2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期期初调研测试数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期
期初调研测试数学试题
一、单选题 1．复数
12i
i
-（i 为虚数单位）的虚部是． A ．15
B ．15i
C ．15i -
D ．15
-
【答案】A
【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部．
【详解】
()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+，因此，该复数的虚部为15，故选A ． 【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题．
2．如果AB >0,BC >0，那么直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】B
【详解】试题分析：斜率为0A B >，截距0C
B
-<，故不过第二象限. 【解析】直线方程.
3．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10cm ，圆柱部分高度为7cm ，已知陀螺的总体积为3120cm ，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A ．210cm
B ．215cm
C ．216cm
D ．220cm
【答案】B
【分析】由1
3
V V V Sh Sh =+=+柱锥柱锥，代入求解即可
【详解】由题，圆锥部分高度为3cm ，故13V V V Sh Sh =+=+柱锥柱锥，即1120733S ⎛
⎫=+⋅ ⎪⎝
⎭，
可解得215cm S =， 故选：B
4．若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为
8,12,10,7,8,7,12,13,15,16，则这10个数据的第80百分位数是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
【答案】C
【分析】根据百分位数的计算公式求解即可 【详解】由题意，0010808⨯=，故第80百分位数是1315
142
+= 故选：C
5．已知平面向量,a b 满足||2,||1,(2)a b a a b ==⊥+，则向量,a b 的夹角为（ ） A ．
3
π B ．
4
π C ．
23
π D ．
34
π 【答案】D
【解析】利用(2)0a a b ⋅+=求出a b ⋅，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可. 【详解】(2),(2)0a a b a a b ⊥+∴⋅+=，即2
20,1a a b a b +⋅=∴⋅=
-，
1cos ,||||21
a b a b a b ⋅-∴〈〉===⨯3,[0,],,4a b a b ππ〈〉∈∴〈〉=．
故选：D ．
6．已知直线3230
x y +-=和610x my +
+=互相平行，则它们之间的距离是（ ） A ．4 B
C D 【答案】D
【详解】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以
3∶2=6∶m ，所以m=4. 直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+
1
2
=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：
7点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离．用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要1212,A A B B == ，这时才可以有两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++= 间的距离为
1222
||C C d A B -=
+．
7．已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l 过点P(1, 1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．k ≥2或k ≤3
4
B ．3
4≤k ≤2
C ．k ≥34
D ．k ≤2
【答案】A
【详解】试题分析：因为2AP k =，34BP k =，结合图象可知，当2AP k k ≥=或34
BP k k ≤=时，则直线l 与线段AB 相交，故选A ．
【解析】直线的斜率．
8．平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，4），圆O ：224x y +=，则下列结论正确的是（ ）
A ．过点P 与圆O 相切的直线方程为34100x y -+=
B ．过点P 的直线与圆O 相切于M ，N ，则直线MN 的方程为240x y +-=
C ．过点P 的直线与圆O 相切于M ，N ，则|PM |=3
D ．过点P 的直线m 与圆O 相交于A ，B 两点，若∠AOB =90°，则直线m 的方程为20x y -+=或7100x y --=
【答案】D
【分析】首先求出过点P 的切线方程，注意分斜率存在和不存在两种情况讨论，即可判
断A,再利用勾股定理求出切线长，即可判断C,,M N 在以()12，为圆心，以OP 为直径的
圆上，两圆方程作差即可求出直线MN 的方程，由此判断B,由圆心到直线的距离求出直线斜率，即可求出直线方程,进而求解D.
【详解】对于A ：当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，圆心O 到直线l 的距离2d r ==，所以2x =是过点P 的圆的切线，
当直线l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=， ∴圆心O 到直线l 的距离
2d =
=，解得34k =，此时直线l 的方程为
34100x y -+=，
∴过点P 的圆的切线方程为2x =或34100x y -+=，故A 错误，
对于B;,M N 在以()1
2，为圆心，以OP 为直径的圆22(1)(2)5x y -+-=， ∴直线MN 为圆22:4O x y +=与圆22(1)(2)5x y -+-=的公共弦，
两圆方程相减得：220x y +-=，即直线MN 的方程为220x y +-=，故B 错误，
对于C;||2OP =||4PM ∴，故C 错误，
对于D ：过点P 的直线m 与圆O 相交于A ，B 两点，若90AOB ∠=︒，则||AB = ∴
圆心到直线的距离d =
显然直线的斜率存在，设直线方程为4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，
d ∴=
1k
=或7，
∴直线方程为20x y -+=或7100x y --=，故D 正确，
故选：D
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若z 1，z 2互为共扼复数，则z 1⋅z 2为实数 B ．i 是虚数单位，则42i 1n +=
C ．复数2i --在复平而内对应的点在第三象限
D ．复数
5
i 2
-的共轭复数为2i -- 【答案】AC
【分析】根据共轭复数的定义以及复数乘法运算即可判断A,由i 的周期性可判断B,根据复数除法运算以及复数的几何意义即可判断C,由复数除法运算以及共轭复数的定义即可判断D.
【详解】对于A;设()1=i ,R b b z a a +∈，
,则2=i z a b -，()()2122=i i a b a z b a b z +-=+，故A 正确，
对于B;()42422i i i i 1n
n +===-，故B 错误，
对于C;2i --在复平而内对应的点为()21--，
，所以该点在第三象限，C 正确， 对于D;
()()()
5i 25
i 2i 2i 2i 2--==------,故其共轭复数为i 2-，D 错误， 故选：AC
10．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ） A ．若acosA=bcosB ，则ABC 是等腰三角形
B ．若45,3AB B A
C ︒===，则满足条件的三角形有且只有一个 C ．若ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
D ．若0BC AB ⋅<，则ABC 为钝角三角形 【答案】BC
【分析】对于A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得A B =或π2
A B +=判断；对于B 应用余弦定理求BC 即可判断；对于C 由三角形内角性质及和角正切公式判断．对于D 由向量数量积定义判断；
【详解】对于A ：由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，则sin 2sin 2A B =， 则ABC 中A B =或π2
A B +=，故A 错误；
对于B ：由2222cos
2AB BC AC B AB BC +-===⋅，则2410BC BC --=，
可得2BC =2BC =B 正确； 对于C ：由ABC 不是直角三角形且π()A B C =-+， 则tan tan tan tan()1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-，
所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故C 正确；
对于D :||||cos(π)||||cos 0AB BC AB BC B AB BC B ⋅=-=-<，即||||cos 0B B C AB >，
B 为锐角，故
ABC 不一定为钝角三角形，故D 错误；
故选：BC
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A ．直线(3)4330()m x y m m R ++-+=∈恒过点（-3，-3）
B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -的距离都等于1
C ．圆22120C :x y x ++=与圆22
2480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则m =4
D ．已知圆22:4C x y +=，过点P （3，4）向圆C 引两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，
则直线AB 方程为3440x y +-= 【答案】BCD
【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A 选项，()(3)433033430m x y m m x x y ++-+=⇒+++-=，
303
34303x x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨
+-==⎩⎩
，所以定点为()3,3-，A 错误. B 选项，圆224x y +=的圆心为原点，半径为2，圆心到直线l 的距离为
212=，
所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1，B 选项正确.
C 选项，圆1C 的圆心为()1,0-，半径为1.圆2C 的圆心为()2,4，半径为16644202
m
m +-=-，
由于1C 、2C 有三条公切线，所以两个圆外切，所以()()
22
1201204m +-=--+-，
4m =，C 选项正确.
D 选项，圆22:4C x y +=的圆心为原点O ，半径为2.5OP =，以OP 为直径的圆的方
程为()2
2325224x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝
⎭，即22340x y x y +--=，则AB 所在直线方程为
()22224034x x x y y y +--+=--，3440x y +-=.D 选项正确.
故选：BCD
12．如图，点(2,0)A ，(1,1)B ，(1,1)C -，(2,0)D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，
CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω则（ ）
A ．曲线Ω与x 轴围成的图形的面积等于3
2
π
B ．CB 与BA 的公切线的方程为120x y +-
C ．BA 所在圆与CB 所在圆的公共弦所在直线的方程为0x y -=
D ．CD 所在的圆截直线y x = 【答案】BC
【分析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故此可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可. 【详解】CD ，CB ，BA 所在圆的方程分别为22(1)1x y ++=，22(1)1y x +-=，22(1)1x y -+=.
曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆､一个矩形和两个1
4
圆，其面积为
2222
4
π
π
π++⨯
=+，故A 错误；
设CB 与BA 的公切线方程为y kx b =+（0k <，0b >）
1==
，
所以1k =-，1b =CB 与BA 的公切线的方程为1y x =-++
即10x y +-=，故B 正确；
由22(1)1y x +-=及22(1)1x y -+=两式相减得0x y -=， 即公共弦所在直线方程，故C 正确；
CD 所在圆的方程为22
(1)1x y ++=，圆心为(1,0)-，
圆心(1,0)-到直线y x =的距离为
d
则所求弦长为=D 错误.
故选：BC
三、填空题
13．已知点()(),20a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于______．
1
【分析】由点到直线的距离公式，即得解
【详解】由点到直线的距离公式，得1=，即1a +
又0a >，所以1a =．
1
14．已知圆C 1：2264120x y x y +-++=与圆C 2：22620x y x y a +--+=，若圆C 1与圆C 2有且仅有一个公共点，则实数a 的值为___________. 【答案】6或6-
【分析】根据两圆是外切或者内切，由圆心距和半径的关系即可求解.
【详解】C 1：2264120x y x y +-++=的圆心为()32-，
，半径为1r =，圆C 2：22620x y x y a +--+=的圆心为()31，
，半径为R =
1
或
1，解得6a =或6a =-，
故答案为：6或6-
15．过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+
-=的弦，其中最短的弦长为__________. 【答案】【详解】最短弦为过点()
3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，
d
=
=
【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度. 16．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，120
BAC ︒∠=
，AC =
AB =PA =______.
【答案】60π
【分析】求解底面ABC 的外接圆的半径，利用球心与圆心的连线垂直底面，构成直角三角形即可求解三棱锥外接球的半径，可得其表面积
【详解】在底面 ABC 中，120
BAC ∠=
，AC =AB =
由余弦定理可得BC ==
设ABC 外接圆的圆心为1O ，半径为r ，球心为O ，
由正弦定理可得，
2sin BC
r A =
=，得r =
PA ⊥底面ABC ，且球心到点P ，A 的距离相等，
∴球心与底面的距离为1
22
2
AP=，
球心与圆心的连线垂直于底面，222
(22)
R r
∴=+，
215
R
∴=，
该三棱锥外接球的表面积2
4π60π
S R
==
故答案为：60π.
四、解答题
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务态度，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)试估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60）内的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）内的概率.
【答案】(1)0.006
a=
(2)0.4
(3)
3 10
【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）根据频率分布直方图可知对该部门评分不低于80的求出频率，估计概率； （3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．
【详解】(1)因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=， 解得0.006a =；
(2)由已知的频率分布直方图可知，
50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4+⨯=， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；
(3)受访职工中评分在[50，60)的有：500.006103⨯⨯=（人)，记为1A ，2A ，3A ； 受访职工评分在[40，50)的有：500.004102⨯⨯=（人)，记为1B ，2B ． 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别是1{A ，2}A ，1{A ，3}A ，1{A ，1}B ，1{A ，2}B ，2{A ，3}A ，2{A ，1}B ，2{A ，2}B ，3{A ，
1}B ,3{A ，2}B ，1{B ，2}B ，
又因为所抽取2人的评分恰好都在[50)60，
的结果有1{A ，2}A ，1{A ，3}A ，2{A ，3}A 共有3种，
故所求的概率为：3
10
p =
．
18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b =，(sin )n B A =，且.m n ⊥ (1)求A ；
(2)若a =ABC ABC 的周长． 【答案】(1)23
π；
(2)3.
【分析】（1）由题意sin cos 0a B A +=，再由正弦定理化简得tan A =A ； （2）由余弦定理得()2
7b c bc +=+，再由三角形面积公式得2bc =，即可求b c +，进而得出ABC 的周长．
【详解】(1)由m n ⊥，则sin cos 0a B A =，
由正弦定理得：sin sin cos 0A B B A =，
在ABC 中sin 0B >，故sin A A =，即tan A =
因为0A π<<，所以23A π=； (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即227b c bc ++=，可得()27b c bc +=+，
又13sin 22
ABC S bc A ==，得2bc =，则()29b c +=，即3b c +=， 所以ABC 的周长为37.+
19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1CD ，AB 中点．
(1)求证：//EF 平面11ADD A ；
(2)求异面直线EF 与1AD 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)31010
【分析】()1取1DD 的中点M ，连接AM ME ，，推导出//AM EF ，利用线面平行的判定定理即可证明//EF 平面11ADD A ；
()2由()1可知1D AM ∠为异面直线EF 与1AD 所成角，从而利用余弦定理求解即可.
【详解】(1)证明：取1DD 的中点M ，连接AM ME ，，
在1D DC △中，因为M E ，分别为11DD D C ，的中点，所以//ME DC 且12
ME DC =， 又//AF DC 且12AF DC =，所以//ME AF 且ME AF =， 所以四边形MEF A 为平行四边形，有//AM EF ，
又EF ⊄平面11ADD A AM ⊂，平面11ADD A ，
所以//EF 平面11ADD A ；
(2)不妨设正方体棱长为2，
由()1可知1D AM ∠为异面直线EF 与1AD 所成角，
在1D AM 中，已知111AD AM D M ==，
由余弦定理得
1cos D AM ∠=
所以异面直线EF 与1AD 20．已知圆()2
2:29C x y -+=． (1)直线1l 过点()11
D -,，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；
(2)设直线2:10l x -=与圆C 相交于M ，N 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PMN 的面积S 的最大值．
【答案】(1)x ＝－1或4x －3y ＋7＝0
【分析】（1）根据直线1l 的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出MN ，再根据几何性质可知，当CP AB ⊥时，点P 到直线2l 距离的最大值为半径加上圆心C 到直线AB 的距离，即可解出．
【详解】(1)由题意得C （2，0），圆C 的半径为3．
当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为y －l ＝k （x ＋1），即kx －y ＋k ＋1＝0，
由直线1l 与圆C 相切，3=，解得43
k =，所以直线1l 的方程为4x －3y ＋7＝0．
当直线1l 的斜率不存在时，直线1l 的方程为1x =-，显然与圆C 相切．
综上，直线1l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋7＝0．
(2)由题意得圆心C 到直线2l 的距离2011213d +-==+， 设圆C 的半径为r ，所以r ＝3，所以2
2123352MN ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭
， 点P 到直线2l 距离的最大值为72
r d +=， 则PMN 的面积的最大值()max 117735352224
S MN r d =⨯⨯+=⨯⨯=． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：
221214600x y x y +--+=及其上一点A （2，4）.
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程.
(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程.
(3)设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得AT TP TQ +=，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=
(2):25l y x =+或215y x =- (3)[222121]-+，
【分析】（1）利用圆N 与圆M 外切，由圆心距与半径之和的关系即可求解． （2）由题意得5OA =2OA k =，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离=255d =l 的方程．
（3）将问题转化为TA PQ =，即22||(2)4TA t =-+，又||10PQ ，即可求解[2221t ∈-2221]+，
【详解】(1)点N 在直线6x =上，∴设(6,)N b ，
圆N 与圆M 外切，圆22(6)(7)25M x y -+-=，
|7|||5b b ∴-=+，解得1b =，
∴圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-=．
(2)圆22:(6)(7)25M x y -+-=，圆心(6,7)M ，
由题意得2OA k =，设:2l y x b =+，
由于BC OA ==则圆心M 到直线l
的距离
d ==
解得5b =或15b =-，即:25l y x =+或215y x =-； (3)TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即||||TA PQ =，
||(TA t =-
又||10PQ 1610
，解得[2
t ∈-2
+，
对任意[2
t ∈-2+，欲使TA PQ =，此时||10TA ，只需作直线TA 的平行线，2||TA ，必然与圆交于P ，Q 两点，此时||||TA PQ =，即TA PQ =
，
因此实数t 的取值范围为[2
t ∈-2+
22．已知圆C 过点A （1，2），B （2，1），且圆心C 在直线y x =-上.P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于M ，N 两点.
(1)求圆C 的方程；
(2)若点P 的坐标为03-（，）
，探究：无论l 的位置如何变化，|PM |⋅|PN |是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
【答案】(1)225x y +=
(2)4
【分析】（1）由设圆的标准方程，由待定系数法将,A B 代入方程，即可求解， （2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及=PM PN PM PN ⨯⋅即可求解.
【详解】(1)由于圆心在y x =-，故设圆的方程为()()22
2x a y a r -++=，将A （1，2），B （2，1）代入可得()()()()2222221221a a r a a r
⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得205a r =⎧⎨=⎩， 所以圆的方程为：225x y +=
(2)当直线l x ⊥轴时，(=33=4PM PN ⨯， 当直线l 有斜率时，设其方程为：3y kx =-， 联立直线与圆的方程2253
x y y kx ⎧+=⎨=-⎩，消元得()221640k x kx +-+=， 设()()1122,,,M x y N x y ,则12241
x x k =
+，2=20160k ∆->， 由于点P 在圆外，所以()()()2212121212123=1=3=PM PN PM PN x x y y x x k x x k x x ⨯⋅=+++++， 因此()()22122
4=1=1=41PM PN k x x k k ⨯+++， 综上，无论l 的位置如何变化，=4PM PN ⨯，为定值.。