【推荐必做】贵州省高三数学上学期第一次月考试卷 理

贵州省毕节梁才学校高2015级高三上期第一学月考试
数 学 试 题（理科）
考试时间:120分钟 全卷满分：150分 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，认真核对考号和答题卡的填涂是否正确.
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
第I 卷
一、选择题(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请将正确选项填在答题卡的指定位置 ).
1．集合{}1,2,4A =，{
}3,2,1=B ，则=B A （ ） A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,4
2．已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x （ ）
A ．2
B ．5
C ．3
D ．10
3．已知向量(),1a x =-，()
1,3b =，若a b ⊥，则a =（）
A . 2 D . 4
4．. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=)
1(,)1(1
2017)(2x ax x x x f x ，若a f f 3))0((=，则实数a 等于（）
A ．41
B ．5
4
C ．4
D ．2
5.若锐角α满足5
3
)4cos(=
+
π
α，则=α2sin （ ）
A ．25
7B ．2516C ．2518D ． 2524
6．若实数,x y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤++≤+-030530
3x y x y x ，则y x z 2+=的最大值是（）
A ．0
B ．2
C . 5
D ．6
7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著 的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例. 若输入n ，x 的值分别为3，2. 则输出v 的值为（ ）
A ．9
B ．18
C ．20
D ．35
8．在集合{}40,50|),(≤≤≤≤y x y x 内任取一个元素，能使不等式022
5≤-+y
x 成立的概率是（ ）
A .
41B . 43C . 3
1
D . 32
9. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）
A . 83
B .43
C .248+
D .246+
10．设F 为双曲线C ： 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线
C 的左、 右支交于点,P Q ，若2P Q Q F
=， 60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）
A
.1C
. 2
.4+11. 如图所示，正弦曲线x y sin =，余弦曲线x cos =与两直线0=x ，
π=x 所围成的阴影部分的面积为（ ）
A . 1
B .2
C . 2
D .22
12. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()2f x f x +=，当
[]0,1x ∈时， ()2f x x =，若方程()0ax a f x +-=（0a >）恰有三个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围是（ ）
2
2
俯视图
侧视图
A .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B . []0,2
C .()1,2
D .[)1,+∞
二、填空题（每小题5分,共20分.请将正确答案填在答卡上）
13. 与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是_____________．
14. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A b a sin 23=，则=B .
15．在5
22a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x -的系数为320，则实数a =__________． 16．已知函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛<>>+=2||,0,0)()(πϕωϕωA x Acoos x f 的图象如图所示，
若将函数)(x f 的图象向左平移2
π
个单位，则所得图象对应的函数可以
为__________ .
三、解答题（本在题共6 个小题，共70分.解答应写出必要的文字过程）
（一）必考题：5个小题，共60分）
17.（满分12分）已知数列}{n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421a a a 、、成等比数列.
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列}{n b 满足n a
n n a b 2+=，求数列}{n b 的前n 项和为n T .
18. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）
记录如下：
甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90
（1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛
更好？说
明理由（不用计算）；
（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于
85分的次
数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X .
19．（本题满分12分）已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，D 是BC 的中点．
（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求二面角1C AD C --的余弦值；
20.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点1)2E
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且与椭圆Γ相交于不同的两点,A B ，
求AB 的最大值．
21．已知函数()()2
1ln 2
f x a x x a R =-
∈. （1）求1a =时，求()f x 的单调区间； （2）讨论()f x 在定义域上的零点个数.
（二）选考题：共10 分，（请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分）
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，
曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+= （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，于y 轴交于点E ， 求|
|1
||1EB EA +
的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数||)(|,12|)(ax x g x x f =+= （1）当1=a 时，解不等式1)()(+≥x g x f ；
（2）当2=a 时，若对一切R x ∈，恒有b x g x f ≥+)()(成立，求实数b 的取值范.
贵州省毕节梁才学校高2015级高三上期第一学月考试 数 学 试 题（理科）参 考 解 答
一、选择题答案：1-5 BDCCA 6—10 CBBCB 11-12 DA
二、填空题答案: 13.012=--y x ︒60或︒120 15. 2=a 16.
)4
52cos(2π+
x 三、解答题
17.解：（Ⅰ）由题设，得412
2a a a =，即d d 31)1(2+=+
化简，的02=-d d 又0≠d ，1=∴d
n a n =∴. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，n
n n b 2+=
)222321(2n n n T ++++++++= （）222
)
1(1-++=
+n n n ……12分 18.（1）其茎叶图如下：
由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙………6分
（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是1
3
，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，
分布列为：
1313)(=⋅==np X E 3
232313)(=
⋅⋅==npq X D 19.解：（1）证明：根据三视图知：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，12AB BC AA ==，
90ABC ︒∠=
连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱， 得四边形11ACC A 为矩形，O 为1
AC 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC .
（2）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系xyz B -.
2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .
所以)0,2,1(-=AD ，AG )1,2,2(-=AC
设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.
n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
所以20,
220.
x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n .
易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . 由二面角1C AD C --是锐二面角，得||2
cos ,3
⋅〈〉==n v n v n v . 所以二面角1C AD C --的余弦值为
2
3
. 20解：（Ⅰ）由已知可得3
a 2＋14
b 2＝1，a 2
－b 2
a ＝3
2，解得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆Γ的方程为x 2
4
＋y 2
＝1．
…5分
（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：x 2
＋y 2
＝1相切， 可知直线l 的方程为x ＝±1，易求|AB |＝3．
…6分
当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由直线l 与圆O ：x 2
＋y 2
＝1相切，得
|m |
k 2
＋1
＝1，即m 2＝k 2
＋1， …7分 将y ＝kx ＋m 代入x 2
4＋y 2
＝1，整理得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2
－4
1＋4k 2，
…8分
|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝1＋k
2(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2
＝1＋k
2(－8km 1＋4k 2)2－16m 2
－161＋4k 2＝41＋k 2
1＋4k 2
－m 2
1＋4k
2， 又因为m 2
＝k 2
＋1，
所以|AB |＝43|k |k 2
＋11＋4k 2≤2(3k 2
＋k 2
＋1)
1＋4k 2
＝2， 当且仅当3|k |＝k 2＋1，即k ＝±2
2
时等号成立． 综上所述，|AB |的最大值为2．
…12分
21．(1) ()f x 在定义域是()0,+∞， ()'a
f x x x
=
-. 当1a =时， ()2
11'x f x x x x
-=-=.当()0,1x ∈时，
()'0f x >，当()1,x ∈+∞时，由()'0f x <，
所以()f x 单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. 5 分
(2) ∵()2
'a a x f x x x x
-=-=.6 分
① 当0a <时， ()'0f x <， ()f x 在区间()0,+∞上单调递减，
当0x →时， ()f x →+∞，
当x →+∞时， ()f x →-∞，所以在()f x 区间()0,+∞上只有一个零点.
② 当0a =时， ()2
102
f x x =-<恒成立，所以()f x 在区间()0,+∞上没有零点. ……8分
③ 当0a >时，当(x ∈时， ()'0f x >， ()f x 在区间(上单调递增；
当)x ∈
+∞时， ()'0f x <， ()f x 在区间
)
+∞上单调递减，
所以当x = ()f x 取极大值()ln 12
a
f a =
-.……9分
(i) 当a e =时，极大值0f
=，()f x 在区间()0,+∞上有1个零点.
(ii ) 当0a e <<时，极大值0f
<，()f x 在区间()0,+∞上没有零点.
(iii) 当e a >时，极大值0)(>a f ，()f x 在区间()0,+∞上有两个零点. ……12分
22.解答：（1）由)sin (cos 2θθρ+=得)sin 2cos 22θρθρρ+=.
可得直角坐标方程为2)1()1(22=-+-y x ……5分 （2）将直线方程代入圆的标准方程可得：012=--t t ， 于是有112121=⋅=+t t t t
从而
5||||1
||12
121=⋅-=+t t t t EB EA ……10分 23.（1）1|||12|1)()(+≥+⇔+≥x x x g x f ①当2
1
-≤x 时，不等式等价于1)12(+-≥+-x x ，解得2-≤x ②当02
1
<<-
x 时，不等式等价于112+-≥+x x , 此时无解. ③当0≥x 时，不等式等价于112+≥+x x ，解得0≥x .
综上可得，不等式的解集是),0[]2,(+∞--∞ ……5分 （2）b x g x f b x g x f ≥+⇔≥+min ))()(()()( 由1|212||2||12|)()(=-+≥++=+x x x x x g x f
于是：1 b ……10分。