奇数群的可解性

奇数群的可解性
奇数阶群是可解群：数学上的单群是指没有非平凡正规子群的群。

任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。

这个过程可以一直做下去。

对于有限群，若尔当—赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。

所有的奇数阶群都是可解群。

因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数西罗测试：设n为一正合数，p是它的一个素因子。

若在n的所有约数中只有1模p同余于1，则不存在阶为n的单群。

证明：如n为一素数幂，则阶数为n的群有非平凡的中心，因而不是单群。

若n不是素数幂，则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知，阶数为n的群的西罗p—子群的个数模p同余于1且为n的约数。

但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗p —子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。

根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为n的群不是单群。