江苏省南京市中华中学2024届高三上学期期中学情检测数学试卷

江苏省南京市中华中学2024届高三上学期期中学情检测数学试
卷
一、单选题
1．设复数z 满足()22i z z +=-，则z =（ ）
A ．2
B ．
C ．1
D ．4
2．已知集合2Z |
03x A x x +⎧⎫
=∈≤⎨⎬-⎩⎭
，{|1B x x =≤-或3}x >，则()R A B ⋂=ð（ ） A ．()1,3- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2,3
D ．{}0,1,2
3．黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a ，b 两段，使得长线段a 与原线段a b +的比等于短线段b 与长线段a 的比，即
()::a a b b a +=，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9
这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ） A ．180
B ．210
C ．240
D ．360
4．抛物线2
4y x =的焦点为F ，点P 在双曲线C ：2
214
x y -=的一条渐近线上，O 为坐标原
PF =，则△PFO 的面积为（ ） A ．1
B ．12
C ．15
或
110 D ．1
2或110
5．在△ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为△ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则P AP B ⋅
u
u r 的取值范围是（ ） A ．[5,3]- B ．[4,6]-
C ．[-
D ．[-
6．若直线：30(0,1)ax by a b -+=>>平分圆222410x y x y ++-+=的面积，则21
1
a b +-的最
小值为（ ）.
A ．6
B ．8
C ．4
D ．4+
7．已知函数()cos ,0ln ,04x x f x x x x
π≤⎧⎪
=⎨<<⎪⎩，则()()R y f x x =∈的图象上关于y 轴对称的点共有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
8．已知0ω>，函数()sin()4f x x π
ω=+在(,)2π
π上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A ．15
[,]24
B ．13[,]24
C ．1
(0,]2
D ．(0,2]
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强
B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据概率值
()2 3.8410.05P χ≥≈，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D ．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675
10．设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且10a <，19992023S S =，则（ ）
A ．0d >
B ．20110a =
C ．40220S =
D ．2012n S S ≥
11．在正方体1111ABCD
A B C D ﹣中，=2AB ，G 为C 1D 1的中点，点P 在线段B 1C 上运动，点Q 在棱C 1C 上运动，M 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）
A ．直线1BD ⊥平面A 1C 1D
B ．PQ QG +
的最小值为C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．当4MA MB +＝时，三棱锥A MBC ﹣体积最大时其外接球的表面积为
28π
3
12．已知定义在R 上的函数()22f x -的图象关于直线1x =对称，函数112f x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的图象关
于点()2,0中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A ．()()=f x f x -
B ．8是函数()f x 的一个周期
C ．()20f =
D ．()()110f x f x ++-=
三、填空题
13．已知()6
(1)a x x ++的展开式中2x 的系数为9-，则=a ．
14
．已知2πsin 7α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，则3πcos 27α⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 15．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布()2
100,10N ，从中
抽取一个同学的数学成绩X ，记该同学的成绩80100X <≤为事件A ，记该同学的成绩7090X <≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()P B A =．（结果用分数
表示）
附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.95P X μσμσ-<≤+≈.
16．若()22ln e 0x
f x x x x mx -=+-+≥，则实数m 最大值为.
四、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=. (1)求证：数列1n T ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
(2)证明：
32121123
4
n n n a a a a a a a a a +---++⋅⋅⋅+<. 18．某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M ，N 两个目标投掷，先向目标M 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标M 的概率为34，套中目标N 的概率为2
3
，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计
得分记为X ．
(1)求小明恰好套中2次的概率； (2)求X 的分布列及数学期望．
19．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．在
ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2
10s i n 7c o s22B C A +⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，以AB ，,BC AC
为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ．若3a =，
123O O O V 求ABC V 的面积．
20．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，
60,,ABC PC BD PA AB ∠=⊥==
o .
(1)证明：PA ⊥面ABCD ；
(2)线段PD 上是否存在点E ，使平面ACE 与平面PAB 点E 位置；若不存在，请说明理由.
21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
的面积为
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆C 上运动，半径为2
a
的圆是椭圆C 的“卫星圆”，过原点O 作椭圆C 的
“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A ，B 两点，若直线OA ，OB 的斜率存在，记为1k ，2k ．
①求证：12k k 为定值；
②试问2
2
OA OB +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 22．已知函数()e x
x a
f x a +=
． (1)求()f x 的单调区间； (2)若
()32ln 2e x
x
f x x +≤+，求a 的取值范围．。