江苏省盐城东台市高二数学上学期期末考试试题(扫描版)

江苏省盐城东台市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（扫描版）
高二数学答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题纸相应的位置上. 1.抛物线2
4x y =的焦点坐标是 ▲ . ()0,1
2.3x >是5x > 的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空） 必要不充分
3. 在区间
[]
0,2上任取两个实数,x y ，则221x y +≤的概率为 ▲ 16
π
4．如图，茎叶图记录了甲、乙两学习小组各3名同学在一次考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 ▲
143
5．如图，该程序运行后输出的结果为 ▲ 45
6. 点),(y x P 在不等式组0020x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
的平面区域内，则y x z +=2的最大值为 ▲ .
6
7. 关于x 的不等式2
0ax x b ++>的解集为()1,2，则a b += ▲ ．1-
8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C ，D 的双曲线的离心率是 ▲ ．21+
甲组
6 1 2
8 8 9
0 5
乙组
9. 函数()x
f x x e =+的图象在点O ()0,1处的切线方程是 ▲ ．210x y -+=
10. 观察以下不等式①
213122+<②221151233++<③ 222111712344
+++< 则第六个示等式是
2222221111111312345677
++++++< ．
11. 设p : 函数3
21()213
f x x ax x =
-++在区间[]1,2上是单调增函数，设q : 方程222(232)1a a x y --+=表示双曲线，“p 且q ” 为真命题，则实数a 的取值范围为
▲ ．122⎛-
⎝ 12．已知22(1)xy x y x =++>，则x y +的最小值为 ▲ ．7
13. 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上运动，12PF PF ⨯u u u r u u u u r 的
最大值为m , 12PF PF u u u v u u u u v
g 的最小值为n ，且2m n ≥，则该椭圆的离心率的取值范围为 ▲ ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
14. 3
2
()2f x ax x x =-++，ln ()e x
g x x
=
，(]10,1x ∀∈，(]20,1x ∀∈， 使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[)2,-+∞
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ， 12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为
65
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．
解：（1）根据题意：2653a c a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩，解得3,5a c ==，24b =， 4分
椭圆C 的标准方程为22
194x y += 6分
（2）由椭圆的定义126
PF PF +=可得
22
PF
=, ………………………10分
设点P 到右准线的距离为d,根据第二定义
25
3
d =
，解得655d = ………………………………………………………14分
16．（本题满分14分）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如下图所示），
（1）求分数在[)70,80中的人数；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[)40,50和[)50,60的学生中共抽取5人，该5人中成绩在
[)40,50的有几人；
（3）在（2）中抽取的5人中，随机抽取2人，求分数在[)40,50和[)50,60各1人的概率．
解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数
在[70，80）内的概率为3.010)005.0010.02015.0025.0(1=⨯++⨯+-，人数为301003.0=⨯ ……………………………5分
（2）抽取的5人中分数在[)40,50的人有2人； ……………………………9分 (3）5人中随机抽取2人共有10种可能，分别在不同区间上有6种可能。

所以63
105
P ==. ………………………………………………………14分
17．（本题满分14分）函数3
2
()3f x ax bx x =+-在点1x =处取得极大值为2.
(1) 求函数()f x 的解析式；
(2) 求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解：(1)求导
()2323
f x ax bx '=+-.………………………2分
由题意得(1)2
(1)0f f =⎧⎨
'=⎩
，………………………4分
即323230a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得712a b =-⎧⎨=⎩
， ………………………6分
所以()3
2
7123f x x x x =-+- ………………………7分
(2)
()()2()212433171f x x x x x '=-+-=--- (9)
分
列表如下：
x
0 (0，
1
7) 17
(
1
7
,1) 1 (1,2) 2 ()f x '
－
＋
＋
()f x
0 减 极小值 增 极大值 减
14
-
…………………………………………………
……11分
因为f(0)＝0，110
()749
f =-
，f(1)＝2，f(2)＝-14，………………………………………………………13分
所
以
当
x∈[0,2]
时
，
f(x)max
＝
2
，
f(x)min
＝
－
14. ………………………………………………………14分 18. （本题满分16分）
如图，一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房，半径为1，点P 是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP 内种花，PQ OA ⊥,垂足为Q ，PQ 将扇形AOP 分成左右两部分，在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏区，在PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a ，种草的单位面积的造价为2a ，其中a 为正常数，设AOP θ∠=,种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为()f θ
(1) 求()f
θ关于θ的函数关系式；
(2) 求当θ为何值时，总造价最小，并求出最小值.
解：（1）种花区的造价为
322a πθ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，………………………………………………………2分 种草区的造价为1sin cos 222a θθθ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
……………………………4分 故总造价
313()sin cos 2sin cos ,02222422a f a a πθθπθθθθπθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-=--<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, …………………………………………………
……6分 (2)
()22111cos cos sin sin 2cos 2(cos )
224f a a a θθθθθθθ⎛⎫⎛⎫
'=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
112cos cos 0222a πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ …………………………………………………
……10分
观赏区θ
种草区
种花区
Ｂ
A
P
令()0f θ'=，得到3
πθ=
………………………………………………………14分 故当3
π
θ=
时，总造价最小，且总造价最小为73124a π⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝
⎭ ………………16分 19．（本题满分16分）如图，已知中心在坐标原点的椭圆C ，
12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，
离心率为
1
2
.过椭圆的左焦点1F 任意作一条直线l 与椭圆交于,A B 两点．设()1122,,(,)A x y B x y .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当直线l 的斜率1k =时，求三角形2ABF 的面积；
（3）当直线l 绕1F 旋转变化时，求三角形2ABF 的面积的最大值。

解：（1）由已知得：
2
212
a a c c a ⎧-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，解得2,1a c ==，23b =，
椭圆C 的标准方程为2
2
143
x y += …………4分 （2）联立方程组：22
1,14
3y x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得： 27690y y --=， 1236479122
7
y y +⨯⨯-=
=
， …………………………6分 三角形2ABF 的面积为
121122
22c y y ⨯⨯-=
…………………………………………8分
θ
0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()f θ' _ 0 + ()f θ
递减
极小值
递增
（3）当直线l 的斜率不存在时，三角形2ABF 的面积为
212112122233222
b c y y c a ⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯= ……………………………………………9分
当直线l 的斜率存在时，设直线方程为1x my =-
22
134120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，223(1)4120my y -+-=，22
(34)690m y my +--=，122634m y y m +=
+12
29
34
y y m -⨯=+……………………………………………10分
12y y -=
==12
分
设221,1t t m t =≥=-
12221212121
34313y y t m t t t
-=
====
+++14分
1()3(1)f t t t t =+≥，21
()30f t t
'=-≥，当1t =时，12y y -有最大值3
故三角形2ABF 的面积的最大值为12max 1
23
2
c y y ⨯⨯-= (15)
分
综上三角形2ABF 的面积的最大值为3 ……………………………………………16分
20. （本题满分16分）已知函数()()()ln ,1f x x x g x k x ==-． （1）当k e =时，求函数()()()
f x
g x
h x x
-=
的极值；
（2）当0k >时，若对任意两个不等的实数[]12,1,2x x ∈，均有()()()()
12121212
f x f x
g x g x x x x x ->-，求实数k 的取值范围；
（3）是否存在实数k ，使得函数()()()f x g x h x x -=在[]1,e 上的最小值为1
2
，若存在求出k 的值，
若不存在，说明理由.
解：（1）注意到函数()f x 的定义域为()()()
()10,,ln 0k x h x x x x
-+∞=->， 当k e =时，()221e x e h x x x x
-'=
-=， 若0x e <<，则()0h x '<；若x e >，则()0h x '>， 所以()h x 是()0,e 上的减函数，是(),e +∞上的增函数， 故()()2h x h e e ==-极小值，
故函数()h x 极小值为2e -，无极大值；……………………………3分 （2）()
ln f x x
x
=在
[]1,2上是增函数，当0k >时，()()111g x k x k x
x
x -⎛⎫==-
⎪⎝
⎭
在[]1,2上是增函
数，不妨设12
x x >，则
()()()()12121
212
f x f x
g x g x x x x x ->-
，
()()()()11221122
f x
g x f x g x x x x x ->- ……………………………………………5分
设()()()()
()1ln 12f x g x k x h x x x x x x
-=-=-≤≤在[]1,2上是增函数 转化为
()2210k x k h x x x x
-'=-=≥在[]1,2上恒成立，()min 1k x ≤=，故实数k 的取值范围为(]0,1 ……………………………………………8分 （3）()221k x k h x x x x
-'=
-=， 当0k ≤时，()0h x '>对0x >恒成立，所以()h x 是()0,+∞上的增函数，()h x 是[]1,e 上的增函数，min ()(1)0h x h ==，不合题意，…………………………………9分 当0k >时，若()0,0x k h x '<<<；若(),0x k h x '>>； 所
以
()
h x 是
()
0,k 上的减函数，是
()
,k +∞上的增函
数， ………………………………………10分 (ⅰ)当k e ≥时，()h x 是[]1,e 上的减函数，min (1)()()1k e h x h e e -==-，令(1)1
12
k e e --=，解得()
21e
k e =
-，不满足k e ≥，舍去。

……………11分
(ⅱ)当1k e <<，
()
h x 是
()1,k 上的减函数，是(),k e 上的增函数，
min ()()ln 1h x h k k k ==-+ (12)
分
令()()()11ln 10,1x
x x x x x x x
μμ-'=-+>=
-=
， 当01x <<时，()0x μ'>；当1x >时，()0x μ'<． 所以()x μ是()0,1上的增函数，是()1,+∞上的减函数， 故()()10x μμ≤=当且仅当1x =时等号成立，
min ()()ln 10h x h k k k ==-+≤，故最小值不是12
，不合题意。

……………14分
(ⅲ)当01k <≤时，()h x 是[]1,e 上的增函数，min ()(1)0h x h ==，不合题意，
(15)
分
综上，不存在实数k ，使得函数()()()h x f x g x =-在[]1,e 上的最小值为
12。

(1)
6分。