985状元学习法 高三第一轮文科数学30天提优必刷题小卷自主训练 第17天 附答案详解

状元学习 小卷狂练
2018年8月
数学（文科）第一轮 第17天
一．单项选择题。

（本部分共5道选择题）
1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25
2．若函数y ＝f (x )可导，则“f ′(x )＝0有实根”是“f (x )有极值”的 ( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．不等式
x －2
x ＋1
≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
D ．[－1,2]
4．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是( ) A ．若a ⊂α，b ⊂β，且a ∥b ，则α∥β B ．若a ⊂α，b ⊂β，且a ⊥b ，则α⊥β C ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b D ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b
5．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．
A ．{a ，a ＋b ，a －b }
B ．{b ，a ＋b ，a －b }
C ．{c ，a ＋b ，a －b }
D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }
二．填空题。

（本部分共2道填空题）
1．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S ，则“S 恰好为4”的概率为________． 2．设F 1、F 2分别是椭圆
x 225
＋
y 216
＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的
中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．
三．解答题。

（本部分共1道解答题）
设椭圆方程为x 2＋y 2
4＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原
点，点P 满足OP →
＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，当直线l 绕点M 旋转时，
求：
(1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP →
|的最大值，最小值．
参考答案
一 1.解析 1524
2451,5551522a a a a a a S ++==⇒=
⨯=⨯=.
答案 B 2.答案 A
3.解析 ∵x －2
x ＋1≤0⇔⎩⎨
⎧
x ＋x －，
x ＋1≠0⇔⎩⎨
⎧
－1≤x ≤2，
x ≠－1，
∴x ∈(－1,2]． 答案 B
4.解析 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A 的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B 中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C 中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D 中的结论成立．正确选项D. 答案 D
5.解析 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－
m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 答案 C
二 1. 解析 本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a ，b ，c )来记连续抛掷3次所得的3个数字，总事件中含4×4×4＝64个基本事件，取S ＝a ＋b ＋c ，事件“S 恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则P (S 恰好为4)＝364
. 答案
364
2.解析 由题意知|OM |＝1
2|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4.
答案 4
三 解析 (1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，
x 2
＋y
2
4
＝1.
消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－
2k 4＋k 2，x 1x 2
＝－3
4＋k 2
. 设P (x ，y )是AB 的中点，则OP →
＝1
2(OA →＋OB →
)，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12x 1＋x 2＝k 4＋k 2
，
y ＝12
y 1＋y 2
＝12
kx 1＋1＋kx 2＋
＝4＋2k 2
4＋k 2
；
消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.
当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0. (2)由(1)知4x 2
＋⎝
⎛
⎭⎪⎫y －122＝14
∴－14≤x ≤1
4
而|NP |2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122
＝⎝
⎛
⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24
＝－3
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712
， ∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值21
6
，
当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。