小升初数学培优之不定方程含答案

不定方程
[同步巩固演练]
1、把118分成两个自然数A和B，使A为11的倍数，B为17的倍数，则
A=__________________，B=__________________。

2、求下列不定方程的自然数解。

（1）3x－2y=20 （2）4x+5y=98
3、有甲、乙两种卡车，甲车每次可装煤6吨，乙车每次可装煤8吨。

现在有煤130吨，要求一次运完，而且每一辆卡车都要满载，问需要甲、乙两种卡车各多少辆？
4、（北京市第三届小学生迎春杯数学竞赛决赛试题）
甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？
5、（全国小奥赛决赛试题）
若干学生搬一堆砖，若每人搬K块，则剩下20块未搬完，若每人搬9块，则最后一名学生只搬6块，那么学生共有多少人？
6、（第九届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题）
马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。

年终，马小富从两家公司共获薪金7620元。

问他甲公司找工多少个月？在乙公司兼职多少个月？
[能力拓展平台]
1、不定方程2x+3y+7z=23的自然数是________。

2、（第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题）
要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？
3、小明用5天时间看完了一本200页的故事书。

已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三四两天看的页数之和，那么，小明第五天至少看了______页。

4、两个自然数，一个除以11，一个除以1991，商的和正好等于1，问有多少种可能？
5、今有三部自动换币机，其中第一部总是将一枚硬币换成2枚其他硬币，第二部总是将一枚硬币换成4枚其他硬币，而第三部总是将一枚硬币换成10枚其他硬币，某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚，试问他在第一部换币机上换了几次，在第三部换币机上换了几次？
6、（2004年全国小奥赛决赛试题）
某商店甲、乙、丙三种商品的单价分别为2元、3元、5元，某人买走三种商品每种若干件，共付20元，此人发现其中有件商品买多了，退两件这种商品，但营业员只有10元一张的人民币，没有零钱退，此人只好将其它的两种商品购买的数量予以调整，使总价保持不变，这时，此人所购三种物品中，乙种商品的件数是多少？
[全讲综合训练]
1、M、N表示两个自然数，且有：11M+17N=146，那么M=_________，N=____________。

2、大客车有42个座位，小客车有25个座位，现有310位乘客，要使每位乘客都有座位，而且没有空座位，需大、小客车各多少辆？
3、甲、乙两人搬砖，甲搬的砖数是16的倍数，乙搬的砖数是21的倍数，两人共搬砖270块，
甲、乙两人搬的砖相差多少块？
4、现在有3米长和5米长的钢管各6根，安装31米长的管道，问：怎样接用料最省？
5、全家每个人喝了一满杯咖啡加牛奶，并且李明喝了全部牛奶（若干杯）的4
1
和全部咖啡（若全部咖啡）的
6
1
，那么全家有几口人？ 6、已知1999×△+4×□=9991，其中△，□是自然数，那么□代表的数是多少？
7、箱子里有乒乓球若干个，其中25%是一级品，五分之几是二级品，其余91个是三级品，那么，箱子里有乒乓球多少个？
8、某班同学分成若干小组去植树，若每组植树n 棵，且n 为质数，则剩下树苗20棵；若每组植树9棵，则还缺少2棵树苗，这个班的同学共分成了几组？
9、一个学生1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，问这个学生2005年多少岁？
10、一个三位数除以19所得的商等于这个三位数各位数码的和，这种三位数有多少个？ 11、一个三位数除以17所得的商等于这个三位数字之和，求这个三位数。

12、一个盒中有蟋蟀和蜘蛛各若干只，共有46只脚，求蜘蛛和蟋蟀各有几只？
13、已知一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字也相同，求这个四位数。

14、（江苏吴江市小学数学竞赛试题）
三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？
15、（北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题）
小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共10册，已知甲、乙、丙、丁四种书每本价格分别为3元，5元，7元，11元，而且每种书至少买了一本。

那么，共有几种不同的购买方法？ 16、今年，祖父的年龄是小明的6倍。

几年后，祖父的年龄将是小明的5倍。

又过几年以后，祖父的年龄将是小明的4倍。

求：祖父今年是多少岁？
17、有甲、乙、丙在种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。

若购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。

现购甲、乙、丙各一件共需多少元？
18、在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图，小明像玩跳棋那样从A 出发，沿着逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后跳回到A 孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔；最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A 孔，问：这个圆圈上共有多少个孔？
19、（希望杯全国数学邀请赛试题）
一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，问小明摸
出的球中红球最多不超过多少个？
20、（北京市第七届迎春杯数学竞赛试题）
某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费，如果超过24度，超出的部分按每度2角收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱（用电按整度计算），问甲、乙两家各交了多少电费？
21、（韩国汉城国际小学数学奥林匹克竞赛试题）
哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片，他先到甲文具店去买了几张500元钱的卡片，剩下的卡片到乙文具店去买了。

乙文具店的一张卡片价格是以百元为单位，且小于2000元。

哲洙买了50张卡片共花了30400元。

请你写出他在乙文具店买的卡片数量的所有可能情况。

22、（全国小奥赛总决赛试题）
新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36人，统计员提供的学生总数都比实际总人数少180人。

原来，他在纪录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。

这个学校学生总数最多有多少人？
23、（2000年福建福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题）
地面上有18堆石子，每堆都是100个石子。

随意挑选17堆，从每堆中各取一个石子放到剩下的一堆里，称为一次操作。

下一次操作时，再随意挑选17堆，从每堆再各取一个石子，放到剩下的的一堆里。

经过不到40次操作后，发现有一堆石子数是70，另有一堆的石子数在170到190之间，那么这堆石子数的确切数字是多少？请简要说出理由。

24、（第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）
甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。

已知甲班1人捐6册，有2人各捐7册，其余人各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余人各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册。

已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多捐9册。

各班捐书总数在400册与550册之间，问甲、乙、丙三个班各有多少人？
25、（2000年全国小学数学奥林匹克竞赛预赛试题）
某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费。

某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元（用电按照度数收费）？
不定方程参考答案
[同步巩固演练] 1、 33，85
依题意可设A=11a ， B=17b ，则有：11a+17b=118 a=
11
17118b
- 经试验a=3，b=5，所以A=11a=33，B=17b=85 2、答案如下： （1）⎩⎨
⎧==28
y x
⎩⎨
⎧==510
y x ⎩⎨
⎧==11
14
y x 等 （2）5组，⎩⎨
⎧==1012
y x
⎩⎨
⎧==18
2
y x ⎩⎨
⎧==14
7
y x ⎩⎨
⎧==6
17
y x ⎩⎨
⎧==2
22
y x 3、有几种情况，如下：
设甲、乙两种车分别需x 辆、y 辆，则有 6x+8y=130 符合题意的解有：⎩⎨⎧==219
y x
⎩⎨
⎧==515
y x ⎩⎨
⎧==811
y x ⎩⎨
⎧==117
y x ⎩⎨
⎧==14
3
y x 4、16支或12支
设张明买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支，根据题意，列方程
7x+3y=60 由于3、60均被3整除，因此7x 一定能被3整除。

当x=3时，y=13，此时3+13=16； 当x=6时，y=6，此时6+6=12； 当x 大于等于9时不满足方程。

即 张明用6角钱恰好买两种铅笔16支或12支。

5、23人
设共有学生x 人，依题意可列如下方程： kx+20=9×（x －1）+6 kx+20=9x －3 x ×（9－k ）=23
23是一个质数，而9－k ≤9，所以x 必然等于23，即共有23人搬砖。

6、11个月，7个月。

设马小富在甲公司打工x 个月，在乙公司兼职y 个月，这里x ＞y ，且x 、y 都是不大于12的自然数，根据题意，列方程：
470x+350y=7620 47x+35y=762
由于35y 的末位数字一定是5或0，因此47x 的末位数字是7或2，x 只能是1或11或6。

当x=1或6时，y 没有自然数解，不符合题意；
当x=11时，y=7。

即 马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月。

[能力拓展平台]
1、答案⎪⎩⎪
⎨⎧===142z y x
⎪⎩⎪
⎨⎧===125z y x ⎪⎩
⎪
⎨⎧===213z y x 解：显然z 只能取1，2，3。

当z=1时，2x+3y=16，其自然数解为x=2，y=4；x=5，y=2。

当z=2时，2x+3y=9，其自然数解为x=3，y=1。

当z=3时，2x+3y=2，显然无自然数解。

所以原方程的自然数解为⎪⎩
⎪
⎨⎧===142z y x
⎪⎩⎪
⎨⎧===125z y x ⎪⎩
⎪
⎨⎧===213z y x 2、7段，8段．
要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，但必须符合：（1）两种铜管都有；（2）两种铜管长度之和加上损耗部分的长度应等于1米。

设38毫米、90毫米的铜管分别锯x 段、y 段，根据题意，列方程： 38x+90y+（x+y －1）=1000 39x+91y=1001
由于39、91、1001有公因数13，方程两边同除以13得 3x+7y=77
y=
7377X
- 即 y=11－x 7
3
要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说x 尽可能小。

又x 、y 均是自然数，可得
x=7，y=8。

即 只有当锯得38毫米的铜管为7段，90毫米的铜管为8段时，所损耗的铜管才能最少。

注：列出方程后，要选用简便算法，本题是先把1001、39、91分解质因数后约分，然后把y 用x 来表示，利用y 是自然数，x 必须能被7整除来求解。

3、 84页
设小明第一天看了a 页，第二天看了b 页，则前五天看的页数依次为： a ，b ，a+b ，a+2b ，2a+3d 。

上面各个数的和是200，得到 5a+7b=200
因为5a 与200都是5的倍数，所以b 是5的倍数，因为b ＞a ，所以上式只有两组解： b=20，a=12；b=25，a=5
将这两组解分别代入2a+3b ，得到第五天至少看了84页。

4、10种
设两个正整数是a 和b ，由题意有：
11991
11=+b a ，化简得 181a+b=1991，b 应是181的倍数，设b=181b 1，则181a+181b 1=1991，a+b 1=11。

a 、b 1都是正整数，有10组解，它们均满足题意。

故有10种可能。

5、8次
设在第一部、第二部、第三部换币机上分别换了x 、y 、Z 次硬币，则有x+y+Z=12。

另一方面，每当在第一部机器上换一次可使硬币增加一枚，相应地，每当在另外两部机器一换一次，可使硬币分别增加3枚和9枚，因此有：x+3y+9Z=80，解得：x=y=2，Z=8。

6、 1件
设此人购买甲、乙、丙三种商品的件数分别为a 件、b 件、c 件，依题意有： 2a+3b+5c=20
由于此人退的两件商品的价钱不是10元，所以退回的商品单价不为5，退回的是甲种或乙种商品，故有C ＜3（若c=3，则a=b=1，退回的必须是丙种商品）。

经试验，满足 2a+3b+5c=20的正整数解有三组：
⎪⎩⎪
⎨⎧===133c b a ⎪⎩⎪
⎨⎧===116c b a ⎪⎩
⎪
⎨⎧===222c b a 结合题意，可知原来三种商品分别买3件，3件，1件，而现在购买三种商品的件数分别为： 6件，1件，1件。

[全讲综合训练] 1、44，102
设一个数为11x ，另一个数为17y ，由题意得： 11x+17y=146，x=
,11
17146Y
- 因为x 、y 必须是自然数，解得x=4，y=6，符合题意，所以这两个整数为44和102。

2、5辆、4辆
设需大客车x 辆，小客车y 辆。

则有：42x+25y=310，整理得：y=25
42310x
- ，解得x=5，y=4。

3、18块
设甲搬砖16x 块，乙搬砖21y 块，则：16x+21y=270，解得自然数解：x=9，y=6。

即甲搬砖16×9=144（块），乙搬砖21×6=126（块），甲比乙多搬144－126=18（块）。

4、2米，5米
设3米长用x 根，5米长的用y 根。

根据题意有：3x+5y=31，x=3
531y
-，当y=2时，x=7＞6，不符合题意，舍去。

当y=5时，x=2，符合题意。

5、 5人
设全家共喝x 杯牛奶和y 杯咖啡，得
3,2122316
1
41==⇒=+⇒=+y x y x y x ，所以共喝了2+3=5（杯），因此，全家有5口人。

6、1998
△是小于4的奇数，只需检验△=1或3两种情况即可。

7、260
设 箱子里共有n 个乒乓球，二级品占5
a
，依题意得， n ×25%+n
5
a
+91=n 整理得 n （15－4a ）=20×91 ① 易知 15－4a ＞0，所以a ≤3。

将a=1，2，3，代入①知，只有a=2符合要求，此时 n=260（个） 8、11 9、33岁
设他出生于xy 19年，则有：1991－xy 19=9+x+y ，91－（10x+y ）=10+x+y ，11x+2y=81。

解得：x=7，y=2。

即这个同学出生于1972年，他2005年的年龄是2005－1972=33（岁）。

10、有11个
设这个三位数为abc ，a 、b 、c 均为0~9的整数，且a ≠0，于是：19（a+b+c ）=100a+10b+c ，即：81a=9b+18c ，9a=b+2c ，把b=0、1、2、3……9分10种情况讨论，可得此方程的11个解。

这11个解组成以下11个三位数：114，133，152，171，190，209，228，247，266，285，399。

11、153
设这个三位数为abc ，a 、b 、c 均为0~9的整数，且a ≠0，于是17（a+b+c ）=100a+10b+c ，化简得：83a=7b+16c ，当a=1，b=5，c=3是本题的唯一解。

所求三位数是153。

12、如下：
设蟋蟀有x 只，蜘蛛有y 只，则：6x+8y=46 即3x+4y=23。

解得：⎩⎨⎧==,5,
1y x ⎩
⎨⎧==.2,
5y x 13、7744
设这个四位数前两个相同的数字为x ，后两个相同的数字为y ，且这个四位数为一个自然数n 的平方，从而得1000x+100x+10y+y= n 2 所以11×（100x+y ）= n 2，由此可知n 中有11这个因数，此四位数则应有两个因数11，因此100x+y 中还应有一个因数11。

由100x+y=99x+（x+y ）可知x+y 应是11的倍数，（即x+y=11），那么所求的数就是：xxyy =11×（99x+11）=121×（9x+1），因为xxyy 是一个完全平方数，所以（9x+1）也应是一个完全平方数，只有当x=7时，9x+1=64是完全平方数，由x=7，x+y=11得y=4，所以所求的数为7744。

14、如下：
设乙车有x 箱苹果，则甲车有（x+4）箱，丙车有（x －4）箱苹果；乙车每箱有y 个苹果，则甲车每箱有（y －3）个，丙车每箱（y+5）个苹果。

⎩
⎨
⎧=+--=--+5)5)(4(3
)3)(4(y x xy xy y x
化简，得⎩⎨
⎧=-=-)
2(1545)
1(1534y x x y
①+②，得2x=30，x=15 将x=15代入①，得y=15 x+4=19，y －3=12； x －4=11，y+5=20
答：甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个。

15、如下：
设买甲种书a 本，乙种书b ，丙种书c 本，丁种书d 本。

则
⎩⎨
⎧=+++=+++701175310d c b a d c b a ① －②×3，得
2b+4c+8d=40
即 b+2c+4d=20 ③ 从③看出d ＜
当d=4时，c=1，b=2，a=3
当d=3时，c=2，b=4，a=1或c=3，b=2，a=2 当d=2时，c=5，b=2，a=1 当d=1时，无解。

因此，有以下四种不同的购买方法： 甲 乙 丙 丁 3 2 1 4 1 4 2 3 2 2 3 3 1
2
5
2
即共有4种不同的购买方法。

16、72岁
设今年小明x 岁，那么今年祖父6x 岁。

y 年以后，祖父的年龄是小明的5倍，于是有： 5（x+y ）=6x+y
设又过z 年以后，祖父的年龄是小明的4倍，于是有： 4（x+y+z ）=6x+y+z 所以得方程组：
⎩
⎨
⎧++=+++=+z y x z y x y
x y x 6)(46)(5 化简得：
⎩
⎨
⎧+==z y x y
x 3324 ①
②
①
②
③
④
由（3）得y=
x 41
，代入（4）得 2x=3×x 41
+3z
即 z=x 12
5
因为经过的年数只能取自然数，所以x 可取12，24，36……；
因为今年祖父的年龄为6x 岁，当x=12时，6x=72；当x=24时，6x=144，这不可能，以后更大，更无可能。

所以只有当x=12时，6x=72是可能的。

17、105元
设购甲、乙、丙一件各需x 元，y 元，z 元。

根据题意列方程组，得
⎩⎨
⎧=++=++420
104315
73z y x z y x 即 ⎩⎨⎧=++++=++++420
)()3(3315)()3(2z y x y x z y x y x
（1）×3－（2）×2，得 x+y+z=315×3－420×2=105
即 现购甲、乙、丙各一件共需105元。

18、91个
每隔2、4、6孔跳一步，实际分别跳3、5、7孔；每步跳3、5孔跳到B 孔，即总孔数除以3和5分别余1，因为3和5的最小公倍数为15，所以就是 总孔 数除以15余1。

每步跳7孔，正好回到A 孔，即总孔数能被7整除。

设所求总孔数为15x+1，总孔数除以7的商为y ，于是得方程 15x+1=7y 即 y=
7
1
27115++
=+x x X 因为步数为自然数，而 y ＜100，所以，只有当x=6时，y=2×6137
1
6=++，总孔数为15×6+1=91（或7×13=91），才满足题意。

即 这个圆圈上共有91个孔。

19、4个
设有蓝球x 个，黄球y 个，则红球有（10－x －y ）个，根据题意，列方程： 3x+2y+（10－x －y ）=21
2x+y=11
则x 可取1、2、3、4、5，y 分别取9、7、5、3、1，对应（10－x －y ）的值为0、1、2、3、4。

因此红球的个数最多不超过4个。

20、2.76元，1.8元
若两家都没超过24度或都超过24度，则甲家多交的电费应该分别是9和20的倍数。

但
①
②
96不是9和20的倍数，设甲家用电x 度，乙家用电y 度，这里x 大于24，y 小于24，且大于0，根据题意，列方程：
24×9+20（x －24）=9y+96 20x=360+9y
由于20x 、360都能被20整除，因此y 是20的倍数，y 只能取20或0。

可求得x=27或18。

又18＜24，不符合题意，舍去。

因此，乙家交电费：20×9=180（分）=1.8(元) 甲家交电费：180+96=276（分）=2.76(元)
21、设哲洙在乙文具店买了x 张卡片，每张价格为y ×100元。

由花钱总数可列方程，为
500×（50－x ）+100y ×x=30400 25000－500x+100xy=30400 100xy －500x=5400 x （y －5）=54
从上式可看出x 与（y －5）都是54的约数，且x ＜50，那么x 与y 的关系如下表：
X 1
2
3
6
9 18 27 y －5
54 27
18 9
6
3
2
因为乙文具店一张卡片价格小于2000元，推知y 小于2000÷100=20，那么y －5＜15。

这时x 的取值是6、9、18、27。

即 哲洙在乙文具店买卡片的数量有买6、9、18、27张的可能。

22、972人
设这个学校的学生总数为abc ，则180=-bac abc 。

100a+10b+c －（100b+10a+c ）=180，得a －b=2。

这个学校人数总数可能是20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。

又知学生总数是36的倍数，直接除以36，或想这些数是4、9的倍数，得出648，756，864，972。

最多有972人。

23、178个
有一堆石子数70，共减少了100－70=30个石子，如果有从其它17堆拿石子放入这堆的操作，那么至少操作了100+17－70=47次，与不到40次矛盾。

所以这堆石子每次都要拿出1个石子，共操作了30次。

另一堆石子数在170~190之间，设这30次操作中有n 次是从17堆石子放入这堆中，有（30－n ）次是从这堆拿出石子。

拿出（30－n ）个石子。

这堆石子数为100－（30－n ）+17n=70+18n ，170≤70+18n ≤190，当n=6时，70+18n=178，这堆石子178个。

24、51人，53人，49人。

设甲班a 人，乙班b 人，丙班c 人，则甲班捐书6+7×2+11（a －3）=11a －13。

乙班捐书6+8×3+10（b －4）=10b －10， 丙班捐书4×2+7×6+9（c －8）=9c －22。

由甲班比乙班多28本，乙班比丙班多101本，得
得由),2()
2(101)229(1010)
1(28)1010(1311⎩⎨
⎧=---=---c b b a
10b－10=101+9c－22代入（1）得11a－13－（101+9c－22）=28。

化简，得10b－9c=120。

因为400＜11a－13＜550，
400＜10b－10＜550，400＜9c－22＜550
解得a=51，b=53，c=49。

25、24.05元
设乙用电x度，丙用电y度。

其中x＞10，y＜10，则有
0.45×(10－y)+0.8×(x－10)=3.75
4.5－0.45y+0.8x－8=3.75
0.8x－0.45y=7.25
80x－45y=725
16x－9y=145
解得x=13,y=7
乙用户用电13度,丙用户用电7度.
丙交电费：0.45×7=3.15(元)
乙交电费：3.15+3.75=6.90(元)
甲交电费：6.90+7.10=14.00(元)
三户共交电费：
3.15+6.90+1
4.00=24.05(元)
11。