()212112112sin cos sin cos sin cos cos d ρθθθθθθθθθθ-+-=-⎡⎤⎣⎦ ∴
()()()21121121
sin 2sin 2sin cos cos 2d ρθθθθθθθθ-+-=-⎡⎤⎣
⎦ ∴ ()()21122112sin cos()sin cos cos d
ρθθθθθθθθθ---=-
()21sin 0θθ-≠
∴ 1212cos()cos cos d ρθθθθθ--=
这是12A A 的法线式方程，故知垂足1B 的坐标为1212(cos cos ,)d θθθθ+.轮换三个顶点的坐标，得2232333131(cos cos ,)(cos cos ,)B d B d θθθθθθθθ++、，显然123B B B 、、三点的坐标满
足法线式方程
123123cos()cos cos cos d ρθθθθθθθ---=
123B B B ∴、、三点共线 ，定理得证。