苏科版八年级上册数学第二次月考易错试题汇总(含答案)

苏科版八年级上册数学第二次月考易错试题汇总（含答案）
一、选择题
1．如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1∠的度数为（ ）
A ．82°
B ．78°
C ．68°
D ．62°
2．对函数31y x =-，下列说法正确的是( ) A ．它的图象过点(3,1)- B ．y 值随着x 值增大而减小 C ．它的图象经过第二象限 D ．它的图象与y 轴交于负半轴
3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为
（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
4．如图，在△ABC 中，AB="AC," AB ＋BC=8．将△ABC 折叠，使得点A 落在点B 处，折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ，连接BF ，则△BCF 的周长是（ ）
A ．8
B ．16
C ．4
D ．10
5．如图,将边长为1的正方形OABC 沿x 轴正方向连续翻转2020次,点A 依次落在点1A 、2A 、3A 、4A …2020A 的位置上,则点2020A 的坐标为（ ）
A ．2019,0（）
B ．2019,1（）
C ．2020,0（）
D ．2020,1（）
6．在平面直角坐标系中，点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A ．()3,2
B ．()2,3-
C ．()3,2-
D ．()3,2--
7．已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是 （ ）
A ．A
B ＝A
C B ．B
D ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠BDA ＝∠CDA 8．已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，则a 的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
9．一组不为零的数a ，b ，c ，d ，满足a c
b d
=，则以下等式不一定成立的是（ ） A ．a c ＝b d B ．a b b +＝c d
d
+ C ．
9a b -＝
9
c d
- D ．
99a b a b
-+＝99c d
c d -+ 10．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．
1
5
B ．
13
C ．
58
D ．38
二、填空题
11．写出一个比4大且比5小的无理数：__________.
12．已知点P （a ，b ）在一次函数y=x +1的图象上，则b ﹣a=_____． 13．如图，直线4
83
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点A 和B ，M 是OB 上的一点，若将ABM ∆沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，则直线AM 的解析式为_____．
14．将函数y=3x+1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．
15．点（−1，3）关于x 轴对称的点的坐标为____．
16．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+1的图象经过P 1（x 1 ， y 1）、P 2（x 2 ，
y 2）两点，若x 1>x 2 ， 则y 1________y 2（填“>”或“<”）．
17．已知一次函数1y kx b =+与2y mx n =+的函数图像如图所示，则关于,x y 的二元一
次方程组0,
0kx y b mx y n -+=⎧⎨-+=⎩
的解是______．
18．如图，等边△ABC 的周长是18，D 是AC 边上的中点，点E 在BC 边的延长线上．如果DE ＝DB ，那么CE 的长是_____．
19．在第二象限内的点P 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是4，则点P 的坐标是_________.
20．对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.2，那么该班级的人数是_____人．
三、解答题
21．如图，△AB C 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ． （1）若△BCD 的周长为8，求BC 的长； （2）若∠A=40°，求∠DBC 的度数．
22．在△ABC 中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α（0°＜α＜180°）,点B 的对应点为点D,点C 的对应点为点E,连接BD ，BE ． （1）如图,当α=60°时,延长BE 交AD 于点F ．
①求证：△ABD 是等边三角形； ②求证：BF ⊥AD ，AF=DF ； ③请直接写出BE 的长；
（2）在旋转过程中,过点D 作DG 垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG 与线段AE 无公共点时,请直接写出BE+CE 的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点,A B 的坐标分别为()6,0A ，
()6,4B ，D 是BC 的中点，动点P 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着
O A B D →→→运动，设点P 运动的时间为t 秒（013t <<）.
（1）点D 的坐标是______；
（2）当点P 在AB 上运动时，点P 的坐标是______（用t 表示）；
（3）求POD 的面积S 与t 之间的函数表达式，并写出对应自变量t 的取值范围. 24．如图（1）所示，在A ，B 两地间有一车站C ，甲汽车从A 地出发经C 站匀速驶往B 地，乙汽车从B 地出发经C 站匀速驶往A 地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C 站的路程y (千米)与行驶时间x (小时)之间的函数关系的图象．
（1）填空：a = km ，b = h ，AB 两地的距离为 km ； （2）求线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式(自变量取值范围不用写)；
（3）求行驶时间x 满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小？ 25．计算：
（1）32339(5)()4
---+-； （2）1
2436122
÷-
⨯+． 四、压轴题
26．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______； （2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，
9n =，如图2②，③；…… ①用n 表示t 的內数；
②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）
27．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，
3BC =．
（1）求直线AC 的解析式；
（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在
最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．
28．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． （1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ． （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？
29．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以
CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ． （1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
30．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．
（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，AC与BD交于点P，BD+AC=9，
∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC＜90°，且点C到直线BD的距离是3，求△ABC与△BCD 的面积之和．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用全等三角形的性质得出∠1＝∠2进而得出答案．
【详解】
∵如图是两个全等三角形，
∴∠1＝∠2＝180°−40°−62°＝78°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
2．D
解析：D
【解析】 【分析】
根据一次函数的性质，对每一项进行判断筛选即可. 【详解】
A 将x=3代入31y x =-得：3×3-1=8，A 选项错;
B ．一次函数k ＞0，y 值随着x 值增大而增大，B 选项错；
C ．一次函数k ＞0，y 值随着x 值增大而增大，当x=0时，y=-1，故此函数的图像经过一、三、四象限，C 选项错；
D ．当x=0时，y=-1，一次函数的图象与y 轴交于负半轴，D 项正确. 故选D. 【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一次函数的性质.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC 的长. 【详解】
在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD ⊥BC ，BC=2BD. ∴∠ADB=90°
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：=4
∴BC=2BD=2×4=8.
故选C. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
由将△ABC 折叠，使得点A 落在点B 处，折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ，可得BF=AF ，又由在△ABC 中，AB=AC ，AB+BC=8，易得△BCF 的周长等于AB+BC ，则可求得答案． 【详解】
解：由将△ABC 折叠，使得点A 落在点B 处，折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ，可得BF=AF ，
又由在△ABC 中，AB=AC ，AB+BC=8，
所以△BCF 的周长等于BC+CF+BF=BC+CF+AF=AB+BC=8． 故答案选A ． 【点睛】
此题考查了折叠的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意等量代换，注意数形结合思想的应用．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意分别求出1A 、2A 、3A 、4A …横坐标，再总结出规律即可得出. 【详解】 解：根据规律
1A (0,1)、2A (2,1)、3A (3,0)、4A (3,0), 5A (4,1)、6A (6,1)、7A (7,0)、8A (7,0) …
每4个一个循环，可以判断2020A 在505次循环后与4A 一致，即与2019A 相等，坐标应该是(2019,0) 故选 A 【点睛】
此题主要考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】
解：点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标为()3,2--． 故选：D ． 【点睛】
本题考查坐标与图形变化——轴对称.熟记①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.是解决此题的关键.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案． 解：A 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若AB=AC ，则△ABD ≌△ACD （SAS ）；故A 不符合题意；
B 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若BD=CD ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD ≌△ACD ；故B 符合题意；
C 、∵∠1=∠2，A
D 为公共边，若∠B=∠C ，则△ABD ≌△ACD （AAS ）；故C 不符合题意； D 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠BDA=∠CDA ，则△ABD ≌△ACD （ASA ）；故D 不符合题意． 故选B ．
考点：全等三角形的判定．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可． 【详解】
∵点P （a ，2a-1）在一、三象限的角平分线上， ∴a=2a-1， 解得a=1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【详解】 解：
一组不为零的数a ，b ，c ，d ，满足
a c
b d
=， ∴
a b c d =，11a c b d +=+，即a b c d b d
++=，故A 、B 一定成立； 设
a c
k b d
==， ∴a bk =，c dk =， ∴999999a b kb b k a b kb b k ---==+++，999
999
c d kd d k c d kd d k ---==+++， ∴9999a b c d
a b c d
--=++，故D 一定成立； 若
99a c b d --=则99a c b b d d -=-，则需99
b d
=， ∵b 、d 不一定相等，故不能得出
99
a c
b d
--=，故D 不一定成立．
故选：C．
【点睛】
本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】
解：共8球在袋中，其中5个红球，
故摸到红球的概率为5
8
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= m
n
，难度适中．
二、填空题
11．答案不唯一，如：
【解析】
【分析】
根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】
∵42=16，52=25，∴到之间的无理数都符合条件，如：．
故答案为答案不唯一，如：．
【点睛】
本题考查了无理数的
解析：
【解析】
【分析】
根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】
∵42=16，52=25．
故答案为．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的
数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12．1
【解析】
∵点P （a ，b ）在一次函数y=x+1的图象上，
∴b=a+1，
∴b -a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P （a ，b ）代入一次函数
解析：1
【解析】
∵点P （a ，b ）在一次函数y=x +1的图象上，
∴b=a+1，
∴b -a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P （a ，b ）代入一次函数的解析式．
13．【解析】
【分析】
由题意，可求得点A 与B 的坐标，由勾股定理，可求得AB 的值，又由折叠的性质，可求得与的长，BM=，然后设MO=x ，由在Rt△中，，即可得方程，继而求得M 的坐标，然后利用待定系数法 解析：132
y x =-+ 【解析】
【分析】
由题意，可求得点A 与B 的坐标，由勾股定理，可求得AB 的值，又由折叠的性质，可求得'AB 与'OB 的长，BM='B M ，然后设MO=x ，由在Rt △'OMB 中，
222OM OB B M ''+=，即可得方程，继而求得M 的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案.
【详解】
令y=0得：x=6，令x=0得y=8，
∴点A 的坐标为：(6，0)，点B 坐标为：(0，8)，
∵∠AOB=90°，
∴10=,
由折叠的性质，得：AB='AB =10，
∴OB '=AB '-OA=10-6=4,
设MO=x ，则MB=MB '=8-x ，
在Rt △OMB '中，222OM OB B M '+=，
即222
4(8)x x +=-，
解得：x=3，
∴M(0，3)，
设直线AM 的解析式为y=km+b ，代入A(6，0)，M(0，3)得： 603k b b +=⎧⎨=⎩
解得：123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
∴直线AM 的解析式为：132
y x =-
+ 【点睛】
本题考查了折叠的性质，待定系数法，勾股定理，解决本题的关键正确理解题意，熟练掌握折叠的性质，能够由折叠得到相等的角和边，能够利用勾股定理求出直角三角形中未知的边. 14．y=3x-1
【解析】
∵y=3x+1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x ﹣1．
故答案为y=3x ﹣1．
解析：y=3x-1
【解析】
∵y=3x +1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x ﹣1．
故答案为y=3x ﹣1．
15．（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】
解：点（-1，3）关于x 轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，
解析：（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】
解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，-3）．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
16．<
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小进行判断即可．
【详解】
解：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2
解析：<
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小进行判断即可．
【详解】
解：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
17．【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，从而可得答案．【详解】
解：∵一次函数和一次函数的图象交点的坐标为
∴方程组的解是：．
故答案为：．
【点睛】
本题
解析：12x y =-⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，从而可得答案．
【详解】
解：∵一次函数1y kx b =+和一次函数2y mx n =+的图象交点的坐标为()1,2,-
∴方程组00kx y b mx y n -+=⎧⎨-+=⎩的解是：12x y =-⎧⎨=⎩
． 故答案为： 12x y =-⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．掌握以上知识是解题的关键．
18．3
【解析】
【分析】
由△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB 得∠E =30°，再证出∠CDE=∠E，得出CD=CE=AC=3即可．
【详解】
∵△ABC 为等边
解析：3
【解析】
【分析】
由△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB 得∠E =30°，再证出∠CDE=∠E ，得出CD=CE=
12
AC=3即可． 【详解】
∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上的中点，
∴BD 为∠ABC 的平分线，且∠ABC=60°，
∴∠DBE=30°，
又DE=DB ，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC 的周长为18，
∴AC=6，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE=1
2
AC=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明CD=CE是解题的关键．
19．（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
解析：（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是-4，纵坐标是1，
∴点P的坐标为（-4，1）．
故答案为：（-4，1）．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度．
20．50
【解析】
【分析】
利用数据的总数=该组的频数÷该组的频率解答即可．
【详解】
解：该班级的人数为：10÷0.2＝50．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了频数与频率，熟练掌握数据的总数与
解析：50
【解析】
【分析】
利用数据的总数=该组的频数÷该组的频率解答即可．
【详解】
解：该班级的人数为：10÷0.2＝50．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了频数与频率，熟练掌握数据的总数与频数、频率的关系是解题的关键．
三、解答题
21．（1）3cm；（2）30°.
【解析】
【分析】
(1)根据线段垂直平分线定理得出AD=BD，根据BC+CD+BD=8cm求出AC+BC=8cm，把AC的长代入求出即可；
(2)已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出
∠ABC=∠A，易求∠DBC．
【详解】
(1)∵D在AB垂直平分线上，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长为8cm，
∴BC+CD+BD=8cm，
∴AD+DC+BC=8cm，
∴AC+BC=8cm，
∵AB=AC=5cm，
∴BC=8cm﹣5cm=3cm；
(2)∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DB=AD
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
考点：(1)线段垂直平分线的性质；(2)等腰三角形的性质．
22．（1）①②详见解析；③﹣4；（2）13．
【解析】
【分析】
（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；
（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、
∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．
【详解】
（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形；
②由①得△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
又∵AC=BC，
∴EA=ED，
∴点B、E在AD的中垂线上，
∴BE是AD的中垂线，
∵点F在BE的延长线上，
∴BF⊥AD， AF=DF；
③由②知BF⊥AD，AF=DF，
∴AF=DF=3，
∵AE=AC=5，
∴EF=4，
∵在等边三角形ABD中，BF=AB•sin∠BAF=6×
3
2
=33，
∴BE=BF﹣EF=33﹣4；
（2）如图所示，
∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，
∴∠BAE=∠ABC，
∵AC=BC=AE，
∴∠BAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC，
∴AB ⊥
CE ，且CH=HE=
12CE ， ∵AC=BC ，
∴AH=BH=12
AB=3， 则CE=2CH=8，BE=5，
∴BE+CE=13．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．（1）（3,4）；（2）（6，t －6）（3）()()()
2063216102
2621013t t S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪-<<⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）根据长方形的性质和A 、B 的坐标，即可求出OA=BC=6，OC=AB=4，再根据中点的定义即可求出点D 的坐标；
（2）画出图形，易知：点P 的横坐标为6，然后根据路程＝速度×时间，即可求出点P 的运动路程，从而求出AP 的长，即可得出点P 的坐标；
（3）分别求出点P 到达A 、B 、D 三点所需时间，然后根据点P 运动到OA 、AB 、BD 分类讨论，并写出t 对应的取值范围，然后画出图形，利用面积公式即可求出各种情况下S 与t 之间的函数表达式．
【详解】
解：（1）∵长方形OABC 的顶点,A B 的坐标分别为()6,0A ，()6,4B ，
∴OA=BC=6，OC=AB=4，BA ⊥x 轴，BC ⊥y 轴
∵D 是BC 的中点，
∴CD=BD=12
BC=3 ∴点D 的坐标为（3,4）
故答案为：（3,4）；
（2）当点P 在AB 上运动时，如下图所示
易知：点P 的横坐标为6，
∵动点P 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度，时间为t ∴点P 运动的路程OA ＋AP=t
∴AP=t －6
∴点P 的坐标为（6，t －6） 故答案为：（6，t －6）；
（3）根据点P 的速度可知：点P 到达A 点所需时间为OA ÷1=6s 点P 到达B 点所需时间为（OA+AB ）÷1=10s
点P 到达D 点所需时间为（OA+AB+BD ）÷1=13s
①当点P 在OA 上运动时，此时06t <≤，过点D 作DE ⊥x 轴于E
∴DE=4
∵动点P 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度，
∴OP=t
∴122
S OP DE t =•=； ②当点P 在AB 上运动时，此时610t <≤，
由（2）知AP=t －6
∴BP=AB －AP=10－t
∴OCD OAP BDP OABC S S S S S =---△△△长方形
=111222
OA AB OC CD OA AP BD BP •-
•-•-• =()()111644366310222
t t ⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯- =3212
t -+； ③当点P 在BD 上运动时，此时1013t <<，
∵动点P 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度，时间为t
∴点P 运动的路程OA ＋AB ＋BP=t
∴BP=t －OA －AB=t －10
∴DP=BD －BP=13－t
12
S OC DP =• =
()14132
t ⨯- =262t - 综上所述：()()()
2063216102
2621013t t S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪-<<⎪⎩
【点睛】
此题考查的是平面直角坐标系与长方形中的动点问题，掌握行程问题公式：路程＝速度×时间、数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
24．（1）120，2，420；（2）线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =﹣60x +300，线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =60x ﹣300；（3）行驶时间x 满足2≤x ≤5时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小．
【解析】
【分析】
（1）根据题意和图象中的数据，可以求得a 、b 的值以及AB 两地之间的距离；
（2）根据（1）中的结果和函数图象中的数据，可以求得线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式；
（3）根据题意，可以写出甲、乙两车距离车站C 的路程之和和s 之间的函数关系式，然后利用一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
（1）两车的速度为：300÷5=60km/h ，
a =60×(7﹣5)=120，
b =7﹣5=2，
AB 两地的距离是：300+120=420．
故答案为：120，2，420；
（2）设线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =kx +b ，
30050b k b =⎧⎨+=⎩，得60300k b =-⎧⎨=⎩
， 即线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =﹣60x +300；
设线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =mx +n ，
507120m n m n +=⎧⎨+=⎩，得60300m n =⎧⎨=-⎩
， 即线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =60x ﹣300；
（3）设DE 对应的函数解析式为y =cx +d ，
12020d c d =⎧⎨+=⎩，得60120
c d =-⎧⎨=⎩， 即DE 对应的函数解析式为y =﹣60x +120，
设EF 对应的函数解析式为y =ex +f ，
207300e f c f +=⎧⎨+=⎩，得60120e f =⎧⎨=-⎩
， 即EF 对应的函数解析式为y =60x ﹣120，
设甲、乙两车距离车站C 的路程之和为skm ，
当0≤x ≤2时，
s =(﹣60x +300)+(﹣60x +120)=﹣120x +420，
则当x =2时，s 取得最小值，此时s =180，
当2＜x ≤5时，
s =(﹣60x +300)+(60x ﹣120)=180，
当5≤x ≤7时，
s =(60x ﹣300)+(60x ﹣120)=120x ﹣420，
则当x =5时，s 取得最小值，此时s =180，
由上可得：
行驶时间x 满足2≤x ≤5时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
25．（1）
114；（2）． 【解析】
【分析】
（1）先开方，再依次计算即可；
（2）运用二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的性质化简，最后合并即可.
【详解】
解：（1）3+
＝﹣3﹣（﹣5）+
34 ＝114
（2
＝
＝【点睛】
本题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，熟练掌握开方运算及二次根式的乘除法法则是解题的关键.
四、压轴题
26．（1）2，7，4；（2）83
x ≥；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【解析】
【分析】
（1）根据内数的定义即可求解；
（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；
（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．
【详解】
解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；
232017⨯+>，所以20的内数是7；
23614⨯+>，所以6的内数是4；
（2）∵3是x 的內数，
∴2331x ≤+， 解得83
x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；
当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，
当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，
……
∴t 的内数=
②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；
当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，
当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，
……
即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；
∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，
由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，
∴此时最大实心正方形的边长为8，
离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【点睛】
本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．
27．（1）y =34-
x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】
【分析】
（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；
（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，
故A (0，3)，C (4，0)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，
点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：
340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AC 的解析式为：y =34
-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，
设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，
点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：
-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34
x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．
（3）
点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，
由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，
此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），
此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，
点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：
34
x -3=3， x =8，
故P 点坐标为(8，3)，
||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．
【点睛】
本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．
28．（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）
154；（4）经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；
（2）利用SAS 可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；
（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm ，
∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=5cm ．
又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，
∴PC=8﹣3=5cm ，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
29．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；。