天津高考数学试题(理科)

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕
数学 〔理工类〕
本试卷分为第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟，第I 卷1至3页，第二卷4至11页。

考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷
考前须知：
1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2. 每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共10小题，每题5分，共50分。

参考公式：
·如果时间A ，B 互斥，那么 ·如果时间A ，B 相互独立，那么 P 〔A B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕. P(AB)=P(A)P(B).
·棱柱的体积公式V=Sh. ·凌锥的体积公式V=13
Sh. 其中S 表示棱柱的底面积， 其中S 表示棱锥的底面积. H 表示棱柱的高 h 表示棱锥的高.
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〔1〕i 是虚数单位，复数1312i i
-++= 〔A 〕1+i 〔B 〕5+5i 〔C 〕-5-5i 〔D 〕-1-i
(2)函数()23f χχχ=+的零点所在的一个区间是
〔A 〕〔-2，-1〕 〔B 〕〔-1，0〕 〔C 〕〔0，1〕 〔D 〕
〔1，2〕
〔3〕命题“假设()f
χ是奇函数，那么()f χ-是奇函数〞的否命题是
〔A 〕假设()f
χ是偶函数，那么()f χ-是偶函数 〔B 〕假设()f χ是奇数，那么()f χ-不是奇函数
〔C 〕假设()f χ-是奇函数，那么()f χ是奇函数
〔D 〕假设()f χ-是奇函数，那么()f
χ不是奇函数 〔4〕阅读右边的程序框图，假设输出S 的值为-7，那么叛断框内
可填写。

〔A 〕i<3? ( B)i<4?
(C)i<5? (D)i<6?
〔5〕. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程式是3y x =，它的一个焦点在抛物线2
24y x =的准线上，那么双曲线的方程为 〔A 〕22
136108x y -= 〔B 〕
〔C 〕
〔6〕{a}是首项为1的等比数列，n S 是{a}的前n 项和，且369S S =。

那么数列n 1a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前5项和为
〔A 〕158或5 〔B 〕3116或5 〔C 〕3116 〔D 〕158
〔7〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，假设223a b bc -=，
sinC=23sinB ，那么A=
〔A 〕30° 〔B 〕60° 〔C 〕120° 〔D 〕150°
〔8〕设函数f 〔x 〕=()212
log log x x ⎧⎪⎨-⎪⎩ 0,0x x >< 假设f(a)>f(-a),那么实数a 的取值范围是 〔A 〕
〔Ｂ〕 〔Ｃ〕
〔Ｄ〕 〔9〕设集合A ＝{1,}x
x a x R -<∈，B ＝{2,}x x b x R ->∈。

假设A B ⊆,那么实
数,a b 必满足
〔A 〕3a b +≤ 〔B 〕3a b +≥
〔C 〕3a b -≤ 〔D 〕3a b -≥
〔10〕如图，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要
求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。

那么不同的
涂色方法共有
〔A 〕 288种 〔B 〕264种 〔C 〕 240种 〔D 〕168种
二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分，把答案填在题中横线上。

〔11〕甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示下列图，中间一列的数字表示零件个数，两边的数字表示零件个数的位数。

那么这10天
甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和。

12. 一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为 。

〔13〕圆C 的圆心是直线1t t χγ=⎧⎨=+⎩
〔t 为参数〕与χ轴的交点，且圆C 与直线30χγ++=相切。

那么圆C 的方程为 。

〔14〕如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边开有，延长A B 和DC 相交于点P 。

假设12
PB PA =，13PC PD =，那么BC AD
的值为 。

〔15〕如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3,||1BC BD AD ==，那么AC AD = 。

〔16〕设函数2()1f χχ=-，对任意3
,2χ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,24()(1)4()f m f f f m m χχχ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，那么实数m 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共76分。

解容许写出文字说明，证明过程或演
算步骤。

(17)(本小题总分值12分)
函数()f x =223sin cos 2cos 1()x x x x R +-∈。

(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值： (2)假设06()5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。

(18)(本小题总分值12分)
某射手每次射击击中目标的概率是23
，且各次射击的结果互不影响。

(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率：
(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率：
(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，假设有2次连续击中，而另外1次未击中，那么额外加1分；假设3次全击中，那么额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列。

(19)(本小题总分值12分)
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱BC ，1CC 上的点，2CF AB CE ==，1::1:2:4AB AD AA =。

(Ⅰ)求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值：
(Ⅱ)证明AF ⊥平面1A ED ：
(Ⅲ) 求二面角1A ED F --的正弦值。

(20)(本小题总分值12分) 椭圆22221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

(Ⅰ)求椭圆的方程：
(Ⅱ)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 。

点A 的坐标为(-a ，0)，点Q (0，0y )在线段AB 的垂直平分线上，且QA QB =4。

求0y 的值。

〔21〕〔本小题总分值14分〕
函数f(x)=xe -x 〔x ∈R 〕.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x) (Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +>
〔22〕〔本小题总分值14分〕
在数列{}n
a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。

(Ⅰ)假设k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列〔*k N ∈〕；
(Ⅱ)假设对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q .
〔i 〕设1q ≠1.证明11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是等差数列；
(ii)假设22a =，证明22
322(2)2k n k
k n n a ∑-<-≤≥。