人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值B

课时作业(十五)B[第15讲导数与函数的极值、最值]
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是()
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
2．[2012·济南模拟] 已知f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如图K15－3所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下图中的()
图K15－
3．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是()
A．2 B．1
C．0 D．由a决定
4．f(x)＝a
x ln x的极大值为－2e，则a＝________.
能力提升
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为()
A．极大值为4
27，极小值为0
B．极大值为0，极小值为－4 27
C．极小值为－5
27，极大值为0
D．极小值为0，极大值为5
27
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．－1<a<2
B．a<－3或a>6
C．－3<a<6
D．a<－1或a>2
7．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()
A．－5 B．－11
C．－29 D．－37
8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
9．函数y ＝f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，F (x )＝f (x )－g (x )，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象如图K15－5所示，且a <x 0<b ，那么(
图K15－5
A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点
B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点
C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点
D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点 10．[2011·广东卷] 函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 11．[2011·绵阳模拟] 图K15－6
图K15－6
①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；
③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是________．
12．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取极值－4
3
，
则b ＝________，c ＝________.
13．设a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－3x 2，若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )，x ∈[0,2]在x ＝0处取得最大值，则a 的取值范围是________．
14．(10分)[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；
(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．
15．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为
1010，若x ＝2
3
时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；
(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．
难点突破
16．(12分)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝1
2
x 2－x ＋a .
(1)当a ＝2时，求函数y ＝g (x )在[0,3]上的值域； (2)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；
(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有x ln x >g ′(x )＋1e x －2
e
成立．
课时作业(十五)B
【基础热身】
1．A [解析] f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A.
2．B [解析] 根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B 正确．
3．C [解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋4＝3(x ＋1)2＋1>0，则f (x )在R 上是增函数，故不存在极值点．
4．2 [解析] 函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝－a (ln x ＋1)
x 2ln 2x
，令f ′(x )＝0，得
x ＝1
，当a >0时，列表如下： 当x ＝1e
时，函数f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝a
1e ln 1e
＝－a e ，故－a e ＝－2e ，解得a ＝2；
【能力提升】
5．A [解析] 由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
p ＝2，q ＝－1，
所以f (x )＝x 3
－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝⎛⎭⎫
13是极大值，故选A.
6．B [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，解得a <－3或a >6.
7．D [解析] 由f ′(x )＝6x 2－12x >0得x <0或x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )在[－2,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．∴x ＝0时，f (x )max ＝m ＝3.又f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴f (x )min ＝－37.
8．A [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，令f ′(x )＝0，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．
9．B [解析] F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，
∴F ′(x 0)＝f ′(x 0)－g ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，且x <x 0时，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)<0，x >x 0时，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)>0，故x ＝x 0是F (x )的极小值点，选B.
10．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值． 11．②③ [解析] 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知：(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．
12．－1 3 [解析] f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取极值－4
3
，
可得⎩
⎪⎨⎪⎧
f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－4
3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－1，
c ＝3.
若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，
∴当x ＝1时，f (x )有极大值－4
3
.
故b ＝－1，c ＝3即为所求．
13.⎝
⎛⎦⎤－∞，6
5 [解析] g (x )＝ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ＝ax 2(x ＋3)－3x (x ＋2)． 当g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)时，g (0)≥g (2)，即0≥20a －24，得a ≤6
5
.
反之，当a ≤65时，对任意x ∈[0,2]，g (x )≤65x 2(x ＋3)－3x (x ＋2)＝3x
5
(2x 2＋x －10)
＝3x
5
(2x ＋5)(x －2)≤0， 而g (0)＝0，故g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)．
综上，a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，65. 14．[解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.
x 与f (x )、f ′(x )的变化情况如下：
所以，f (
(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；
当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，
所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －
1；
当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.
15．[解答] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.①
当x ＝2
3
时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得 4a ＋3b ＋4＝0.②
由①②解得a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m .
由原点到切线l 的距离为1010，得|m |32＋1＝10
10
，
解得m ＝±1.
∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1.
由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4， ∴c ＝5.
(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2
3
.
当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下表：
∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13，在x ＝2
3
处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95
27
.
【难点突破】
16．[解答] (1)∵g (x )＝12(x －1)2＋3
2
，x ∈[0,3]，
当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝32；当x ＝3时，g (x )max ＝g (3)＝7
2
.
故当a ＝2时，g (x )在[0,3]上的值域为⎣⎡⎦⎤
32，72.
(2)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭
⎫1
e ，＋∞，
f ′(x )>0，f (x )单调递增．
①0<t <t ＋2<1
e
，t 无解；
②0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1
e ； ③1e ≤t <t ＋2，即t ≥1
e
时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ； 所以f (x )min ＝⎩
⎨⎧
－1e ，0<t <1e
，t ln t ，t ≥1
e
.
(3)g ′(x )＋1＝x ，所以问题等价于证明x ln x >x e x －2
e
(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f (x )＝x ln x (x
∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1
e
时取到．
设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易得m (x )max ＝m (1)＝－1
e
，当且仅当x
＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有x ln x >g ′(x )＋1e x －2
e
成立．。