2019全国各地中考数学试题分考点解析汇编开放探究型问题

2019全国各地中考数学试题分考点解析汇编
开放探究型问题
一、选择题 1.（2019辽宁抚顺3分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM 是正比例函数y ＝－3x 的图象，点A 的坐标为(1,0)，在直线OM 上找点N ，使△ONA 是等腰三角形，符合条件的点N 的个数是．
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】A 。

【考点】正比例函数图象的性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定。

【分析】如图，根据正比例函数图象的性质和锐角三角函数，可以求出
∠AO N2＝600，故当OA ＝O N2时，A N2＝OA 。

因此符合条件的点N 只有
N1和N2两个。

故选A 。

2.（2019黑龙江龙东五市3分）如图，在平行四边形ABCD 中，过对角线BD
上一点P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E 、F 、G 、H ，则图中
面积相等的平行四边形的对数为
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
【答案】D 。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的全等三角形，即ABD CDB GBP FPB EPD HDP S S ,S S ,S S ∆∆∆∆∆∆=== 。

则AGPE ABD GBP EPD CDB FPB HDP PFCH S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=--=--=Y Y ，
ABFE AGPE GBFP PFCH GBFP GBCH AGHD AGPE EPHD PFCH EPHD EFCD S S S S S S ,S S S S S S =+=+==+=+= Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 。

因此图
中面积相等的平行四边形的对数有三对：AGPE PFCH Y Y 和，ABFE GBCH,AGHD EFCD Y Y Y Y 和和。

故
选D 。

3.（2019黑龙江龙东五市3分）在锐角△ABC 中，∠BAC=60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则结论：①NP=MP ②当∠ABC=60°时，MN∥BC ③ BN=2AN ④AN︰AB=AM ︰AC ，一定正确的有
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
【答案】C 。

【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与和性质，平行的判定，锐角三角函数的定义。

【分析】①由BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=MP 。

故①正确。

②由BN 、CM 为高与∠A 是公共角，易证△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°与∠ABC=60°，可得△ABC 是等边三角形，则得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC。

故②正确。

③若BN=2AN ，需∠ABN=30°= 1
2∠ABC，这个条件已知没有，故③错误。

④由②△AMN∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例的性质，即可证得AN ：AB=AM ：AC 。

故④正确。

综上所述，一定正确的有3个：①②④。

故选C 。

4.（2019广西梧州3分）如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC
与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是
（A ）△ACE≌△BCD （B ）△BGC≌△AFC
（C ）△DCG≌△ECF （D ）△ADB≌△CEA
【答案】D 。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平角的定义。

【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定可得结论：
（A ）∵BC＝AC ，∠BCD＝600＋∠ACD＝∠ACE，CD ＝CE ，∴△ACE≌△BCD（SAS ）；
（B ）∵BC＝AC ，由（A ）得∠GBC＝∠FAC，∠BCG＝600＝∠ACF，∴△BGC≌△AFC（AAS ）；
（C ）∵DC＝EC ，由（A ）得∠GDC＝∠FEC，∠GCD＝600＝∠FCE，∴△DCG≌△ECF（AAS ）；
（D ）△ADB≌△CEA 不一定成立，只有△ABC≌△CDE 才成立。

故选D 。

5. （2019江西南昌3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD 的是
A.BD=DC ， AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D. ∠B=∠C，BD=DC
【答案】D 。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】.∵AD=AD，A 、当BD=DC ，AB=AC 时，利用SSS 证明△ABC≌△ACD，正确；B 、当∠ADB=∠ADC，BD=DC 时，利用SAS 证明△ABC≌△ACD，正确；
C 、当∠B=∠C，∠BAD=∠CA
D 时，利用AAS 证明△ABC≌△ACD ，正确；D 、当∠B=∠C，BD=DC 时，符合SSA 的位置关系，不能证明△ABC≌△ACD，错误。

故选D 。

6.（2019四川雅安3分）已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为
A 、cm )1055(-
B 、cm )5515(-
C 、cm )555(-
D 、cm )5210(-
【答案】C 。

【考点】黄金分割。

【分析】黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段
和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点。

∵点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），∴AC=AB ，
而AB=10cm ，∴AC=1
2×10=5（cm ）。

故选C 。

7.（2019安徽省4分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，
点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为23
，则点P 的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 。

【考点】点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形的性质。

【分析】如图，过点A 作AE⊥BD 于E ，过点C 作AE⊥BD 于F ，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB
＝AD ＝，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AE=2>3
2，∴在AB 和AD 边上各有一点，使点P 到
BD 的距离为32。

又∵∠CDF＝∠ADC－∠ADB＝45°，CD ，∴CF=1<3
2。

∴在CB 和DD
边上不存在点，使点P 到BD 的距离为3
2。

故选B 。

8.（2019贵州毕节3分）如图，已知AB ＝AC ，∠A＝︒36，AB 的中垂线MD 交AC 于 点D 、交AB 于点M 。

下列结论：①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD，正确的有( )个
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
【答案】B 。

【考点】相似三角形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理。

【分析】首先由AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ，求得△ABD 是等腰三角形，即可求得∠ABD 的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 与∠C 的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD 也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD：
∵AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ，∴AD=BD。

∴∠ABD=∠A=36°。

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°。

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=36°。

∴∠ABD=∠CBD。

∴BD 是∠ABC 的平分线。

故①正确。

∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°。

∴∠BDC=∠C=72°。

∴△BCD 是等腰三角形，故②正确。

∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，∴△ABC∽△BCD。

故③正确。

∵△AMD 中，∠AMD=90°，△BCD 中没有直角，∴△AMD 与△BCD 不全等。

故④错误。

故选B 。

9.（2019福建龙岩4分）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =23a a b -+，
如：3★5=33335-⨯+，若x★2=6，则实数x 的值是
A ．4-或1-
B ．4或1-
C ．4或2-
D ．4-或2
【答案】B 。

【考点】新定义．因式分解法解一元二次方程。

【分析】根据新定义a ★b =23a a b -+，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解：
依题意，原方程化为x2－3x ＋2=6，即x2－3x －4=0，
分解因式，得（x ＋1）（x －4）=0，解得x1=－1，x2=4。

故选B 。

二、填空题
1.（2019天津3分）) 已知一次函数的图象经过点(0．1)．且满足y 随x 的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 ▲ (写出一一个即可)．
【答案】1y x =+（答案不唯一）。

【考点】一次函数的图象和性质。

【分析】根据一次函数的图象和性质，直接得出结果。

答案不唯一，形如
()0y kx b k >=+都
可以。

2.（2019浙江湖州4分）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点(0，－3)，请你确定一 个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b 的值 ▲ ． 【答案】12b =-（答案不唯一）。

【考点】抛物线与x 轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】把（0，－3）代入抛物线的解析式2y x bx c =++得：c =－3，∴23y x bx =+-∵
确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0），代入得：0=4＋2b －3， ∴12b =-。

3.（2019浙江金华、丽水4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是 ▲ （写出一个即可）．
【答案】6。

【考点】三角形三边关系，解不等式。

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果：设第三边的长度为x ，则有8－4＜x ＜8＋4，即4＜x ＜12。

故答案为4＜x ＜12之间的数。

4.（2019浙江台州5分）如果点P(x ，y )的坐标满足x ＋y ＝x y ，那么称点P 为和谐点． 请写出一个和谐点的坐标： ▲ ．
【答案】（2，2）（答案不唯一）。

【考点】点的坐标。

【分析】由题意点P(x ，y )的坐标满足x ＋y ＝x y ，当x =2时，代入得到2+y =2y ，求出y=2。

所以
（2，2）是和谐点。

5.（2019浙江省3分）定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b =a b ＋b ,当a <b 时，a ⊕b =a b －a ；若(2x -1)⊕(x +2)=0，则x = ▲ ．
【答案】－1或21。

【考点】求代数式的值。

【分析】根据定义，当2x －1≥x ＋2时，即x ≥3时，
由(2x －1)⊕(x ＋2)=0得(2x -1) (x ＋2)＋(x ＋2)=0，解之得x =－2或0，均不合x ≥3，舍去；
当2x －1≥x ＋2时，即x <3时，
由(2x －1)⊕(x ＋2)=0得(2x －1) (x ＋2)－(2x －1) =0，解之得x =－1或21
，符合x <3。

6.（2019辽宁沈阳4分）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE=EF=FA ．下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE＋DF=EF ；⑤S△ABE＋S△ADF=S△CEF，其中正确的是 ▲ （只填写序号）．
【答案】①②③⑤。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】由已知得AB=AD ，AE=AF ，利用“HL”可证△ABE≌△ADF，利用全等的性质判断①②③正确。

在AD 上取一点G ，连接FG ，使AG=GF ，由正方形，等边三角形的性质可知∠DAF=15°，从而得∠DGF=30°，设DF=1，则AG=GF=2，
AD ，CF ，EF 的长，判断④⑤的正确性：
，
BE+DF=2，∴④错误。

⑤∵S△ABE+S△ADF=2×1
2
S△CEF= 1
2
CE×CF= (212
7.（2019辽宁抚顺3分）已知点P(－1,2)在反比例函数()0k y k x =
≠的图象上，请任意写出此函数图象上一个点(不同于P 点)的坐标是 ▲ ．
【答案】(1，－2)答案不唯一。

【考点】点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在反比例函数的图象上，点的坐标满足方程的关系，由点P(－1,2)在反比例函数的图象上，代入即可求出k ＝－2，从而得到反比例函数的表达式2y x =-，这样只
要写出任意一点满足
2
y
x
=-
的点即可。

5.（2019吉林省2分）如图，⊙O是⊿ABC的外接圆，∠BAC＝500，点P在AO上（点P 不点A.O重合）则∠BPC可能为____ ▲_____度（写出一个即可）. 【答案】70 （答案不唯一，大于50小于100都可）。

【考点】三角形外角定理，同弧所对圆周角与圆心角的关系。

【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的关系，得∠BOC＝1000，由三角形外
角定理知，∠BPC在∠BAC和∠BOC之间，即500和1000之间。

6.（2019黑龙江大庆3分）在四边形ABCD中，已知△ABC是等边三角形，
∠ADC＝30º，AD＝3，BD＝5，则边CD的长为▲ ．
【答案】4。

【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，过点D作DE⊥AD并取DE＝DC，连接CE，AE。

∵∠ADC＝30º，∴∠EDC＝60º。

∴△DCE是等边三角形。

∴DC＝EC，∠DCE
＝60º。

又∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60º。

∴∠BCD＝60º
＋∠ACD＝∠ACE。

∴△BCD≌△DACE（SAS）。

∴AE＝BD。

∴在R t△A DE中，AD＝3，AE＝BD＝5，DE＝
2222
AE AD534
-=-=。

∴边CD的长为4。

6.（2019黑龙江龙东五市3分）如图所示，正方形ABCD中，点E在BC上，点F在
DC上，请添加一个条件：▲ ，使△ABE≌△BCF（只添一个条件即可）。

【答案】BE=CF（答案不唯一）。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据已知条件正方形ABCD可知AB=BC，∠ABC=∠C=90°，要使△ABE≌△BCF，加上条件BE=CF，可以用SAS证明其全等；或加上条件AE=BF，可以用HL证明其全等；或……
7.（2019黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件：▲ ，使得AC＝DF．
【答案】AB=DE（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定，平行的性质。

【分析】要使AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF，从而添加AB=DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D即可利用AAS判定△ABC≌△DEF；
添加∠ACB=∠DFE即可利用ASA判定△ABC≌△DEF；等等。

9.（2019黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有▲ 种购买方案．
【答案】2。

【考点】二元一次方程（不定方程）的应用。

【分析】设甲种运动服买x套，乙种买y套钱都用尽，根据题意列出方程：20x O
C
A
B
P
＋35y ＝365得x ＝
7374y -，根据x ，y 必须为整数，化为x ＝11824y y +-+。

要使x 为整数，1y +要被4整除。

同时考虑到35y ≤365，即y ≤103
7，所以y 只能取3，7。

故在钱都用尽的条件下，有2种购买方案：甲种运动服买13套，乙种买3套；甲种运动服买6套，乙种买7套。

10.（2019黑龙江牡丹江3分）如图，△ABC 的高BD 、CE 相交于点O ．请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE ．你所添加的条件是 ▲
【答案】∠DBC＝∠ECB 或∠EBC＝∠DCB 或AB ＝AC 或AE ＝AD 等。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】由△ABC 的高BD 、CE 相交于点0，可得∠BEC=∠CDB=90°，又由要使BD=CE ，只需△BCE≌△CBD 或△ABD≌△ACE，根据全等三角形的判定定理与性质，即可求得答案：∠DBC ＝∠ECB 或∠EBC＝∠DCB 时，利用AAS 即可证得△BCE≌△CBD；当BE=CD 时，利用HL 即可证得△BCE≌△CBD；当AB=AC 或AE ＝AD 时，利用AAS 即可证得△ABD≌△ACE 等。

11.（2019广西贺州3分）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_ ▲ ．
【答案】y x =-（答案不唯一）。

【考点】正比例函数图象的性质。

【分析】根据正比例函数图象的性质知，对于正比例函数y kx =，当0k <时其图象经过第
二、四象限。

12.（2019广西钦州3分）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_ ▲ ．
【答案】y x =-（答案不唯一）。

【考点】正比例函数图象的性质。

【分析】根据正比例函数图象的性质知，对于正比例函数y kx =，当0k <时其图象经过第
二、四象限。

13.（2019广西玉林、防城港3分）如图，AB 是半圆O 的直径，以OA 为直径的半圆O′与弦AC 交于点D ，O′E∥AC，并交OC 于点E ．则下列四个结论：
①点D 为AC 的中点；②'12O OE AOC S S ∆∆=；③»»2AC AD = ；④四边形O'DEO 是菱形．其中正确的结论是 ▲ ．（把所有正确的结论的序号都填上）
【答案】①③④。

【考点】圆周角定理，平行的判定和性质，互为余角的性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定。

【分析】①如图，连接OD ，∵AO 是半圆O′的直径，∴∠ADO＝900。

∴∠CDO＝900。

又∵O′E∥AC 且A O′＝O′O，∴CE＝EO 。

∴DE＝CE 。

∴∠CDE＝∠DCE。

又∵AO＝CO ，
∴∠ACE＝∠CAO。

∴∠CDE＝∠CAO。

∴DE∥AO。

∴点D 为AC 的中点。

故结论①正确。

②由①易知，△O′OE∽△AOC，而AO ＝2O′O，∴O OE AOC 14S S ∆'∆=。

故结论②错误。

③由弧长公式知，»··AOC AO AOC 2AO AC 180180ππ⋅⋅⋅⋅'==，»·AOC AO AD 180π⋅⋅'=，
∴»»2AC AD =。

故结论③正确。

④由①易知，O′O＝OE ＝DE ＝AD ，∴四边形O'DEO 是菱形。

故结论④正确。

综上所述，①③④正确。

14.（2019湖南郴州3分）写出一个不可能事件 ▲ ．
【答案】明天是三十二号（答案不唯一）。

【考点】随机事件。

【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件。

例如，一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件。

15.（2019湖南湘潭3分）规定一种新的运算：
11a b=+a b ⊗，则12=⊗ ▲ ． 【答案】3
2。

【考点】代数式求值。

【分析】把a =1，b =2代入式子
11a b=+a b ⊗计算即可：11312122=+=⊗。

16.（2019湖南怀化3分）定义新运算：对任意实数a 、b ，都有2a b a b ⊗=-．例如
232327⊗=-=，那么21⊗= ▲
【答案】3。

【考点】有理数的混合运算。

【分析】根据公式2a b a b ⊗=-求21⊗的值，也相当于a =2，b =1时，代入2a b -求值，
所以21⊗=2213-=。

17.（2019湖南邵阳3分）请写出一个解为x ＝2的一元一次方程： ▲
【答案】2x =4（答案不唯一）。

【考点】一元一次方程的解。

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。

根据题意，此题有多种答案，只要让解为2即可。

18.(江苏无锡2分) 请写出一个大于1且小于2的无理数： ▲ ．
)答案不唯一。

【考点】无理数。

【分析】根据无理数的定义，直接得出结果。

19.（2019江苏连云港3分）写出一个比－1小的数是_ ▲ ．
【答案】－2（不唯一）。

【考点】有理数的大小比较。

【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小，可得－2＜－1，所以可以填－2。

20.（2019江苏淮安3分）在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 ▲ .（写出一种即可）
【答案】∠A＝90°(答案不唯一) 。

【考点】矩形的判定。

【分析】由于已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，从而根据平行四边形的判定定理，四边形ABCD 是平行四边形。

再根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理，只要写出下列条件即可：∠A＝90°，∠B＝90°，∠C=90°，∠D＝90°或AC ＝BD 。

21.（2019山东淄博4分）写出一个大于3且小于4的无理数： ▲ ．
π等，答案不唯一。

【考点】无理数。

【分析】根据无理数的定义，直接得出结果。

22.（2019潍坊3分）写出一个y 关于x 的函数，使其具有两个性质：①图象过（2，1）点；②在第一象限内y
随x 的增大而减小. 函数解析式为 ▲ . （写出一个即可）
【答案】3y x =-+（答案不唯一）。

【考点】一次、二次函数和反比例函数的性质，待定系数法，图象上点的坐标与方程的关系。

【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可：如一次函数，可设函数解析式为 , 2y x b y x b =-+=-+等，把（2，1）代入即可求得 3 , 25y x y x =-+=-+等；如反比例函数，可设函数解析式为k y x =，把（2，1）代入即可求得2y x =；
如二次函数，可设函数解析式为
22 , 2y x c y x c =-+=-+等，把（2，1）代入即可求得225 , 29y x y x =-+=-+
等。

23.（2019广东湛江4分）如图，点B ，C ，F ，E 在同直线上，∠1=∠2，BC=EF ，∠1 ▲ （填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是 ▲ （只需写出一个）
【答案】不是，AC=FD （答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定，对顶角、邻补角的定义。

【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一。

24. （2019江西省B 卷3分）试写一个有两个不相等实根的一元二次方程: ▲
【答案】x2+4x ﹣5=0（答案不唯一）。

【考点】一元二次方程的根。

【分析】满足k（x－a）（x－b）=0（k≠0，a≠b）即可。

25.（2019四川广安3分）写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式▲ 【答案】y=－x＋1（不唯一）。

【考点】一次函数的性质。

【分析】对于一次函数y=kx＋b（k≠0，k，b为常数），当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小，所以只有k取一个负数，b为任意数即可。

如可以取k=－1，b=1，则此一次函数为y=－x＋1。

27.（2019青海省2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是▲ 。

（只需一个即可，图中不能添加任何点或线）
【答案】OA=OD（答案不唯一）。

【考点】开放型题，平行四边形的性质，全等三角形的判定。

【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DE，所以∠ADE=∠BAD，∠ABO=∠E，若使△ABO≌△DEO则少一对边相等，所以可添加的条件为OA=OD或AB=DE或OB=OE等。

28.（2019安徽省5分）定义运算a⊗b＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2⊗(－2)＝6 ②a⊗b＝b⊗a
③若a＋b＝0，则(a⊗a)＋(b⊗b)＝2ab ④若a⊗b＝0，则a＝0．
其中正确结论的序号是▲ (填上你认为所有正确结论的序号)．
【答案】①③。

【考点】代数式代换。

【分析】①2⊗ (－2)＝2＝6，结论正确；②a⊗b＝a(1－b)＝a－ab，b⊗a＝b(1－a)＝b－ab，∴a⊗b与b⊗a不一定相等，结论错误；③∵a＋b＝0，∴(a⊗a)＋(b⊗b)＝a(1
－a)＋b(1－b)＝a＋b＋2ab＝2ab，结论正确；④∵a⊗b＝0，∴a(1－b)＝0，则a＝0或b ＝1。

结论错误。

因此，正确结论的序号是①③。

29.（2019辽宁葫芦岛3分）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝－2a＋3b.如：1⊕5＝－2×1＋3×5＝13.则不等式x⊕4＜0的解集为▲ ．
【答案】x＞6。

【考点】新运算，代数式变形，解一元一次不等式。

【分析】由a⊕8b＝－2a＋3b，得x⊕4＝－2x＋12，故x⊕4＜0即－2x＋12＜0，解得x＞
6。

30.（2019辽宁锦州3分）若一次函数的图象经过点(2，1)，则该一次函数的表达式可能是▲ ．
【答案】
1
y x
=-（不唯一）。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设一次函数的表达式为y kx b
=+，把(2，1)代入，得12k b
=+。

因此只要满足
()120k b k =+≠的一次函数均可。

令1k =，则1b =-。

从而该一次函数的表达式可能是
1y x =-。

31.（2019辽宁盘锦3分）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、AB 的
中点，连接DF 、CE ，DF 与CE 交于点H ，则下列结论：①DF⊥CE；②DF＝CE ；③DE CE ＝HD CD ；④DE DC ＝HD HE .其中正确结论的序号有 ▲ ． 【答案】①②③。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】由正方形的性质和点E 、F 分别为AD 、AB 的中点，根据SAS 可得△ADF≌△DCE，从
而得到DF ＝CE 。

故②正确。

由△ADF≌△DCE 可得∠DEC＝∠AFD，所以∠DHE＝∠DAF＝900，从而得DF⊥CE。

故
②正确。

由△DEH∽△CED（易证）可得DE CE ＝HD CD
，故③正确。

由△DEH∽△CDH（易证）可得
DE HD HD DC HC HE =≠，故④不正确。

因此，正确结论的序号有①②③。

32.（2019云南曲靖3分）某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，请你写出一
个适合药品保存的温度 ▲ ;
【答案】210C （答案不唯一）。

【考点】正负数。

【分析】只要写出一个18℃到22℃之间的温度即可。

33.（2019贵州毕节5分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，
)0(*>+-+=b a b a b a b a ，如：523232*3=-+=，那么)4*5(*6＝ 。

【答案】1。

【考点】实数的运算。

【分析】根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果：
∵)0(*>+-+=
b a b a b a b a ，∴545*43+==，∴()636*5*46*31+===。

34.（2019贵州贵阳4分）写出一个开口向下的二次函数的表达式 ▲ ． 【答案】2y x =-。

【考点】二次函数的性质。

【分析】开口向下，二次项系数为负，写出满足条件的函数解析式即可，如2y x =-等等，
答案不唯一。

35.（2019贵州铜仁4分）写出一概率为1的事件（即必然事件）：▲ ；
【答案】1＋1=2（答案不唯一）
【考点】概率的意义。

【分析】根据必然事件的定义，此事件发生的概率为1，写出即可：1＋1=2。

36.（2019云南昭通3分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是▲ 。

（只需填一个即可）【答案】∠A＝∠F或AC∥EF或BC＝DE（答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定，平行的性质。

【分析】由AD＝FB，可得AE＝FD，所以添加∠A＝∠F，根据SAS的判定，可得△ABC≌△FDE；添加AC∥EF，由两直线平行内错角相等的性质，可得∠A＝∠F，从而根据SAS的判定，可
得△ABC≌△FDE；添加BC＝DE，根据SSS的判定，可得△ABC≌△FDE。

37.（2019广东珠海4分）写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式_ ▲ ．
【答案】y＝－1
x
（答案不唯一）。

【考点】反比例函数。

【分析】根据反比例函数图象的特点，图象位于第二、第四象限时，它的横坐标与纵坐标的
积小于0，即
k
y
x
=
中0
k<。

据此直接得出结果。

三、解答题
1.（2019浙江舟山、嘉兴10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD
为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
① 试用含α的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
【答案】解：（1）四边形EFGH的形状是正方形。

（2）①在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α。

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°。

∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）=90°+α。

因此，用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．
②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE=2AB，DC=2CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG。

∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°。

∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD。

∴△HAE≌△HDC。

∴HE=HG。

③四边形EFGH是正方形。

理由是：
由②同理可得：GH=GF，FG=FE。

∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE。

∴四边形EFGH是菱形。

∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE。

∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°。

∴四边形EFGH是正方形。

【考点】正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，菱形的判定和性质。

【分析】（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案。

（2）①∠HAE=90°+α，根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣α，根据△HAD 和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可。

②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DC=CD，平行
四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+α=∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE=HG。

③由②同理可得：GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论。

2.（2019浙江绍兴12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答題目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【答案】解：（1）=。

（2）=。

证明如下：
在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC。

∴AE=AF=EF。

∴AB－AE=AC－AF，即BE=CF。

∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB。

∵∠ABC=∠EDB＋∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC（SAS ）。

∴DB=EF。

∴AE=BD。

（3）答：CD 的长是1或3。

【考点】全等三角形的判定和性质，三角形外角定理；等边三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出
DB=BE=AE 即可得到答案。

（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF ，再证△DBE≌△EFC 即可得到答案。

（3）分为两种情况：一是E 在AB 的延长线上，D 在线段CB 的延长线上，求出CD=3，二是
E 在BA 的延长线上，D 在线段BC 的延长线上，求出CD=1，即可得到答案。

2.（2019浙江杭州10分）设函数()2211y kx k x =+++（k 为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用
描点法画出
这两个特殊函数的图像；
（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数k ，函数的图像都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数k ，当m x <时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值
【答案】解：（1）如两个函数为21 , 31y x y x x =+=++，函数图形函数
图形如图所示：
（2）不论k 取何值，函数()2211y kx k x =+++的图象必过定点
（0，1），（-2，-1）且与x 轴至少有1个交点。

证明如下：
在()2211y kx k x =+++中，
令0x =，得1y =；令2x =-，得1y =-。

∴不论k 取何值，函数()2211y kx k x =+++的图象必过定点
（0，1），（-2，-1）。

又∵当0k =时，函数1 y x =+的图像与x 轴有一个交点；
当0k ≠时，
22(21)4410k k k ∆=+-=+>，所以函数图像与x 轴有两个交点. ∴函数()2211y kx k x =+++的图象与x 轴至少有1个交点。

（3）只要写出1m ≤-的数都可以.
0k <Q ，
∴函数2(21)1y kx k x =+++的图像在对称轴直线212k x k +=-的左侧，y 随x 的增大而增
大，
根据题意，得212k m k +≤-，而当0k <时，2111122k k k +-=-->-
所以1m ≤-。

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）令k =0或1，分别得到两个特殊函数，画出图象即可。

（2）猜想：不论k 取何值，函数2(21)1y kx k x =+++的图象必过定点（0，1），（-2，-1）。

令0x =，得1y =；令2x =-，得1y =-。

可知当x2+2x=0，即x=0或-2时，函数值与k
的取值无关。

（3）只求m 的一个值即可．当k ＜0时，抛物线对称轴为直线212k x k +=-，在对称轴左侧，
y 随
x 的增大而增大，根据题意，得
212k m k +≤-，而当k ＜0时，2111122k k k +-=-->-，可确定m 的范围，
在范围内取m 的一个值即可。

3.（2019浙江宁波10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三
角形”是真命题还
是假命题？
（2）在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b a >，若Rt △ABC 是奇异三
角形，
求::a b c ；
（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合)，D 是
半圆ADB 的中点， C 、D 在直径AB 两侧，若在⊙O 内存在点E ，使得
AE=AD ，CB=CE ．
① 求证：△ACE 是奇异三角形；
② 当△ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．
【答案】解：(1) 真命题。

(2) 在Rt△ABC 中，222c b a =+
∵ 0>>>a b c ，∴2222b a c +>，2222c b a +<。

∴若Rt△ABC 为奇异三角形，一定有2
222c a b +=。

∴)(22222b a a b ++=。

∴222a b = 得a b 2=。

∵22223a a b c =+= ，∴a c 3=。

∴3:2:1::=c b a 。

(3) ①∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ACB 中，222AC BC AB += ，
在Rt△ADB 中，222AD BD AB +=，
∵点D 是半圆¼ADB 的中点
∴AD= BD。

∴»»AD BD =。

∴ 2222AB AD BD 2AD =+= 。

∴222AC CB 2AD += 。

又∵CB CE , AE AD ==，∴222AC CE 2AE +=。

∴△ACE 是奇异三角形。

②由①可得△ACE 是奇异三角形，∴222AC CE 2AE +=。

当△ACE 是直角三角形时,
由（2）可得AC :AE :CE =AC :AE :CE = 。

（Ⅰ）当AC :AE :CE =AC:CE =， 即AC:CB =。

∵ACB 90∠=︒，∴ABC 30∠=︒∴AOC 2ABC 60∠=∠=︒。

（Ⅱ）当AC :AE :CE 时，AC:CE ，即AC:CB =。

∵ACB 90∠=︒，∴ABC 60∠=︒。

∴AOC 2ABC 120∠=∠=︒。

∴AOC ∠的度数为︒︒12060或。

【考点】勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理。

【分析】（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可。

（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得222c b a =+与2
222c a b +=，用a 表示出b 与c ，即可求得答案。

（3）①AB 是⊙O 的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得。

②利用（2）中的结论，分别从AC :AE :CE 1:2:3=与AC :AE :CE 3:2:1=去分析，即可求得结果。

4.（2019浙江义乌10分）如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P
与点C 不重合)，连结BP. 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，
射线AA1分别交射线PB 、射线B1B 于点E 、F.
（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在 ▲ 关系（填“相似”
或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？
若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E 、F 与点B 重合. 已知AB=4，设DP=x ，△A1BB1的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式.
【答案】解: （1） 相似 。

由题意得：∠APA1=∠BPB1=α ， AP= A1P ， BP=B1P ，
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
2902180αα-=-οο 。

∵∠PBB1 =∠EBF，∴∠PAE=∠EBF。

又∵∠BEF=∠AEP ，∴△BEF ∽△AEP 。

（2）存在，理由如下： 易得：△BEF ∽△AEP。

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE 即可，∴∠BAE=∠ABE。

∵∠BAC=60°，∴∠BAE=ο
οο30229060-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--αα。