天津市和平区高一上学期期末质量调查数学试题
2019-2020学年天津市和平区第一中学高一上学期期末数学试题
2019-2020学年天津市和平区第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<， ()22ln3=ln3102f =-->，所以(1)(2)0,f f < 所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则 A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ． b c a << 【答案】A【解析】0.532133(1,2), log 2(0,1), cos 32a b c π==∈=∈==-，所以c b a <<，故选A3．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则sin θ=（ ）A ．35B ．34C 7D ．45【答案】B【解析】试题分析：因为，42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以sin θ1cos 22θ-34，故选B ．【考点】本题主要考查三角函数倍半公式的应用． 点评：简单题，注意角的范围． 4．下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y="sin2x+cos2x" B ．y=sin2xcos2x C ．y=cos （4x+2π） D ．y=sin 22x ﹣cos 22x 【答案】D【解析】试题分析：A 中sin2cos22sin 24y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为π；B 中1sin2cos2sin42y x x x ==，周期为2π，函数为奇函数；C 中cos 4sin42y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，周期为2π，函数为奇函数；D中22sin 2cos 2cos4y x x x =-=-，周期为2π，函数为偶函数 【考点】函数奇偶性，周期性5．在ABC ∆中，满足tan tan >1A B ⋅，则这个三角形是（ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】C【解析】由tan tan >1A B ⋅可知tan A 与tan B 符号相同,且均为正,则()tan tan tan 01tan tan A BA B A B++=<-,即tan 0C >,即可判断选项【详解】由题,因为tan tan >1A B ⋅,所以tan A 与tan B 符号相同,由于在ABC ∆中,tan A 与tan B 不可能均为负,所以tan 0A >,tan 0B >, 又因为1tan tan 0A B -<, 所以()tan tan tan 01tan tan A BA B A B++=<-,即tan 0C -<,所以tan 0C >,所以三角形是锐角三角形 故选：C【点睛】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号 6．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A ．1318B ．322C ．1322D ．318【答案】B【解析】由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】 由题,()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝⎭, 故选：B 【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题 7．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，sin 2sin()3y x x x p=+=+，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ． 【考点】两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．8．函数sin()y A x ωϕ=+的在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（ ）A ．22sin(2)3y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+C ．2sin()23x y π=- D ．2sin(2)3y x π=-【答案】A【解析】由图像可得2A =,利用对称性求得T π=,即2ω=,再将5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入求解ϕ即可 【详解】由题,最大值为2,则2A =, 相邻的对称轴为12x π=-和512x π=,所以5112122T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,则T π=,所以222T ππωπ===, 因为点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线上,所以522sin 212πϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭,即()53262k k Z ππϕπ+=+∈, 所以()223k k Z πϕπ=+∈, 当0k =时,23ϕπ=,即()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 故选：A 【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式,考查数形结合思想和运算能力9．对于函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，①关于直线12x π=-对称；②关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③可看作是把sin2y x =的图象向左平移6π个单位而得到；④可看作是把sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍而得到.以上叙述正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】由012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭判断①；由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭判断②；由sin2y x =的图象向左平移6π个单位，得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象判断③；由sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象判断④. 【详解】对于函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，令12x π=-，求得()0f x =，不是最值，故①不正确； 令512x π=，求得()0f x =，可得()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故②正确；把sin2y x =的图象向左平移6π个单位，得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③不正确；把sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故④正确，故选B ． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 10．已知函数()211sinsin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是 A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ C ．50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()()4f x x πω=-，，由0f x =（），可得 42k x ππππω+=∉（，），，因此115590115()()()()()848484848，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞即可得出．【详解】 函数()211111sin sin ()22222224xcos x f x x f x sin x sin x ωωπωωω-=+-=+-=-（），由0fx =（），可得()04sin x ，πω-=解得42k x ππππω+=∉（，），115590115()()()()()848484848，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞∵f x （） 在区间()π,2π内没有零点，][1150,,848ω⎛⎤∴∈⋃ ⎥⎝⎦.故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题11．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为__________.【答案】4-【解析】由三角函数定义可得4cos 5θ==-,进而求解即可【详解】 由题,4cos 5θ==-,所以4x =-,故答案为：4- 【点睛】本题考查由三角函数值求终边上的点,考查三角函数定义的应用 12．已知2παπ<<，且4cos 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos α的值为______．【解析】根据同角的三角函数的关系，利用66ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合两角和的余弦公式即可求出． 【详解】2απ<<πQ， 5366πππα∴<-< ， 4cos 65Q πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210--=-⨯-⨯=，. 【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，两角和的余弦公式，属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键． 13．已知一个扇形的弧长为cm π，其圆心角为4π，则这扇形的面积为______2cm ． 【答案】2π【解析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可. 【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为4π， ∴弧长4l r ππ=⨯=，可得r =4，∴这条弧所在的扇形面积为21422S cm ππ=⨯⨯=，故答案为2π . 【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.14．已知函数()sin tan 1(,)f x a x b x a b R =+-∈，若(2)2018f -=，则(2)f =_____． 【答案】-2020【解析】根据题意，设g （x ）＝f （x ）+1＝a sin x +b tan x ，分析g （x ）为奇函数，结合函数的奇偶性可得g （2）+g （﹣2）＝f （2）+1+f （﹣2）+1＝0，计算可得答案． 【详解】根据题意，函数f （x ）＝a sin x +b tan x ﹣1，设g （x ）＝f （x ）+1＝a sin x +b tan x ， 有g （﹣x ）＝a sin （﹣x ）+b tan （﹣x ）＝﹣（a sin x +b tan x ）＝﹣g （x ）， 则函数g （x ）为奇函数，则g （2）+g （﹣2）＝f （2）+1+f （﹣2）+1＝0， 又由f （﹣2）＝2018，则f （2）＝﹣2020； 故答案为-2020． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，构造函数g （x ）＝f （x ）+1是解题的关键，属于中档题．15．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对于任意x ∈R 有(3)()f x f x +=-，若tan 2α=，则(15sin cos )f αα的值为__________. 【答案】0【解析】由tan 2α=可得21cos5α=,则可化简()(15sin cos )6f f αα=,利用(3)()f x f x +=-可得6T =,由()f x 是在R 上的奇函数可得()00f =,由此()()600f f ==【详解】由题,因为tan 2α=,所以sin 2cos αα=,由22sin cos 1αα+=,则21cos 5α=,则()()2(15sin cos )152cos6f f f ααα=⋅=,因为(3)()f x f x +=-,令3x x =+,则()()()()63f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦,所以6T =,因为()f x 是在R 上的奇函数,所以()00f =, 所以()()600f f ==, 故答案为：0 【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用,考查由正切值求正、余弦值16．己知函数()()()27303230x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x ++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在[0,]2s π∈，使得()()f t a g s +≤(>0)a 成立，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(]0,2【解析】由题分析若对任意[3,3]t ∈-,总存在[0,]2s π∈,使得()()f t a g s +≤(>0)a 成立,则()f t a +的最大值小于等于()g s 的最大值,进而求解即可 【详解】由题,因为[3,3]t ∈-,对于函数()f t ,则当30t -≤≤时,是单调递增的一次函数,则()()max 03f t f ==；当03t <≤时,()f t 在()0,1上单调递增,在(]1,3上单调递减,则()()max 14f x f ==, 所以()f x 的最大值为4； 对于函数()g s ,()2sin 46g s s π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为[0,]2s π∈,所以2,663s πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以()max 2146g s =⨯+=；所以46a +≤,即2a ≤, 故(]0,2a ∈, 故答案为：(]0,2 【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查分段函数的最值,考查正弦型函数的最值,考查转化思想三、解答题 17．已知02πα<<，4sin 5α=． (Ⅰ)求tan α的值；(Ⅱ)求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(Ⅲ)若02πβ<<且()1cos 2αβ+=-，求sin β的值．【答案】(Ⅰ)43；(Ⅱ) 50-；(Ⅲ). 【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系即可求出；(Ⅱ)根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出；(Ⅲ)由()βαβα⎡⎤=+-⎣⎦，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出． 【详解】(Ⅰ)02πα<<Q ，4sin 5α=，3cos 5α∴==， sin 4tan cos 3ααα∴==. (Ⅱ24)sin22sin cos 25ααα==Q ，227cos2cos sin 25ααα=-=-()724cos 2cos2sin2422252550πααα⎛⎫⎛⎫∴+=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (Ⅲ)02πα<<Q ，02πβ<<，0αβπ∴<+<，()1cos 2Q αβ+=-，()sin 2αβ∴+=， ()()()4sin sin sin cos cos sin 10βαβααβααβα+⎡⎤∴=+-=+-+=⎣⎦ . 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 18．已知10,sin cos 25x x x π-<<+= ()1求sin cos x x -的值；()2求223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值.【答案】（1）75-；（2）108125- 【解析】（1）作1sin cos 5x x +=的平方可得24sin 225x =-,则()249sin cos 1sin 225x x x -=-=,由x 的范围求解即可；（2）先利用降幂公式和切弦互化进行化简,得原式()12sin cos sin 22x x x ⎛⎫⎡⎤=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭,将1sin cos 5x x +=与24sin 225x =-代入求解即可 【详解】（1）由题,()22221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 25x x x x x x x ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭,则24sin 225x =-, 因为()2222449sin cos sin cos 2sin cos 1sin 212525x x x x x x x ⎛⎫-=+-=-=--=⎪⎝⎭ 又02x π-<<,则sin 0,cos 0x x <>,所以sin cos 0x x -<因此,7sin cos 5x x -=- （2）由题,()2222222sin cos 2sin sin 3sin 2sin cos cos 11cos sin 2222222sin cos sin cos tan cot cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫++--+ ⎪+--⎝⎭==+++()()2sin cos 112sin cos sin 22sin cos sin 2122sin cos x x x x x x x x x x--⎛⎫⎛⎫⎡⎤==--=-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭, 由（1）可24sin 225x =-,代入可得原式112410825225125⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【点睛】本题考查同角的平方关系式及完全平方公式的应用,考查降幂公式,考查切弦互化,考查运算能力19．已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值.【答案】（1）定义域π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-；【解析】试题分析：(1)简化原函数，()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值. 试题解析：()4tan sin cos 4tan cos cos 4sin cos 2333f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πsin2sin22sin 23x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭； （1）()f x 的定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，最小正周期2ππ2T == ； （2）()π5πππ1,2,sin 21,2,14436632x x x f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎤⎡∈-⇒-∈-⇒+∈-⇒∈- ⎪⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即最大值为1，最小值为2-，单调递增：,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减：,412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 20．已知函数()221xf x m =-+是定义在R 上的奇函数， （1）求实数m 的值；（2）如果对任意x ∈R ，不等式2(2cos )(4sin 7)0f a x f x ++--<恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1（2）1522a ≤< 【解析】(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m 值；（2）先判断出函数f(x)在R 上单调递增，利用奇偶性和单调性将不等式转为22cos 4sin 7a x x +<+恒成立，然后变量分离，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得a 的范围. 【详解】解：（1）方法1：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，即2202121x xm m --+-=++， 即220m -=，即1m =方法2：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即02012m -=+， 即1m =，检验符合要求． （2）()2121xf x =-+， 任取12x x <，则()()12f x f x - 21221212x x =-++ ()()()12122221212x x x x -=++， 因为12x x <，所以1222x x <，所以()()120f x f x -<， 所以函数()f x 在R 上是增函数． 注：此处交代单调性即可，可不证明因为()()22cos 4sin 70f a x f x ++<，且()f x 是奇函数所以()())22cos 4sin 74sin 7f a x f x f x +<-=+，因为()f x 在R上单调递增，所以22cos 4sin 7a x x +<+，即22cos 4sin 7a x x <--+对任意x R ∈都成立， 由于2cos 4sin 7x x --+=()2sin 22x -+，其中1sin 1x -≤≤，所以()2sin 223x -+≥，即最小值为3所以23a <，即2120a -<，解得12-<<，故02≤<，即1522a ≤<. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式恒成立问题，常用方法为利用变量分离转为函数最值问题，考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题.。
天津市和平区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
D.+− 2 = 0}，则 ∪ = ( )2 ⌀(−2,1) C.(−2,0，1，2)D.(1,2)(−23， ， 1 2D. D. <<<< < < < <5. 已知 ∈ (0, )，cos( −= √3，则−= ( )222√3或− 3√ √3或√3− 33∈∗， = ”是“数列 }为等比数列”的( )2C.2D. == = | |= ||=+> 0,= 0, | | < )在一个周期内的图象，则其解析式是23336b2[2,3)(1,3)(2,3)=2，−+=2b a2b=0，则的取值范围()(−1,5)(−∞,−1]∪[5,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.命题“∈[2,+∞)，≥4”的否定为________．2+1++11的解集为__________．322=2+,2)上为增函数，则a的取值范围为______．15.函数三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知，都是锐角，=,35+的值．5133+),−)的值。
17.已知=−,∈(,，求526418.已知函数(Ⅰ)求函数=2√++，其中，∈且≠0．2a的图象的对称轴方程；(Ⅱ)当∈[0,]时．函数的值域为[1,2]，求，的值．a b419.已知奇函数的定义域为[−2,2]，且在区间[−2,2]上是增函数，−1)<，求实数的取值范围．m20. 已知函数(1)求函数=− 3sin + √3． √2 2的单调增区间；(2)若) = ， ∈ [ , ]，求 3 0的值．56 3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了诱导公式，=cos(2×360°+60°)=，即可得出结论．1解：=cos(2×360°+60°)==．2故选C．2.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．化简集合B，根据并集的定义写出∪．解：集合={−2,0，2}，=则∪={−2,0，1，2}．故选：D．2+−2=0}==−2或=1}={−2，1}，3.答案：B 解析：要判断函数上若=3−log的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数在区间2⋅<0，则函数在区间上有零点，易得答案．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，牢固掌握零点存在定理，即函数在区间上若⋅<0，则函数在区间上有零点，是解答本题的关键．解：∵=3−2−log2<021=3−log1=>0−123∴·<0，且在(−2,−1)单调递增。
天津市和平区高一上期末数学试卷含答案(必修4)
温馨提示：本试卷包括第I 卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间100分钟，祝同学们考试顺利！第I 卷选择题（共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有—项是符合题目要求的，请将题中正确选项的代号填在下列表格中． 1．sin 420的值是A ．12B ．2C D ．2．．与456-角终边相同的角的集合是A.{}|360264,a k k Z ⋅+∈ B ．{}|360264,a k k Z ⋅-∈ C.{}|36096,a k k Z ⋅+∈ D. {}|360456,a k k Z ⋅+∈ 3．在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是A ．AB BC CA += B ． B C C DB D+= C ．AB AD AC += D ． A B A D B D-= 4．已知向量(2,3)(4,7)BA CA ==，则向量BC = A ．(2,4)-- B ． (2,4) C. (6,10) D ． (6,10)-- 5．直线3y =与函数tan (0)y x ωω=>的‘图象相交，则相邻两交点间的距离是 A ．π B.2πωC ．2πωD ．πω6．下列各组中的两个三角函数值的大小关系正确的是A. sin508sin144>B.cos760cos(770)<-C.7tantan 86ππ> D.4744cos()cos()109ππ->- 7．已知向量(2,1),(1,3)a b ==-，若存在向量c ；使得4,9a c b c ⋅=⋅=-，则向量c 为A ．(3,2)-B ． (4,3)C ．(3,2)-D ． (2,5)- 8．函数[]sin 2sin ,0,2y x x x π=+∈的图象与曹线y=k 有且只有两个不同的交点，则k 的取值范围是 A ．0<k<l B ．1<k<3 C ．1≤k ≤3 D ．0<k<3第Ⅱ卷非选择题（共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案直接填在题中的横线上9．△ABC 的三个顶点分别是A(4,6)，B(7，6),C(1，8)，D 为BC 的中点，则向量AD 的 坐标为__________． 10．函数cos 2cos 1x y x -=-的值域为___________．11．已知不共线向量,a b ,(),AB ta b t R AC a b =-∈=+，若A 、B 、C 三点共线，则实数，t 等于_________. 12．．已知向量,a b 满足2,2,a b a b a ==-⊥，则向量a 与b 的夹角为__________.1 3．函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式为__________, 14．函数11sin sin ,cos cos 35x y x y +=-=,则cos()x y +的值为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共52分,解答题应写出文字说明，演算步骤1 5．（本题满分8分） 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(P -．(I)求tan()sin()2cos()sin()πααπαπα-++---的值：(Ⅱ)求tan2α的值． 1 6．（本题满分8分） 已知1tan()43πα-=． (I)求tan α的值； (II)求6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．1 7．（本题满分8分）已知O 为坐标原点，(1,1),(3,1),(,)OA OB OC a b ==-=(I)若2AC AB =，求点C 的坐标； (II)若A ，B ，C 三点共线，求a+b 的值. 1 8．（本题满分9分）已知函数2()cos cos f x x x x a =++，(I)求()f x 的最小正周期及单调递增区间； (II)若()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为32,求a 的值。
2024届天津市和平区高三数学第一学期期末调研模拟试题含解析
2024届天津市和平区高三数学第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨2．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B 6C 3D 2 4．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．(2,3]C ．2,5]D ．3,5]5．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A 337--B 337-+ C ．4- D ．26．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+8．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P ，渐近线方程为2y x =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=9．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<10．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-11．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 512． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市和平区高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8题，每小题3，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,.1．sin的值是（）A．B．﹣C．D．2．化简： +﹣=（）A．B．C．2D．﹣23．﹣456°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α=k•360°+456°，k∈Z} B．{α|α=k•360°+264°，k∈Z}C．{α|α=k•360°+96°，k∈Z} D．{α|α=k•360°﹣264°，k∈Z}4．把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的倍（纵坐标不变），再吧图象向左平移个单位长度，则所得函数图象的解析式为（）A．y=﹣sin2x B．y=sin（2x+）C．y=﹣cos2x D．y=cos2x5．已知不共线向量，， =t﹣（t∈R），=2+3，若A，B，C三点共线，则实数t=（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．下列各式的大小关系正确的是（）A．sin11°＞sin168°B．sin194°＜co s160°C．cos（﹣）＞cos D．tan（﹣）＜tan（﹣）7．已知向量=（3，4），=（9，12），=（4，﹣3），若向量=2﹣， =+，则向量与的夹角为（）A．45° B．60° C．120°D．135°8．若sinx﹣cosx=4﹣m，则实数m的取值范围是（）A．2≤m≤6B．﹣6≤m≤6C．2＜m＜6 D．2≤m≤4二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在题中的横线上. 9．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2．10．已知向量=（﹣2，﹣1），•=10，|﹣|=，则||= ．11．函数y=2sin（2x+），x∈[﹣，]的值域是．12．已知向量=（﹣2，﹣1）=（t，1），且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．13．化简： = ．14．已知θ是第三象限角，且，那么sin2θ=．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，演算步骤.15．已知sinα=，且α是第一象限．（1）求tan（π+α）+的值；（2）求tan（α+）的值．16．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且||=2||．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若=3， =2，且∠AOB=60°，求•的值．17．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0．x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在x=时取得最大值4．．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若f（α+）=．求tan2α的值．18．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求cos（2x﹣）的值．19．设0＜α＜π＜β＜2π，向量=（1，2），=（2cosα，sinα），=（sinβ，2cosβ），=（cosβ，﹣2sinβ）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；（3）若tanαtanβ=4，求证：∥．20．已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）若f（x）=2f（﹣x），求的值；（2）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值和单调递增区间．2015-2016学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8题，每小题3，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,.1．sin的值是（）A．B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．【分析】直接利诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin=sin=．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的化简求值，考查计算能力．2．化简： +﹣=（）A．B．C．2D．﹣2【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】利用向量加法法则求解．【解答】解： +﹣===．故选：A．【点评】本题考查向量的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．3．﹣456°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α=k•360°+456°，k∈Z} B．{α|α=k•360°+264°，k∈Z}C．{α|α=k•360°+96°，k∈Z} D．{α|α=k•360°﹣264°，k∈Z}【考点】终边相同的角．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又264°与﹣456°终边相同．【解答】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣456°角的终边相同的角是α，则α=﹣456°+k•360°，k∈Z，又264°与﹣456°终边相同，∴α=264°+k•360°，k∈Z，故选：B．【点评】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式，属于基础题．4．把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的倍（纵坐标不变），再吧图象向左平移个单位长度，则所得函数图象的解析式为（）A．y=﹣sin2x B．y=sin（2x+）C．y=﹣cos2x D．y=cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式．【解答】解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin （ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键．5．已知不共线向量，， =t﹣（t∈R），=2+3，若A，B，C三点共线，则实数t=（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【考点】平行向量与共线向量．【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用．【分析】根据向量，不共线，作为基底表示出、；利用共线定理列出方程，求出t 的值．【解答】解：向量，不共线，作为基底时，=t﹣=（t，﹣1），=2+3=（2，3）；又A，B，C三点共线，与共线，所以3t﹣2×（﹣1）=0，解得t=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．6．下列各式的大小关系正确的是（）A．sin11°＞sin168°B．sin194°＜cos160°C．cos（﹣）＞cos D．tan（﹣）＜tan（﹣）【考点】三角函数线．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】各项两式变形后，利用诱导公式化简，根据正弦与余弦函数的单调性即可做出判断．【解答】解：A，∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°，即sin11°＜sin168°．故错误；B，∵sin194°=sin（180°+14°）=﹣sin14°，cos160°=cos（180°﹣20°）=﹣cos20°=﹣sin70，又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin14°＜sin70°，即cos160°＜sin194°．故错误；C，∵cos（﹣）=﹣cos，cos=﹣cos，又∵y=cosx在x∈[0，π]上是减函数，∴﹣cos＜﹣cos，即cos（﹣）＞cos．故正确；D，∵tan（﹣）=﹣tan，tan（﹣）=﹣tan，又∵y=tanx在x∈[0，]上是增函数，∴tan＜tan，即tan（﹣）＞tan（﹣）．故错误；故选：C．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，先转化再利用单调性比较大小是解本题的关键，考查了计算能力，属于中档题，7．已知向量=（3，4），=（9，12），=（4，﹣3），若向量=2﹣， =+，则向量与的夹角为（）A．45° B．60° C．120°D．135°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而可以求出的值，这样根据cos即可求出cos，从而得出向量与的夹角．【解答】解：，；∴，；∴；∴向量与的夹角为135°．故选：D．【点评】考查向量坐标的加法、减法，及数乘运算，以及根据向量坐标求向量长度，向量数量积的坐标运算，向量夹角余弦的计算公式．8．若sinx﹣cosx=4﹣m，则实数m的取值范围是（）A．2≤m≤6B．﹣6≤m≤6C．2＜m＜6 D．2≤m≤4【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用辅助角公式化简已知的式子，再利用正弦函数的值域，可得﹣2≤4﹣m≤2，由此求得m的范围．【解答】解：若sinx﹣cosx=4﹣m，则2sin（x﹣）=4﹣m，∴﹣2≤4﹣m≤2，求得2≤m≤6，故选：A．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在题中的横线上.9．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为 4 cm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为：R，所以，2R+2R=8，所以R=2，扇形的弧长为：4，半径为2，扇形的面积为： =4（cm2）．故答案为：4．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．10．已知向量=（﹣2，﹣1），•=10，|﹣|=，则||= 2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的坐标表示数量积运算，利用完全平方公式，分别求出的模长||与的模长||．【解答】解：∵向量=（﹣2，﹣1），∴||==；又•=10，|﹣|=，∴﹣2•+=5﹣2×10+=5，解得||=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，也考查了求向量模长的应用问题，是基础题目．11．函数y=2sin（2x+），x∈[﹣，]的值域是[﹣，2] ．【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】求出2x+的范围，结合正弦函数的图象与性质得出范围．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[0，]．∴当2x+=时，2sin（2x+）取得最大值2×1=2；当2x+=时，2sin（2x+）取得最小值2×（﹣）=﹣．故答案为[﹣，2]．【点评】本题考查了正弦函数的图象，属于基础题．12．已知向量=（﹣2，﹣1）=（t，1），且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】由向量的数量积定义公式，可知两个向量数量积大于﹣1小于0，即数量积小于0 且两向量不为反向向量．【解答】解：若与的夹角为钝角，则它们数量积小于0 且两向量不为反向向量．由=（﹣2，﹣1）•（t，1）=﹣2t﹣1＜0，得t＞，若为反向向量，则（λ＜0）∴解得∴t≠2．所以实数t的取值范围是 t＞，且t≠2，即t∈故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角，用到的是向量的数量积定义公式，注意向量夹角为钝角的等价转化是数量积小于0 且两向量不为反向向量．13．化简： = 2﹣．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：===tan15°=tan（45°﹣30°）===2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．14．已知θ是第三象限角，且，那么sin2θ=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角，∴sin2θ=，故答案为：．【点评】已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，演算步骤.15．已知sinα=，且α是第一象限．（1）求tan（π+α）+的值；（2）求tan（α+）的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用诱导公式化简所求的表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可．（2）利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）sinα=，且α是第一象限．∴cosα==，∴tanα=．tan（π+α）+=tanα+==．（2）由（1）可得tan，tan（α+）===3．【点评】本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数的化简求值，考查计算能力．16．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且||=2||．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若=3， =2，且∠AOB=60°，求•的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】（I）由题意，根据向量的三角形法则由=2，变形为关于，，的方程，从中解出的表达式即可；（II）由（I），可将用数量积表示出来，再由=3，=2，且∠AOB=60°，计算出•的值【解答】解：（I）∵P是线段AB上的一点，且||=2||．∴=2．即有∴（II）由（I）知=（）•（）=﹣+=﹣×9﹣×3×2cos60°+×4=﹣【点评】本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题，计算题17．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0．x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在x=时取得最大值4．．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若f（α+）=．求tan2α的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据题意，求出f（x）的最小正周期T=；（2）根据f（x）max=f（）求出A与φ的值即可；（3）根据f（α+）的值求出cos2α与sin2α的值，再求出tan2α的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（3x+φ），∴f（x）的最小正周期为T==；（2）∵f（x）max=f（）=Asin（3×+φ）=4，∴A=4，且sin（+φ）=1，又∵0＜φ＜π，∴＜+φ＜，∴+φ=，解得φ=，∴f（x）=4sin（3x+）；（3）∵f（α+）=，∴4sin[3（α+）+]=，化简得sin（2α+）=，即cos2α=，∴sin2α=±=±，∴tan2α==±．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数求值的应用问题，考查了计算能力与逻辑思维能力，是基础题目．18．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求cos（2x﹣）的值．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵x∈（，），∴x﹣∈（，），∴sin（x﹣）==，∴sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=+=．（2）∵x∈（，），sinx=，∴cosx=﹣=﹣，∴sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=2•﹣1=﹣，∴cos（2x﹣）=cos2xcos+sin2xsin=﹣•﹣•=﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．19．设0＜α＜π＜β＜2π，向量=（1，2），=（2cosα，sinα），=（sinβ，2cosβ），=（cosβ，﹣2sinβ）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；（3）若tanαtanβ=4，求证：∥．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）由便有2cosα+2sinα=0，从而得到tanα=﹣1，这样由α的范围便可求出α；（2）先求出的坐标，根据便可得到5﹣6sinβcosβ=3，从而求出，这说明sinβ，cosβ同号，再根据β的范围便可判断sinβ＜0，cosβ＜0，而可求得，这样即可求出sinβ+cosβ的值；（3）由tanαtanβ=4便可得到4cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，这样由平行向量的坐标关系即可得出．【解答】解：（1）∵；∴；即2cosα+2sinα=0；∴tanα=﹣1；∵0＜α＜π；∴；（2）；；∴；∴（sinβ+cosβ）2+4（cosβ﹣sinβ）2=3；∴5﹣6sinβcosβ=3；∴sinβcosβ=，则sinβ，cosβ同号；∴（sinβ+cosβ）2=1+2sinβcosβ=；∵π＜β＜2π；又sinβ，cosβ同号；∴，即sinβ＜0，cosβ＜0；∴；（3）证明：由tanαtanβ=4得，；∴sinαsinβ=4cosαcosβ；∴4cosαcosβ﹣sinαsinβ=0；∴∥．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，已知三角函数值求角，向量坐标的加法运算，根据向量坐标求向量长度，切化弦公式，以及平行向量的坐标关系．20．已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）若f（x）=2f（﹣x），求的值；（2）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值和单调递增区间．【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由题意可求f（﹣x）=cosx﹣sinx，又f（x）=2f（﹣x），化简可得tanx=，由倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解．（2）利用倍角公式，两角和的正弦函数公式可求F（x）=sin（2x+）+1，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为9分）解：（1）∵f（x）=sinx+cosx．∴f（﹣x）=cosx﹣sinx，又∵f（x）=2f（﹣x），∴sinx+cosx=2（cosx﹣sinx），且cosx≠0，∴3sinx=cosx，∴tanx=，∴====…4分（2）F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）+（sinx+cosx）2=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，…6分∴当sin（2x+）=1时，F（x）min=，由2k≤2x+2k（k∈Z），可得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数F（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…9分【点评】本题主要考查了倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。
2025届天津市和平区名校数学高一上期末监测模拟试题含解析
3
sin
2
x
cos
2x
2
sin
2x
6
，函数周期
T
2 2
，④正确；
sin
2
3，①错误；
sin
2
12
6
sin
0
0
1
，③错误；
由
x
3
,
6
2x
6
2
,
2
，②正确.
故选：C. 2、C
【解析】圆 x2 y2 4x 6 0 ，即 x 22 y2 10 .
1 2
，所以
f
(x)
1
x2
，
1
因此 f (8) 82 2 2 ，
故答案为： 2 2 .
12、④ 【解析】由题意,分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可得到答案. 【详解】∵PA⊥平面 ABC，如果 PB⊥AD，可得 AD⊥AB，但是 AD 与 AB 成 60°，∴①不成立， 过 A 作 AG⊥PB 于 G，如果平面 PAB⊥平面 PBC，可得 AG⊥BC，∵PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAB，∴BC⊥AB，矛盾， 所以②不正确； BC 与 AE 是相交直线，所以 BC 一定不与平面 PAE 平行，所以③不正确；
12
则上述命题中真命题的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
2．直线 x 3y m 0 与圆 x2 y2 4x 6 0 相交于 A、B 两点,若 AB 2 ,则 m 的取值范围是
A. 8, 8
B. 4, 4
C. 8, 4
D. 4, 8
8sin2x, x 0
3．函数
f
x
{1 2
天津市和平区高一上期末数学试卷((含答案))
天津市和平区高一（上）期末数学试卷一.选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1．（5分）cos等于（）A．﹣B．﹣ C．D．2．（5分）已知=2，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．（5分）为了得到周期y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（5分）设平面向量=（5，3），=（1，﹣2），则﹣2等于（）A．（3，7） B．（7，7） C．（7，1） D．（3，1）6．（5分）若平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，则|2﹣|等于（）A．B．2 C．4 D．127．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，=（3，2），=（﹣1，2），则•等于（）A．1 B．6 C．﹣7 D．78．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为（）A．B．± C．﹣ D．09．（5分）计算cos•cos的结果等于（）A．B．C．﹣ D．﹣10．（5分）已知α，β∈（0，），且满足sinα=，cosβ=，则α+β的值为（）A．B．C． D．或二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，且在这个区间上的最大值是，则ω的值为．12．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），若向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，则λ的值为．13．（4分）已知函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，则φ的值为．14．（4分）若tanα=2，tanβ=，则tan（α﹣β）等于．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，若点E为BC的中点，点F在CD上，•=6，则•的值为三.解答题（本大题5小题，共40分）16．（6分）已知向量与共线，=（1，﹣2），•=﹣10（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）若=（6，﹣7），求|+|17．（8分）已知函数f（x）=cos2x+2sinx（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）求f（x）的值域．18．（8分）已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．19．（8分）已知=（1，2），=（﹣2，6）（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）若与共线，且﹣与垂直，求．20．（10分）已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．2016-2017学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1．（5分）cos等于（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：cos=cos（2π﹣）=cos=．故选：C．2．（5分）已知=2，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵==2，则tanα=﹣，故选：B．3．（5分）函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是：T===4π．故选：D．4．（5分）为了得到周期y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵y=sin（2x+）=sin[2（x+）﹣]，∴只需把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度即可得到y=sin（2x+）的图象．故选：A．5．（5分）设平面向量=（5，3），=（1，﹣2），则﹣2等于（）A．（3，7） B．（7，7） C．（7，1） D．（3，1）【解答】解：∵平面向量=（5，3），=（1，﹣2），∴﹣2=（5，3）﹣（2，﹣4）=（3，7）．故选：A．6．（5分）若平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，则|2﹣|等于（）A．B．2 C．4 D．12【解答】解：∵平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，∴||=1，∴=||•||•cos120°=1×2×=﹣1，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4=4+4﹣4×（﹣1）=12，∴|2﹣|=2故选：B7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，=（3，2），=（﹣1，2），则•等于（）A．1 B．6 C．﹣7 D．7【解答】解：∵=+=（3，2），=﹣=（﹣1，2），∴2=（2，4），∴=（1，2），∴•=（3，2）•（1，2）=3+4=7，故选：D8．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为（）A．B．± C．﹣ D．0【解答】解：∵sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，则sin2α=﹣，故选：C．9．（5分）计算cos•cos的结果等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：cos•cos=cos•=﹣sin•cos=﹣sin=﹣．故选：D．10．（5分）已知α，β∈（0，），且满足sinα=，cosβ=，则α+β的值为（）A．B．C． D．或【解答】解：由α，β∈（0，），sinα=，cosβ=，∴cosα＞0，sinβ＞0，cosα=，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，由α，β∈（0，）可得0＜α+β＜π，∴α+β=．故选：A．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，且在这个区间上的最大值是，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，∴≤．再根据在这个区间上f（x）的最大值是，可得ω•=，则ω=，故答案为：．12．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），若向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，则λ的值为﹣2．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），向量λ+=（﹣λ+2，2λ﹣3），向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，可得：﹣7λ+14=﹣8λ+12，解得λ=﹣2．故答案为：﹣2．13．（4分）已知函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，则φ的值为．【解答】解：∵函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，则φ的最小正值为，故答案为：．14．（4分）若tanα=2，tanβ=，则tan（α﹣β）等于．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=，∴tan（α﹣β）===．故答案为：．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，若点E为BC的中点，点F在CD上，•=6，则•的值为﹣1【解答】解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，∵AB=3，BC=2，∴A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，2），∵点E为BC的中点，∴E（3，1），∵点F在CD上，∴可设F（x，2），∴=（3，0），=（x，2），∵•=6，∴3x=6，解得x=2，∴F（2，2），∴=（﹣1，2），∵=（3，1），∴•=﹣3+2=﹣1，故答案为：﹣1三.解答题（本大题5小题，共40分）16．（6分）已知向量与共线，=（1，﹣2），•=﹣10（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）若=（6，﹣7），求|+|【解答】解：（Ⅰ）∵向量与共线，=（1，﹣2），∴可设=λ=（λ，﹣2λ），∵•=﹣10，∴λ+4λ=﹣10，解得λ=﹣2，∴（﹣2，4），（Ⅱ）∵=（6，﹣7），∴+=（4，﹣3），∴|+|==5．17．（8分）已知函数f（x）=cos2x+2sinx（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）求f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=cos2x+2sinx，（Ⅰ）f（﹣）=cos（﹣）+2sin（﹣）=+2×（﹣）=﹣；（Ⅱ）f（x）=（1﹣2sin2x）+2sinx=﹣2+，∴当x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值；当x=﹣+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣3；∴f（x）的值域是[﹣3，]．18．（8分）已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=，α∈（，π），∴．∴sin（α﹣）==；（Ⅱ）∵，∴tan2α=．19．（8分）已知=（1，2），=（﹣2，6）（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）若与共线，且﹣与垂直，求．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（﹣2，6），∴||==，||==2，=﹣2+12=10，∴cosθ===，∴θ=45°（Ⅱ）∵与共线，.............. ∴可设=λ=（﹣2λ，6λ），∴﹣=（1+2λ，2﹣6λ），∵﹣与垂直，∴（1+2λ）+2（2﹣6λ）=0，解得λ=，∴=（﹣1，3）20．（10分）已知函数f （x ）=sinx （2cosx ﹣sinx ）+1 （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）讨论f （x ）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=sinx （2cosx ﹣sinx ）+1 =2sinxcosx ﹣2sin 2x +1=（2sinxcosx ）+（1﹣2sin 2x ）=sin2x +cos2x=2（sin2x +cos2x ）=2sin （2x +），∴f （x ）的最小正周期T==π； （Ⅱ）令z=2x +，则函数y=2sinz 在区间[﹣+2kπ，+2kπ]，k ∈Z 上单调递增；令﹣+2kπ≤2x +≤+2kπ，k ∈Z ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k ∈Z ， 令A=[﹣，]，B=[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ， 则A ∩B=[﹣，]； ∴当x ∈[﹣，]时，f （x ）在区间[﹣，]上单调递增，在区间[，]上的单调递减．。
2022-2023学年天津市和平区高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
天津市和平区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题3分，共27分。
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分.）1.设全集，集合，，则（ ）{}0,1,2,3,4,5U ={}0,1,2,3A ={}2,3,4,5B =()U A B = A. B. C. D.{}0{}0,1{}0,1,2,3{}0,1,2,3,4,52.命题“，”的否定是（ ）0x ∃>331x x ≥+A.， B.，0x ∀>331x x <+0x ∀<331x x ≥+C.， D.，0x ∃>331x x <+0x ∃<331x x <+3.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知OCD OAB ，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）0.2m OA =0.3m AD =120AOB ∠=︒A.B.C.D.2m 5π2m 10π2m 100π27m 100π4.设，为实数，则“”是“”的（ ）a b a b <22a b <A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.（ ）()cos 300-︒=A.B. D.1212-6.若，，，则，，的大小关系为（ ）0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭31log 2b =0.26c =a b c A. B. C. D.a b c >>c a b >>c b a >>a c b>>7.函数的零点所在的大致区间是（ ）()3ln f x x x=-A. B. C. D.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,e ()e,38.设是定义在上的偶函数，当时，单调递增，若()f x []2,2-0x ≥()f x ，则实数的取值范围为（ ）()()10f m f m --<m A. B. C. D.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22⎛⎤⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9.已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,06π⎛⎫⎪⎝⎭法不正确的是（ ）A.直线是函数的图象的一条对称轴512x π=()f x B.函数在上单调递减()f x 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象()f x 6πcos 2y x =D.函数在上的最小值为()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
精品解析：天津市和平区第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(原卷版)
8.函数 的在一个周期内的图象如图,此函数的详细解析式（）
A. B.
C. D.
9.对于函数 图象, 关于直线 对称; 关于点 对称; 可看作是把 的图象向左平移 个单位而得到; 可看作是把 的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 倍而得到 以上叙述正确的个数是
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知函数 ,若 在区间 内没有零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
11.已知点 是角 终边上一点,且 ,则 的值为__________.
12.已知 ,且 ,则 的值为______．
13.已知一个扇形 弧长为 ,其圆心角为 ,则这扇形的面积为______ ．
14.已知函数 ,若 ,则 _____．
19.已知函数 ;
（1）求 的定义域与最小正周期;
（2）求 在区间 上的单调性与最值.
20.已知函数 是定义在R上的奇函数,
（1）求实数 值;
（2）如果对任意 ,不等式 恒成立,求实数 取值范围．
天津一中2019-2020-1高一年级数学学科期末质量调查
一、选择题（共10小题）
1.函数 的一个零点所在的区间是()
A. B. C. D.
2.设 ,则
A. B.
C. D.
3.若 , ,则sin =（）
A. B. C. D.
4.下列函数中,以 为最小正周期 偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
15.定义在 上的奇函数 满足:对于任意 有 ,若 ,则 的值为__________.
16.己知函数 , ,若对任意 ,总存在 ,使得 成立,则实数 的取值范围为__________.
天津市和平区2021-2022学年高一上学期期末质量调查数学试题(含答案解析)
【详解】
因为 对任意实数 ，都有 成立，
所以 在 上为增函数，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：B
11．
【分析】
将全称命题否定为特称命题即可
【详解】
命题 的否定是 ，
故答案为：
12．2
【分析】
利用指数运算性质和对数的运算性质求解即可
（1）
设 ，则 ，且有 ，
由于函数 为 上的偶函数，则 ，
因此 时， ，
所以 的解析式为 ；
（2）
由函数 在 单调递减，函数 在 单调递增，可知函数 在 单调递减，在 单调递增.
当 ，即 时， 在 单调递减，故 ；
当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增，
若 ，即 ，则 ；若 ，
即 ，则 ，
当 时， 在 单调递增，故 ，
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若 ， ，则下列各式中正确的是（）
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
6．已知角 的终边过点 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
7．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（）
综上所述， .
19．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用平方关系求得 ，再利用两角差的余弦函数求解；
（2）由 ，利用两角差的正切函数求解；
（3）（方法一）由 ，利用两角和的正弦函数求解；（方法二）由 ，利用两角和的正弦函数求解.
天津市和平区2023-2024学年高三上学期期末质量调查试题数学含答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．·柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．·如果事件A B 、互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =．·任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()P AB P A P B A =．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{}{}{}23,1,360U x x A B x x x =∈≤==+-=N ，则()U A B = ð（）（A ）{}2,0,2,3-（B ）{}3,2-（C ）{}3,2,4-（D ）{}3,0,2-（2）“x y >”是“11x y<”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）函数()f x 的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（）（第3题）（A ）()2334x x f x x -++=（B ）()334x x f x x-++=（C ）()2334x x f x x -+-=（D ）()334x x f x x-+-=（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（）①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个（5）已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，1322n n a S =+，则4S 的值为（）（A ）9（B ）21（C ）45（D ）93（6）已知函数()sin (0)f x x ωω=>，函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2，将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）（A ）()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）()1πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（C ）()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）()cos2f x x=（7）如图，已知四棱锥A BCDE -的体积为,V CE 是BCD ∠的平分线，34CD CE BC ==，若棱AC 上的点P 满足13AP AC =，则三棱锥A DEP -的体积为（）（第7题）（A ）27V（B ）17V（C ）316V （D ）421V （8）已知实数,,a b c ，满足31log 35bca ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列关系不可能．．．成立的是（）（A ）b c a<<（B ）b a c<<（C ）c b a<<（D ）c a b<<（9）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，过点F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为点A （点A 在第一象限），直线FA 与双曲线C 交于点B ，若点B 为线段AF 的中点，且2FA =，则双曲线C 的方程为（）（A ）22144x y -=（B ）22124x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）（10）i 为虚数单位，复数z 满足()34i 12i z +=-，则z 的虚部为______．（11）在82⎛⎫-⎝的二项展开式中，2x 的系数为______．（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线:l y x =与圆()()()222:240C x y rr -+-=>相交于,A B 两点，若点D 为圆C 上一点，且ABD △为等边三角形，则r 的值为______．（14）如图，在ABC △中，3BO OC =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，记,AB a AC b == ，用,a b表示AO = ______；设,AB mAM AC nAN == ，若0,0m n >>，则21m n+的最小值为______．（第14题）（15）若方程222210x ax a x -+++-=在区间(]0,3内有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为3,,,sin2sin ,7a b c C C a c ==．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若7c =，（ⅰ）求b 的值；（ⅱ）求()cos A B -的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，4,26AD DC AB ===，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36．（第17题）（Ⅰ）证明：1AB ∥平面11CDD C ；（Ⅱ）求平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角的余弦值；（Ⅲ）求点1D 到平面1ACB 的距离．（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为点12,F F ，左，右顶点分别为点12,A A ，离心率为23．已知点2A 是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，点1F 到抛物线2C 的准线的距离为1．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）直线1A M 交椭圆1C 于点M （点M 在第二象限），交y 轴于点2,N A MN △的面积是11A MF △面积的125倍，求直线1A M 的斜率．（19）（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及()2*2nii S n i=∈∑N ；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足11b =，且120n n b b +-=，（ⅰ）求()*112nk k kk k k k a a b b n a a =+⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦∑N ；（ⅱ）若()()1*113521246211,,n n n m m m m nc c n P c c c c Q c c c c b -+-=-∈=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+N ，*N ,m m G ∈是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，则对任意*,,s t s t G G h ∈-≤N ，求h 的最小值．（20）（本小题满分16分）已知函数())()()0,g e ax f x x x a =>=∈R ，（Ⅰ）若1a =-，讨论()()()F x f x g x =⋅在()0,+∞的单调性；（Ⅱ）若0a >，函数()()()4ln G x f x g x ⎡⎤=⋅⎣⎦，不等式()1sin 66x a x G x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当*N ,2n n ∈≥时，求证：221671sin 6nk n n k k n =-+>∑．和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空题（6×5分＝30分）（10）25-．（11）74．（12）131:254．（13）．（14）1344a b + ；5264+．（15）1915⎛⎤+ ⎥⎝⎦．三、解答题（共75分）（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为sin22sin cos C C C =，已知sin2sin C C =，所以1cos 2C =且()0,πC ∈，所以π3C =，由正弦定理有sin sin a c A C=，所以333sin sin 714A C ==．（Ⅱ）（ⅰ）因为7c =，所以3a =，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得23400b b --=，解得8b =或5b =-（舍），所以b 的值为8．（ⅱ）因为(),0,πa c A <∈，又因为33sin 14A =，所以13cos 014A ==>，法（一）()cos cos cos sin sin AB A B A B -=+，因为7,3,8c a b ===，所以2221cos 27a c b B ac +-==-，所以43sin 7B =，()131334323cos 14714798A B ⎛⎫-=⨯-+=⎪⎝⎭．法（二）因为ππ,3A B C C ++==，所以2π3B A =-，则()2222cos cos πcos 2πcos2cos πsin2sin π3333A B A A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦239371sin22sin cos ,cos22cos 19898A A A A A ===-=，所以()7111177123cos 98298219698A B -⎛⎫-=⨯-+==⎪⎝⎭．（17）（本小题满分15分）解：因为侧棱1AA ⊥底面,ABCD AD DC ⊥，所以以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，又因为棱柱体积为36，易知底面ABCD 为直角梯形，其面积为364182S +=⨯=，柱体体积36V Sh ==，有12DD =．所以()()()()()()()()11114,0,0,4,3,0,0,6,0,0,0,0,4,0,2,4,3,2,0,6,2,0,0,2A B C D A B C D．（第17题）（Ⅰ）证明：因为()10,3,2AB = ，平面11CDD C 的法向量为()11,0,0n =，110AB n ⋅= ，所以11AB n ⊥，又因为1AB ⊂平面11CDD C ，所以1AB ∥平面11CDD C ．（Ⅱ）解：因为()()10,3,2,4,6,0AB AC ==- ，设平面1ACB 的法向量为()2,,n x y z =，则212320,460.n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =，则()23,2,3n =- ，由（Ⅰ）得()11,0,0n =，设平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角为θ，121212cos cos ,22n n n n n n θ⋅===⋅则平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角θ的余弦值为32222．（Ⅲ）解：因为()114,3,0D B =，所以，点1D 到平面1ACB的距离为112292211D B n n ⋅==．（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设点1F 的坐标为(),0c -．依题意，2,3,21.c a pa a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得3,2,6.a c p =⎧⎪=⎨⎪=⎩，于是2225b a c =-=．所以，椭圆1C 的方程为22195x y +=，抛物线2C 的方程为212y x =．（Ⅱ）设点M 坐标为()11,x y ，点N 坐标为()20,y ，且由题意1120,00,y x y <>>，（法一）由211125A MN A MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，即2175y y =，则1127x A O =，由1127x A O=，即1237x =，可得167x =，因为点M 在第二象限，则167x =-，将167x =-代入椭圆方程22195x y +=，求得1157y =，所以点M 坐标为615,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()13,0A -，则直线1A M 的斜率为()1571637=---．（法二）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3,0y k x k =+>，因此点()20.3,3N k y k =．()223,1.95y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()2128145395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．由121125A A MN MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730595y k k y k ==+，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3,0x my m =->，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．由112125MN A A MF S S =△△，可得1112425A A A N MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730559y m m y m ==+，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（法三）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3y k x =+，则0k >，因此点()20.3,3N k y k =．()223,1.95y k x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()212845395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．()2212132122995303339595M A NA A M A N A k k kS S S y y k k k -=-=⨯-=-=++△△△，1112115295A MF kS y k ==+△，112125A F M M A NS S =△，即()322995121595595k k kk k -=⨯++，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3x my =-，则0m >，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．()()212212212232715330335959A NA A MN A MA m mS S S y y m m m m -=-=⨯-=-=++△△△，1112115259A MF mS y m ==+△，211125A M M A F NS S =△△，即()()22232715121555959m mm m m -=⨯++，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112143442,22 1.a d a d a a ⨯⎧+=+⎪⎨⎪=+⎩，即11420,1.a d a d -=⎧⎨-=-⎩，解得()11,,121212.n a a n n d =⎧=+-=-⎨=⎩，()22112n n n S n -+==，则n S n n =，()()222222122232212n n i i i n n S i n n n i ==-+==++⋅⋅⋅+==+-∑∑．所以22221ni i S n n i ==+-∑．（Ⅱ）等比数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=，公比为2，所以12n n b -=，（ⅰ）设()1112,n n k k k k k k k k a A a b B a a ==+⎛⎫-== ⎪⎝⎭∑∑，()1111122n n n k k k k k k k k k k k k k k k a a a b b a b b A B a a a a ===++⎡⎤⎛⎫--+=+==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑，()()11,212n k k k k k k A a b a b k -===-∑，()0121123252212n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，①()1232123252212n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-．②①式－②式得()231122222212n n A n -⎡⎤-=+⨯+++⋅⋅⋅+--⎣⎦，()()2212212332212nn n n n -=+⨯--=-+--．所以()3232nA n =+-．又112nk k k k k a B b a a =+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，则()()11122322221212121k k k k k k k a k b a a k k k k --+--==--++-．所以10213212222222221315375212121n n nB n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则()()223232123222121n n nn A B n n n n +=+-+-=-++++．所以21124422221nn k k k k k k k a n n a b b a a n =+⎡⎤⎛⎫---+=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑．（ⅱ）当1n =时，012112c c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，12111,21.2n n n n n n c c c c ++-+⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除得212n n c c +=-，121211112221211,11132321122m m m m m m c c P c Q c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦==--==--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．当m 为偶数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，2m =时m G 有最小值112,,223m G ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当m 为奇数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，1m =时m G 有最大值21,,13m G ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．则()()max min 11122m m h G G ≥-=-=，所以h 的最小值为12．（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为()()()1,e x a F x f x g x -=-=⋅=，所以())e e e e x x x x F x ----'==-='，所以，函数()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）()()()423ln G x f x g x x ax ax ⎡⎤=⋅=⋅=⎣⎦不等式可化为：311sin 066x x x a -+>，设16t a =，令()31sin 6h x x tx x =-+，则()21cos 2h x x x t +'=-，令()21cos 2m x x x t =+-，则()sin m x x x -'=+，再令()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x =+'-≥，所以()s x 在()0,+∞单调递增，则()0s x >，即()0m x '>，所以()m x 在()0,+∞单调递增，又因为()21cos 02y x x x =+>的值域为()1,+∞．①当1t ≤时，即16a ≥时，()21cos 02m x x x t =+->，即()0h x '>，则()h x 在()0,+∞单调递增，所以()0h x >恒成立，符合题意．②当1t >时，即106a <<时，()010m t =-<，若取x >时，()0m x >，所以存在00x >，使()00m x =，则当()00,x x ∈时，()0m x <，函数()h x 在()00,x 上单调递减，此时()0h x <，所以()00,x x ∈时，()0h x <，与原题()0h x >矛盾，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅲ）原式即证1111172sin3sin 4sin sin 23466n n n n +++⋅⋅⋅+>+-．由（Ⅱ）可知，0x >时，31sin 6x x x >-，则2sin 116x x x >-．令1x n=，则()21111111sin 11166161n n n n n n n ⎛⎫>->-=+- ⎪--⎝⎭．取2,3,4,n =⋅⋅⋅，则11111111112sin 3sin 4sin sin 1123462321n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+>-+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1766n n =+-．。
天津市和平区天津一中2023届数学高一上期末调研试题含解析
C. D.
6．已知 ，求 的值（）
A. B.
C. D.
7．下列叙述正确的是( )
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大D.不相等的角终边一定不同
8．已知集合 ，集合 ，则 等于（）
A. B.
C. D.
9．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）求满足 的实数 的取值范围.
17．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标
（2）设点M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，
则直线AM的方程为y ，令x＝3，得E（3， ），
直线BM的方程为y ，令x＝3，得F（3， ），
从而以EF为直径的圆方程为（x﹣3）2+（y ）（y ）＝0，
天津市和平区2021届高一数学上学期期末调研试卷
天津市和平区2021届高一数学上学期期末调研试卷一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．62+B ．62+C ．10D ．122．一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（ ）A.3283π-B.328π-C.1616π-D.16163π-3．在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，BC =14BB =，则长方体外接球的表面积为（ ） A.2563π B.643π C.64π D.32π 4．过直线2y x =上一点P 作圆228:(3)(2)5M x y -+-=的两条切线1l 、2l ，切点为A ，B ，若直线1l ，2l 关于直线2y x =对称，则APB ∠等于( )A.30°B.45︒C.60︒D.90︒ 5．若圆222(3)(5)(0)x y r r -+-=>上有且只有四个点到直线51210x y +=的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）A.(4,6)B.(6,)+∞C.(0,4)D.[4,6]6．已知函数2()sin(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为π-B ．()f x 的图像关于点5(,0)6π-对称 C ．()f x 的图像关于直线12x π=-对称D ．()f x 在区间(,)33ππ-的值域为[ 7．函数2tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为( ) A ．{x |x ≠12π} B ．{x |x ≠－12π} C ．{x |x ≠12π＋k π，k ∈Z } D ．{x |x ≠12π＋12k π，k ∈Z } 8．函数()sin()sin 3f x x x π=++的最大值为，B.2C.D.49．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈ 1.73≈）A.15B.16C.17D.1810．设a,b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有（ ）A.1B.2C.3D.411．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．函数f （x ）＝＋lg （1＋x ）的定义域是（ ）A ．（－∞，－1）B ．（1，＋∞）C ．（－1,1）∪（1，＋∞）D ．（－∞，＋∞）二、填空题13．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC AB AA ===，E 为BC 的中点，2BC AE =，则异面直线AE 与1A C 所成的角是_______。
天津市和平区2023-2024学年高一上学期1月期末质量调查数学试卷
B． 1 5
C． 1
4．命题“ x 0, x3 x 0 ”的否定是（ ）
D．1
A． x 0, x3 x 0
B． x 0, x3 x 0
C． x 0, x3 x 0
D． x 0, x3 x 0
5．已知扇形的弧长12cm ，面积为 36cm2 ，则扇形所对的圆心角的弧度数是（ ）
c
0.20.3 ，则
a､b､c
的大小关系为（
）
A． b a c
B． a c b
C． b c a
D． a b c
8．设函数 f (x) ( 1 )x(xa) 在区间(0,1)上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ） 2
A． , 2
B． 2,0
C． 0, 2
D．2,
9．将函数
f
(x)
试卷第 5页，共 5页
12．已知函数 f x sin x ( 0, 0 π) 的图象如图所示，
.
． ，
13．西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速
v（单位：
m/s
）可以表示为
v
1 2
log3
M 100
，其中
M
表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西
试卷第 2页，共 5页
洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的 27 倍时，它的游速是
m/s .
14．已知
x
1 ，
y
0
且满足
x
2y
1，则
x
1 1
2 y
的最小值为
．
15．已知函数
f
(x)
x
x 1
,
x
天津市和平区天津一中2023届高一数学第一学期期末含解析
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18．某药物研究所开发了一种新药，根据大数据监测显示，病人按规定的剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）与时间x（小时）之间的关系满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数y=max−1（m,a为常数，且0<a<1）图象衰减.如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线.
当 时， 与 成正比例，设为 ，则 ；
所以 ，当 时，故
当 时，令 解得： ，
当 时，令 得： ，
综上所述，使得 的 的取值范围为：
【小问2详解】
当 时， ，解得
所以 ，则
令 ，解得 ，
由单调性可知 的解集为 ，所以此次服药产生疗效的时长为 小时
19、
【解析】根据同角三角函数，求出 ， ；再利用两角和差公式求解.
（2）若存在 ，使不等式 成立，求实数 取值范围.
21．已知集合 ，集合 .
（1）求集合 ；
（2）求
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】本题首先可以求出函数 关于 轴对称的函数 的解析式，然后根据题意得出函数 与函数 的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果
【详解】 ，
，
【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.
20、（1） , （2）
【解析】（1）由题设知 是 上的奇函数.所以 ，得 （检验符合），又方程 可以化简为 ，从而 .（2）不等式 有解等价于 在 上有解，所以考虑 在 上的最小值，利用换元法可求该最小值为 ，故 .
天津市和平区名校2023届高一上数学期末综合测试模拟试题含解析
11、①.11②.54
【解析】由平均数与方差的性质即可求解.
【详解】解：由题意，数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为
故答案 ：11，54.
12、①.1②.0
【解析】利用基本不等式求解.
【详解】因为 ，
所以 ,
当且仅当 ，即 时，等号成立，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，
g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣2 2）（a+2 2），
故当0＜a＜2 2时，
t（a）＝g（2）＝4﹣4a，
当2 2≤a＜1时，
t（a）＝g（a）＝a2，
③当1≤a＜2时，
15、3
【解析】直线AB的方程为 ＋ ＝1，
又∵ ＋ ≥2 ，即2 ≤1，
当x>0，y>0时，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝2时取等号，
∴xy≤3，则xy的最大值是3.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1） ；（2） .
【解析】（1）先根据 ，且 ，求出 ，则可求 ，再求 ；
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，
故t（a）＝g（a）＝a2，
④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，
t（a）＝g（2）＝4a﹣4，
故t（a） ；
（3）由（2）知，
当a＜2 2时，t（a）＝4﹣2a是单调减函数， ，无最小值；
当 时，t（a）＝a2是单调增函数，且t（a）的最小值为t（2 2）＝12﹣8 ；
则 ，即