《金版新学案》高考数学总复习 9.6空间角课件 文 大纲人教版

(1)证明AE⊥平面FCB； (2)求异面直线BD与AE所成角的余弦值． 解析： (1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，且
四边形ABCD与ABEF是矩形， ∴AD⊥平面ABEF. ∴AD⊥AE. ∵BC∥AD，∴BC⊥AE. 又FD＝2，AD＝1，
1．求一条直线与平面所成的角，具体步骤如下： (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角(斜线与平面所成的 角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平 面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线． (2)证明：说明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形中计算．
(1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；
答案： 45°
1．求两条异面直线所成的角的具体步骤 (1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置． (2)说明作出的角即为所求角． (3)通过解三角形来求角． 2．利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的向量的夹角为 锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的向量的夹角为钝角时，其补角才 是异面直线的夹角．
O，在两个半平面内分别作射线 OA⊥l ， OB⊥l ，
则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，如图所示． (2)二面角的取值范围： [0，π] ．
4．(B)妙用空间向量求空间角 (1)向量法求异面直线所成的角 若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ (2)向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝ . .
A．30°
C．60°
B．45°
D．90°
答案： C
2．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α ，n⊥β，则m，n所成的角为( A．30° B．60° C．90° D．120° 解析： 答案： 由题易知m，n所成的角为两平面所成的角，故选B. B )
3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于( )
答案： A
4．平面α∩平面β＝CD，P为这两个平面外一点，PA⊥α于A，PB⊥β
于B，若PA＝2，PB＝1，AB＝ ，则二面角α－CD－β的大小为
________．
答案：
60°
5．如右图所示，已知AB为平面α的 一条斜线，B为斜足，AO⊥α，O为垂 足，BC为α内的一条直线，∠ABC＝ 60°，∠OBC＝45°，则斜线AB和平 面α所成的角为____________．
如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．
(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；
(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.
解析：
方法一：(1)连结A1D，则
由A1D∥B1C知，B1C与DE所成角即为
A1D与DE所成角．
连结A1E，由正方体ABCD－
A1B1C1D1，可设其棱长为a，
(9B)方法二：如图所示建立空间直角坐标
系D－xyz，设D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)
，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，则E(2,1,0)．
[变式训练] 1.矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD⊥
平面ABEF，如图所示，FD＝2，AD＝1，EF＝
方法二：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz. 设AB＝a，PD＝h， 则A(a,0,0)，B(a，a,0)， C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)．
[变式训练] 2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝
，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.
第6课时
空间角
1．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 则a′与b′所夹的 锐角 (或直角 ) 叫做 a与b所成的角． .
(2)范围：两异面直线所成角θ的取值范围是
2．直线与平Байду номын сангаас所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的 射影 所
解析：
AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
方法一(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC. ∴AC⊥平面PDB. 又AC 平面AEC
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)如图，设AC∩BD＝O，连结OE. 由(1)知AC⊥平面PDB于O. ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角． 又O，E分别为DB，PB的中点，
(3)向量法求二面角 求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2， 若二面角α－l－β所成的角θ为锐角， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ；
若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，
则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－
.
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BC1和B1D1所成 的角为( )
成的角．当直线和平面平行时，直线和平面所成的角为 0°的角 ．当直线
和平面垂直时，直线和平面所成的角为 90°的角 ．
(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是 .
3．二面角 (1)二面角的定义 二面角：从一条直线出发的两个 半平面 所组成的图形叫做二面角，这 条直线叫做二面角的 棱 ，每个半平面叫做二面角的面，如图所示，棱为l ，两个面分别为α、β的二面角记作 α－l－β ，由A∈α，B∈β，二面角也 记作 A－l－B . 二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一点
2．利用向量法求线面角的方法．
一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求
两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向 量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在 棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当PD＝