2023年新高考数学一轮复习7-7 《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷含详解

专题7.7 《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷
第I 卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，若47101
102
a a a ++=，则311a a +=（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．（2018·北京·高考真题（理））“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，
若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为
A B
C
D ．
3．（2022·全国·高三专题练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：
某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元． A ．10373
B ．10396
C ．10422
D ．10456
4．（2022·四川凉山·二模（文））正项等比数列{}n a 与正项等差数列{}n b ，若1557a a b b =，则3a 与6b 的关系是（ ） A ．36a b =
B ．36a b ≥
C ．36a b ≤
D ．以上都不正确
5．（2017·全国·高考真题（理））（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}()
*N n a n ∈是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若1a 、
数列{}2n a 的第2项、数列{}
2n a 的第5项恰好构成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．1n a n =-
D ．1n a n =+
7．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列{}n a 满足()2*
11102n n n a a a n N a +⎛⎫=+∈∈ ⎪⎝⎭
，，，则以下说法正确
的个数（ ） ①10n n a a +<<
②222
21231n a a a a a +++
+<；
③对任意正数b ，都存在正整数m 使得123
111
1
1111m
b a a a a ++++
>----成立 ④11
n a n <+ A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知数列{}n a 的各项都是正数，()21
1N n n n a a a n *
++-=∈．记1
(1)1
n n n b a --=-，数
列{}n b 的前n 项和为n S ，给出下列四个命题： ①若数列{}n a 各项单调递增，则首项1(0,2)a ∈ ②若数列{}n a 各项单调递减，则首项1(2,)a ∈+∞ ③若数列{}n a 各项单调递增，当13
2
a =时，20222S > ④若数列{}n a 各项单调递增，当12
3
a =时，20225S <-， 则以下说法正确的个数（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·重庆·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且()1210n n n a na ++-=()
n N *
∈，则下列结
论正确的是（ ） A ．{}n na 是等比数列
B ．n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列
C ．2n n a n =⋅
D ．()122n n S n =-⋅+10．（2023·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为2
11n S n n =-，
则下列说法正确的是（ ）．
A ．{}n a 是递增数列
B ．{}n a 是递减数列
C ．122n a n
D ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S
11．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足28a =，()1112n
n n n a a na ---=⋅+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则（ ）
A ．
4
3
8a a = B ．14336a a ⋅=
C ．数列221n n a a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为单调递增的等差数列
D ．4n S >，正整数n 的最小值为31
12．（2022·湖南·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古
希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第()
*
n n ∈N 行有n 颗，
第n 行第()
*
,1i i i n ∈≤≤N 颗 石头记为()(),,,n i n i a S 表示从第1行第1颗至第n 行第i 颗石头的总数，设
()()()()
*,1,2,,1k n n n k T S S S k k n =+++∈≤≤N ，则 （ ）
A ．()9,844S =
B ．()
2,2
n n n n
S += C ．11T =
D ．()
212
k k n n k T -++=
第II 卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2019·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.
14．（2017·北京·高考真题（理））若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则
2
2
a b =_______.
15．（2022·云南师大附中高三阶段练习）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的中位数为____________．
16．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2n n a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ
的取值范围是_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2018·北京·高考真题（文））设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12n a a a e e e ++
+.
18.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，24n n S a n =+-． (1)证明：数列{}1n a -是等比数列．
(2)若数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前m 项和170513m T =
，求m 的值． 19．（2016·全国·高考真题（理））n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表
示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，
. （Ⅰ）求111101,,b b b ；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和.
20.（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列{}n a 满足：12
(1),=,2
n n a n n a n n +-+⎧⎪
⎨⎪⎩为奇数
为偶数*()N n ∈ (1)求1a 、3a 、5a ；(2)将数列{}n a 中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{}m b ()m ∈*N ， ①证明：m b m ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
②设数列+11m b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前m 项和为m S ，求证：1
2m S <．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立，
数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1a b ==，且{}1n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足242340,n n a S n n n N *
-+--=∈．数列{}
n b 满足11b =，12,n n n n b a b n N *
+=∈．
(1)求证：数列{}-n a n 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
(2)求证：111
3,2n n n n b b n N *+-+>≥-
∈．
专题7.7 《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷
第I 卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，若47101
102
a a a ++=，则311a a +=（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列的下标和性质即可解出． 【详解】
因为47107711
10222
a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．
故选：D ．
2．（2018·北京·高考真题（理））“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，
若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为
A B
C D ．
【答案】D 【解析】 【详解】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，
又1a f =，则7781a a q f ===
故选D.3．（2022·全国·高三专题练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如
下：
某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元． A ．10373 B ．10396 C ．10422 D ．10456
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出存期两年的利息与本金和，再求得利息税，作差即可. 【详解】
由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%， 所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456． 故选：D .
4．（2022·四川凉山·二模（文））正项等比数列{}n a 与正项等差数列{}n b ，若1557a a b b =，则3a 与6b 的关系是（ ） A ．36a b = B ．36a b ≥ C ．36a b ≤ D ．以上都不正确
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为2222
366a b d b =-≤，由此可得结果.
【详解】
设等差数列{}n b 公差为d ，则()()22
57666b b b d b d b d =-+=-，
又2
135a a a =，2222366a b d b ∴=-≤，
{}{},n n a b 均为正项数列，36a b ∴≤.
故选：C
5．（2017·全国·高考真题（理））（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，
648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C 【解析】 【详解】
设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165
6615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11
2724,61548a d a d +=⎧⎨
+=⎩解得4d =，故选C.
点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.
6．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}()
*
N n a n ∈是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若1a 、
数列{}2n a 的第2项、数列{}
2n a 的第5项恰好构成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．1n a n =- D ．1n a n =+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意设()11n a n d =+-，所以()2121n d a n =+-，()
22
11n d a n =+-，所以1，13d +，124d +构成等比数
列，即()()2
131124d d +=⨯+，求出d 即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，所以()11n a n d =+-，所以()2121n d a n =+-，
()2211n d a n =+-，又1a 、数列{}2n a 的第2项、数列{}
2n a 的第5项恰好构成等比数列，
即1，13d +，124d +构成等比数列，所以()()2
131124d d +=⨯+， 解得2d =，0d =（舍去），所以21n a n =-.
故选：A.7．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列{}n a 满足()2*11102n n n a a a n N a +⎛⎫=+∈∈ ⎪⎝⎭
，，，则以下
说法正确的个数（ ） ①10n n a a +<<
②222
21231n a a a a a +++
+<；
③对任意正数b ，都存在正整数m 使得123
111
1
1111m
b a a a a ++++
>----成立 ④11
n a n <+ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二次函数的性质及递推关系得0n a >，然后作差1n n a a +-，可判断①，已知等式变形为2
1n n n a a a +=-，求
出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得
12
11
1
111n
n a a a +++
>---，可判断③，利用数学归纳法思想判断④． 【详解】
因为2
2111(+)24n n n n a a a a +=+=-，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则130,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴2
10n n n a a a +-=>，∴10n n a a +<<，①错误；
由已知2
1n n n a a a +=-，
∴22
21221321111()()()n n n n a a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=-<，②正确；
由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及①得1112n a <-<，1121n
a <<-， ∴
12111
111n
n a a a +++>---， 显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时123
111
1
1111m
b a a a a ++++
>----成立，③正确； (i)已知11
2
a <
成立， (ii)假设11n a n <+，则2
2
2
111112411n n n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=+=+-<+ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭，又22
11123
0(1)12(2)(1)
n n n n n n ++-=>+++++，
∴11
2
n a n +>
+， 由数学归纳法思想得④错误． 故选：B ．
8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知数列{}n a 的各项都是正数，()21
1N n n n a a a n *
++-=∈．记1
(1)1
n n n b a --=-，数
列{}n b 的前n 项和为n S ，给出下列四个命题： ①若数列{}n a 各项单调递增，则首项1(0,2)a ∈ ②若数列{}n a 各项单调递减，则首项1(2,)a ∈+∞ ③若数列{}n a 各项单调递增，当13
2
a =时，20222S > ④若数列{}n a 各项单调递增，当12
3
a =时，20225S <-， 则以下说法正确的个数（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
将211n n n a a a ++-=化为21112n n n n a a a a +++-=-，根据数列的单调性列式，解不等式得到1n a +的范围，从而得2a 的范
围，再根据2
122a a a =-可得1a 的范围，由此可判断①②；
由2
11n n n a a a ++-=，得1
1
111
1
n n n a a a ++=
+-，利用裂项求和法求出2022S ，再根据单调性及首项1a ，可得2022S 的范围，由此可判断③④. 【详解】
对于①，由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=， ∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，∴2(0,2)a ∈． ∴2
1221,24a a a ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭
．∵10a >，∴102a <<．则①成立，
对于②，由题意，正数数列{}n a 是单调递减数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=->，解得1(2,)n a +∈+∞，∴2(2,)a ∈+∞．
∴2
122(2,)a a a =-∈+∞．故②成立.
又由2
11n n n a a a ++-=，可得：
21111
11111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111
111n n n a a a ++=+-．∵1
(1)
1
n n n b a --=-，
∴20221220221232022111
1111
1
S b b b a a a a =+++=
-+--
----
112232020
2021202120221
111111111a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭11223
2020
2021
2021
2022
111111
1111a a a a a a a a a =
--++-++---112022
111
1a a a =
---． 对于③，当132a =时，因为12022322a a =<<，所以
2022112,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴20222415336a <-<，则202225(,)36
S ∈，故③不成立； 对于④，当123a =
时，因为12022223a a =<<，∴20222,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，即
2022113,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2022
91
652a -<--
<-．则202265S -<<-，故④成立. 故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·重庆·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且()1210n n n a na ++-=()
n N *
∈，则下列结
论正确的是（ ） A ．{}n na 是等比数列 B ．n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列
C ．2n n a n =⋅
D ．()122n
n S n =-⋅+
【答案】BC 【解析】 【分析】
由条件变形，先求n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，再判断选项【详解】
由题意得121n n a a n n +=⋅+，故n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为2，公比为2的等比数列，
1222n n n
a n
-=⋅=，则2n n a n =⋅．故B ，C 正确，A 错误
122222n n S n =+⋅++⋅, 23122222n n S n +=+⋅+
+⋅,
两式相减得：()12
12(222)122n n n n S n n ++=⋅-++
+=-⋅+，故D 错误．
故选：BC
10．（2023·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为2
11n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）．
A ．{}n a 是递增数列
B ．{}n a 是递减数列
C ．122n a n
D ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S
【答案】BCD 【解析】 【分析】
根据2
11n S n n =-，利用二次函数的性质判断D ，利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC.
【详解】
解：因为2
2
11121
1124n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭
，所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ，故D 正确；
当1n =时，110a =，
当2n ≥时，由2
11n S n n =-，得()()2
11111n S n n -=---，
两式相减得：212n a n =-+， 又110a =，适合上式， 所以212n a n =-+，故C 正确；
因为120n n a a --=-<，所以{}n a 是递减数列，故A 错误，B 正确；
故选：BCD 11．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足28a =，()1112n
n n n a a na ---=⋅+，数列{}n b 的前n 项
和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则（ ） A ．
4
3
8a a = B ．14336a a ⋅=
C ．数列221n n a a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为单调递增的等差数列
D ．4n S >，正整数n 的最小值为31
【答案】BCD 【解析】 【分析】
对AB ，根据()1112n
n n n a a na ---=⋅+计算134,,a a a 判断即可； 对C ，根据递推公式可得221
22n
n a n a -=+判断即可； 对D ，结合222124n n a n a ++=+与22122n n a n a -=+，求解可得22log 1n n b n +=+，进而求得22log 2
n n S +=，再求解即可 【详解】
对AB ，因为28a =，所以()2
121112248a a a a -=⋅+==，解得12a =，则()3
13222328a a a -=⋅+=，
()4
14332
4168a a a -=⋅+=，所以4
3
6a a =，14
336a a ⋅=，所以A 选项错误，B 选项正确；
对C ，因为()1112
n
n n n a a na ---=⋅+，即()11
2n
n n a n a --=+，所以()212212222n n n a n n a --=+=+.又*n N ∈，所以数列221n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为单调递增的等差数列，所以C 选项正确； 对D ，因为
()22
1222122224n n n a n n a +-++=++=+，所以 ()()22212222122212
22212
log log log log 1
n n n n n n n n n a a n b a a a a a a n +-+-++⋅+=-⋅==+，
所以2
2223412
log log log log 231
n n n S n n ++=++⋅⋅⋅+++ 22
34
122log log 423
12n n n n n +++⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=> ⎪+⎝⎭，解得30n >.又*n N ∈，所以正整数n 的最小值为31，所以D 选项正确， 故选：BCD.
12．（2022·湖南·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古
希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第()
*
n n ∈N 行有n 颗，
第n 行第()
*
,1i i i n ∈≤≤N 颗 石头记为()(),,,n i n i a S 表示从第1行第1颗至第n 行第i 颗石头的总数，设
()()()()
*,1,2,,1k n n n k T S S S k k n =+++∈≤≤N ，则 （ ）
A ．()9,844S =
B ．()
2,2
n n n n
S += C ．11T = D ．()
212
k k n n k T -++=
【答案】ABD 【解析】 【分析】
分析题意，可求得(),n i S 的表达式，从而得()()(),1,2,k n n n k T S S S =+++的表达式，逐项验证即可.
【详解】
解：由题意可知，()2,1232
n n n n
S n +=++++=，故B 正确；
()()()2,111212(1)22n i n n n n i S n i i +---+=+++-+=+=，所以()29,89928
442
S -+⨯==，故A 正确；
()()()()()
22,1,2,1122
2
k n n n k k n n k n n k T S S S k --++=+++=
++++=
，故D 正确；
所以212
2n n T -+=，故C 不正确．
故选：ABD.
第II 卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2019·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【解析】 【分析】
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果. 【详解】
317
125,613a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩得11
,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109
101012100.22
S a d ⨯⨯∴=+
=⨯+⨯=14．（2017·北京·高考真题（理））若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则2
2a b =_______.
【答案】1 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出2
2
a b 的值. 【详解】
设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=， 求得2q =-，3d =，那么
221312
a b -+==，故答案为1. 15．（2022·云南师大附中高三阶段练习）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的中位数为____________． 【答案】1007 【解析】 【分析】
由题意可知，数列{}n a 满足215(1)n a n -=-，再根据n a 与2022的大小关系确定数列{}n a 共有135项，进而求得中位数即可 【详解】
由题意可知，2n a -既是3的倍数，又是5的倍数，即215(1)n a n -=-，所以1513n a n =-， 当135n =时，135151351320122022a =⨯-=<，
当136n =时，13615136132027a =⨯-=2022>，所以123135n =，
，，，，
数列{}n a 共有135项，因此中位数为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：1007
16．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2n
n a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ
的取值范围是_______． 【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
先分离参数将问题转化为232n n n λ+≤对于任意*
n ∈N 恒成立，进而转化为2max 3()2n n n λ+≤，
构造232n n n n b +=，再作差判定单调性求出数列{}n b 的最值，进而求出λ的取值范围. 【详解】
因为23n a n n =+，且2n
n a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，
所以232n n n λ+≤对于任意*
n ∈N 恒成立，即2max 3()2
n
n n λ+≤， 令232n n
n n
b +=，则2221113(1)(1)3354222n n n n n n n n n n n b b +++++++-++-=-=
， 因为21302b b -=>，32104b b -=>，431
02b b -=-<，
且211
354
02
n n n n n b b ++-++-=<对于任意3n ≥恒成立， 所以12345b b b b b <<>>>⋅⋅⋅，即2max 3
315
()24
n n n b +==， 所以实数λ的取值范围是15,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
故答案为：15,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2018·北京·高考真题（文））设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12n a a a e e e ++
+.
【答案】（I ）ln 2n ；（II ）122n +-. 【解析】 【分析】
（I ）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组,求解1,a d ，代入通项公式可得；（II ）由（I ）可得2n a n e =，
进而可利用等比数列求和公式进行求解. 【详解】
（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =，∴ln2d =. ∴()11ln2n a a n d n =+-=. （II ）由（I ）知ln2n a n =， ∵2ln 2=2n
n a nln n e e e ==，
∴{}
n a
e 是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴2
12ln2ln2ln2n
n a a a e e e e e e +++=++
+
2=222n +++1=22n +-. ∴12n a a a e e e ++
+ 1=22n +-
18.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，24n n S a n =+-． (1)证明：数列{}1n a -是等比数列．
(2)若数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前m 项和170513m T =
，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析(2)8 【解析】 【分析】
（1）根据n S 与n a 的关系式化简证明；（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为21n
n a =+．所以
11211
2121n n n n n a a ++=-++，继而求和计算. (1)
当1n =时，1123a a =-，13a =．
当2n ≥时，()11214n n S a n --=+--，两式相减得121n n a a -=-， 即()1121n n a a --=-，112a -=，
则数列{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列． (2)
由（1）得12n
n a -=，21n n a =+，当1n =时，1213a =+=，
数列{}n a 的通项公式为21n
n a =+．
()()1112211
21212121n n n n n n n n a a +++==-++++， 111111111
11135599172121321
m m m m T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令111170
321513
m +-=+，
得121513m ++=，解得8m =．
19．（2016·全国·高考真题（理））n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表
示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，
. （Ⅰ）求111101,,b b b ；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和.
【答案】（Ⅰ）1111010,1, 2.b b b ===（Ⅱ）1893. 【解析】【详解】
试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项n a ，再根据已知条件求111101b b b ，，；（Ⅱ）用分段函数表示n b ，再由等差数列的前n 项和公式求数列{}n b 的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =
111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,
110,1,
10100,
{
2,1001000,
3,
1000.
n n n b n n ≤<≤<=≤<=
所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=
20.（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列{}n a 满足：12
(1),=,2
n n a n n a n n +-+⎧⎪
⎨⎪⎩为奇数为偶数*()N n ∈ (1)求1a 、3a 、5a ；
(2)将数列{}n a 中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{}m b ()m ∈*N ， ①证明：m b m ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
②设数列+11m b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前m 项和为m S ，求证：1
2m S <．
【答案】(1)10a = ；34a = ；512a = (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据12(1),=,2
n n a n n a n n +-+⎧⎪
⎨⎪⎩为奇数
为偶数求解；
（2）①利用等差数列的定义证明；②利用裂项相消法求解.
(1)由题意知：2
1222202a a =-=-=，
2
3444442a a =-=-=，
2
56666122a a =-=-=；
(2)
①当n 为奇数时，n +1为偶数， ∴()
()()2
2111112
2
n n n n a a n n ++-=-+=
-+=
，
∴()()2
21211
212
m m m b a m m ---==
=-，
∴
()2122m m m b m m m
-==-，
当2m ≥时，
1
(22)[2(1)2]21
m m b b m m m m --=----=-， m b m ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
是以11011b a ==为首项，2为公差的等差数列．
②由①知12(1)(N )m b m m m *
+=+∈，
1
11111
()2(1)21
m b m m m m +∴
=
=-++，
11111111[(1)()(
)](1)2223121
m S m m m =-+-+
+-=-++， 11122(1)2
m =-<+. 21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1a b ==，且{}1n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ． 【答案】1
2
k =±；当12k =时，n S n =；当12k =-时，2,21,2n n n k S n n k
-=-⎧=⎨=⎩，()
*
k ∈N ． 【解析】 【分析】
根据已知条件结合等比中项的性质，即可求解k 的值，解得1
2
k =±，分别求解1
2k =和12
k =-时的前n 项和为n S .
【详解】解：因为121a a ==且()12n n n a k a a ++=+得342111
1,1a a k k k
=
-=--， 又{}1n n a a ++是等比数列，则()()()2
231234a a a a a a +=++， 即
22
1122k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，得1
2k =±． 当1
2
k =
时，121,1a a ==，1n a =，故{}1n n a a ++是以2为首项，公比为1的等比数列， 此时{}n a 的前n 项和n S n =；
当1
2
k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，
所以()211n n n n a a a a ++++=-+，且1220a a +=≠所以{}1n n a a ++以122a a +=为首项，公比为-1的等比数列， 又()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+， 所以，当n 是偶数时，
()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=++++++()122
n a a n =+=， 当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-， ()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++⋅⋅+⋯⋅()11222n n -=+
⨯-=-2,21,2n n n k S n n k -=-⎧=⎨=⎩，()
*k ∈N 综上，当12
k =时，n S n =， 当12k =-时2,21,2n n n k S n n k
-=-⎧=⎨=⎩，()*k ∈N ． 22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足242340,n n a S n n n N *-+--=∈．数列{}
n b 满足11b =，12,n n n n b a b n N *+=∈．
(1)求证：数列{}-n a n 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
(2)求证：1113,2
n n n n b b n N *+-+>≥-
∈．【答案】(1)证明见解析，2n n a n =+ (2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由公式当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得n a 与1n a -的关系式，进而可证数列{}-n a n 为等比数列，并求得数列{}n a 的通项公式； （2）由题意得112n n n n b b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，所以1n b +与n b 同号，又数列{}n b 为递增数列，又122n n n n n n n b b b +-=≥，累加得121121222n n n b b ---≥+++1
122n n -+=- 所以n b 1
132n n -+≥-
(1) 当1n =时，13a =；
当2n ≥时，21142(1)3(1)40,n n a S n n n N *---+----=∈，
所以()142240n n n a a a n ---+-=，整理得122n n a a n -=-+．
所以[]12(1)n n a n a n --=--，又1120a -=≠，故0n a n -≠． 所以
12(1)
n n a n a n --=--，即{}-n a n 为等比数列．所以2,2n n n n a n a n -==+ (2) 由题意得112n n n n b b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，所以1n b +与n b 同号， 又因为110b =>，所以0n b >，即102
n n n n n b b b +-=>，即1n n b b +>． 所以数列{}n b 为递增数列，所以11n b b ≥=， 即122n n n n n n n b b b +-=
≥，累加得121121222n n n b b ---≥+++． 令2
1121222n n n T --=+++，，所以2311212222n n n T -=+++， 两式相减得：123111111111112212222
22212n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=--，所以1122n n n T -+=-，所以1132n n n b -+≥-，所以11132n n n n b b +-+>≥-．。