2019届辽宁省抚顺市高三第一次模拟考试数学(理)试题(word版)

2019年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试
数 学（供理科考生使用）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试题册上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题册上无效． 4．考试结束后，将本试题册和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知复数z 满足(1i)12i z +=+（i 是虚数单位），则复数z 的模||z =
A
．
2 B
．2 C
．4
D
．4 2
．已知集合{A x y ==
，{}(1)(2)0B x x x =+-<，则A B = A ．（1-，1］ B ．（1，2） C ．（1-，1） D ．（0，2） 3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是
A ．5
B ．7
C ．9
D ．3 4．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，
每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比 赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩
绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的 平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29； （3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18． 则这4个结论中，正确结论的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有
A ．15种
B ．180种
C ．360种
D ．90种
甲 8 3 2 7 6 5 4 2 0 7 乙
9
1 3 4 8 9
0 1 1 3
0 1 2 3
6．实数x ，y 满足约束条件22010220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≤≥≤ ，则2z x y =- 的最大值是
A ．5-
B ．6-
C ．4
D ．5 7．某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
A ．4
B ．6
C ．2
D ．8
8．执行右面的程序框图，则输出的S 的值是
A ．126
B ．-126
C ．30
D ．62
9．已知函数()sin cos()6πf x x x =-+，若在区间[0，]3
π上()f x a ≥恒成立，则实数a 的最大值是
A
．2
-
B ．12
-
C ．
12
D
10．在三棱锥P ABC -中，已知PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，点D ，E 分别为棱BC ，PC 的中点，则下列结论正确的是
A ．直线DE ⊥直线AD
B ．直线DE ⊥直线PA
C ．直线DE ⊥直线AB
D ．直线D
E ⊥直线AC
11．已知双曲线C ：2
22
11
x y a -=+ (0a >)的右顶点为A ，O 为坐标原点，若||2OA <，则双曲线C 的离心率的取值范围是
A ．
（
2，+∞） B ．（1
，2
） C ．
（
2
D ．（1
12. 若函数2
()e(2)
x
f x x x a
=--有三个零点，则实数a的取值范围是
A．[(2
-(2+B．((2-(2+
C．((2-0)D．(0，(2+
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用ξ表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望()
Eξ的值是．(结果用分数表示)
14．若
33
sin()
25
απ
-=，则cos2α的值是．
15．已知点F是抛物线C：24
y x
=的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆22
1
(1)
2
x y
-+=
作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为．
16．设数列{}n a是递减的等比数列，且满足27
1
2
a a=，
36
9
4
a a
+=，则
1232n
a a a a
⋅⋅⋅的最大值为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知a，b，c分别是ABC
∆的三个内角A，B，C的对边，若10
a=，角B是最小的内角，且34sin3cos
c a B b A
=+．
（Ⅰ）求sin B的值；
（Ⅱ）若ABC
∆的面积为42，求b的值．
18．（本小题满分12分）
“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A、02000步，（说明：“02000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B、20005000步，C、50008000步，D、800010000步，E、1000012000步，且A、B、C三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800012000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；
（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95％的把握认为“认定类别”与“性别”有关？
附：2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++， 19．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，
E ，
F 分别为AB ，11B C 的中点． （Ⅰ）求证：1B E ∥平面ACF ；
（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）
已知点M （2，1）在椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知点E （1，0），过点M （2，1） 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在 以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．
E
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln ()f x x ax
a =-∈R ．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：2
e e ln x
x -＞0（e 为自然对数的底）恒成立．
※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极
坐标方程为2sin ρθ=，直线l
的参数方程为122
x t
y ⎧=⎪
⎨=+⎪⎩（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线1C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设D 为曲线1C 上在第二象限内的点，且在点D 处的切线与直线l 平行，求点D 的直角坐标．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数1
()||||f x x a x a
=++-
． （Ⅰ）当a =1时，解不等式()5f x ≥；
（Ⅱ）若x ∀∈R ，()|1|f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围．
2019年抚顺市高中毕业生模拟考试数学参考答案与评分标准 （理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
B C A C B C A D A D C D 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、
47；14、7
25
-；15、12；16、64．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由34sin 3cos c a B b A =+、A B C π++=及正弦定理得
3sin()4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+ ……3分
由于sin 0A >，整理可得3cos 4sin B B =，
又sin 0B >，因此得3
sin 5
B = ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
sin 5
B =，又AB
C ∆的面积为42，且10a =，
从而有13
104225
c ⨯⨯=，解得14c = ……8分
又角B 是最小的内角，所以03B π<≤，且3sin 5B =，得4
cos 5
B =……10分
由余弦定理得222
4141021410725
b =+-⨯⨯⨯=
，即b = ……12分
18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000步的人数：男12人，
女14人……2分，
400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000
8000步的人数
约为：26
40026040
⨯
=人……4分； （Ⅱ）该天抽取的步数在800012000的人数：男8人，女4人，
再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人 ……6分
所求概率1322313636364
93742C C C C C C P C ++==（或464937
142
C P C =-=） ……8分
完成22⨯列联表……9分，计算2
2
40(124816) 1.90520202812
K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，……11分
因为1.905<3.841，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ……12分 19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以EM BC ∥且12EM BC =
，又F 为11B C 的中点，11B C BC ∥，所以1B BC ∥F 且11
2
B F B
C =，即1EM B F ∥且1EM B F =，
故四边形1EMFB 为平行四边形，所以1B E FM ∥ ……2分，
（Ⅲ）
又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊄平面ACF ，所以1B E ∥平面ACF ……4分
（Ⅱ）解：取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ……6分
则有1(0,(1,0,0),(1,0,0),(,(0,0,2)22
A B C E F --
，
得33
(,,0),(1,0,2),(1,22
CE CF CA =-
==-……8分 设平面ACF 的一个法向量为(,,)x y z =n
则00
CA CF ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即 0
20
x x z ⎧=⎪⎨
+
=⎪⎩
，令z =，则=n
……10分 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则|sin |cos ,||||CE CE CE θ⋅=<>
=
=n |n n |
所以直线CE 与平面ACF ……12分 20．解：（Ⅰ）由已知可得(2,1)(2,1)3a a ---⋅--=-，解得2
8a =，
又点(2,1)M 在椭圆C 上，即
22
22118b +=，解得22b =， 所以椭圆C 的标准方程为22
182
x y += ……4分 （Ⅱ）设11(,)N x y ，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，代入椭圆方程消去y 得
2222(41)8(2)4(441)0k x k k x k k ++-+--= ……6分
则有2124(441)241k k x k --=+，即2122(441)41k k x k --=+，212441
41k k y k --+=+ ……8分
且判别式2
16(21)0k ∆=+>，即1
2
k ≠-
，又点E 总在以MN 为直径的圆内， 所以必有0EM EN ⋅<，即有1111(1,)(1,1)10x y x y -=+-<……10分
将1x ，1y 代入得2222483441
04141
k k k k k k ----++<++，解得16k >-，
所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1
(,)6
-
+∞……12分 21．（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为（0，+∞），
11()
(0)ax
f x a x x x -'=
-=>
…… 1分
当0a ≤时，()f x '＞0恒成立，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当0a >时，令()f x '=0，得1x a =
，所以当1(0,)x a ∈时()f x '＞0，()f x 单调递增；当1
(,)x a
∈+∞时()f x '＜0，()f x 单调递减
综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；
当0a ＞时，()f x 在1
(0,)a 内单调递增，在1(,)a
+∞内单调递减 ……4分 （Ⅱ）证明：由（1）可知，当0a >时，1()ln ln 1f x x ax a
=--≤ 特别地，取1e a =
，有ln 0e x x -≤，即ln e
x x ≤， 所以2
e ln e x x ≤（当且仅当e x =时等号成立），因此，要证2
e e ln x
x -＞0恒成立， 只要证明e e x
x ≥在(0,)+∞上恒成立即可 ……8分
设e ()(0)x g x x x =>，则2e (1)()x x g x x
-'=，当(0,1)x ∈时()g x '＜0，()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时()g x '＞0()g x 单调递增. 故当1x =时，min ()(1)e g x g ==，即e e x
x ≥在(0,)+∞上恒成立 ……11分 因此，有2
e e e ln x
x x ≥≥，又因为两个等号不能同时成立， 所以有2e e ln x
x -＞0恒成立 ……12分
或：令2
g()=e e ln x
x x -(0x >)，则22e e e ()e x x
x g x x x
-'=-=，再令2
()e e x h x x =-，则()0h x '>，由(0)0,(2)0h h <>知，存在00x >，使得0()0h x =，得min 0()()g x g x =， 由0()0h x =可证0()0g x >，进而得证．
22．解：（Ⅰ）由已知得2
2sin ρρθ=，得2
2
2x y y +=，即2
2
(1)1x y +-=，
所以1C 的参数方程为cos 1sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数）……3分
直线l 20x y -+=……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线1C 是以C （0，1）为圆心、半径为1的圆， 设点(cos ,1sin )D αα+，因为点D 在第二象限，
所以直线CD 的斜率CD k =tan α=……7分
得56πα=
，得点D 的直角坐标为（-32）……10分
23．解：（Ⅰ）1a =时，()|1||1|f x x x =++-，
当1()1125x f x x x x -=---+=-≤时，≥，解得5
2
x -≤； 当11()1125x f x x x -<<=+-+=时,≥，解集为∅；
当1()1125x f x x x x =++-=≥时,≥，解得52x ≥
； 综上：当a =1时，不等式()5f x ≥的解集为55
(,][,)22
-∞-+∞ ……5分
（Ⅱ）显然有0a ≠，由绝对值的三角不等式得
1111
()||||||||||||2f x x a x x a x a a a a a a
=++-+-+=+=+≥≥……7分
所以|1|m -2≤，解得13m -≤≤， 即[1,3]m ∈-……10分。