(完整word)极坐标与参数方程题型及解题方法

(完整word)极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问
1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别?学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？
2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？
答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。

如果点P 在直角坐标系下的坐标为(x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ， 则有下列关系成立:
ρθρ
θy
sin x
cos =
=
3、 参数方程{
cos sin x r y r θθ
==表示什么曲线?
4、 圆(x-a ）2+(y-b)2=r2的参数方程是什么?
5、 极坐标系的定义是什么？
答：取一个定点O,称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度,这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。

ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。

显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置
6、参数方程的意义是什么？
参数方程极坐标
Ⅱ 题型与方法归纳
1、 题型与考点（1）
{
极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化
（2）
{
参数方程与普通方程互化
参数方程与直角坐标方程互化
(3） {
利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、解题方法及步骤
（1)、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）。

一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标）
例1、方程22
22
t t
t t
x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ) A 。

双曲线 B 。

双曲线的上支 C 。

双曲线的下支 D.圆
解析：注意到2t t
与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减,即可消去含t 的项，
()()
2
2
2
2
22
224t
t t
t x y ---=--+=-，即有224y x -=,又注意到
202222t t t y ->+≥=≥，，即，
可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支，选B
练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ )(t 为能数)
222
sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t
===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩ 解析：所谓与方程210x y +-=等价,是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解。

对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；
对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，； 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.
而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，
显然与之等价的为B. 练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 。

分析:注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=,则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线）,显然(),x y 既满足222312x y +=,
又满足2x y t +=,故点(),x y 是方程组2223122x y x y t
⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化
为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题。

解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=,又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组
222312
2x y x y t
⎧+=⎨
+=
的公共解,依题意得(
)221182120y t y t -⋅+-
=，由()22644
112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤≤2x y +，最小值为.
（2）、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2)极轴与x 轴正方向重合;（3）取相同的单位长度。

设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，
则 222
cos sin x y x y
y tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪
⎨⎨==
⎩⎪⎩
或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ。

例2、极坐标方程2
4sin 52
θ
ρ⋅=表示的曲线是( ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D 。

抛物线
分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由21cos 4sin 422cos 522
θθ
ρρρρθ-⋅
=⋅
=-=,化为直角坐标系方程为25x =,化简得225
54
y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D 。

练习1、
已知直线的极坐标方程为
sin 42πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则极点到该直线的距离是
解析：极点的直角坐标为()0,0o ，对于方程sin 4πρθ
ρθθ⎫⎛
⎫+==⎪ ⎪⎪⎝
⎭
⎝
⎭
可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=，因此点到直线的距离为
2
练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为(
）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y = 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解
.
解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或，因此选C 。

练习3、点M 的直角坐标是(1-,则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,
)3π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈ 解析：2(2,2),()3
k k Z π
π+∈都是极坐标,因此选C 。

（3）、参数方程与直角坐标方程互化
例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为
θθρsin 6cos 2+=．
（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程,将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
解:（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθ
sin 10cos 102y x 得
10)2(22=++y x
∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22+=
∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x
∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为
10)3()1(22=-+-y x
(2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C ∴两圆相交
设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C
∴22
2)10()223()2(=+d
∴22=d
∴公共弦长为22
练习1、坐标系与参数方程.
已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ
+=θ
+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π），
（Ⅰ）将曲线化为普通方程；
(Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程． 解析:（Ⅰ）023222=--+y x y x
（Ⅱ）()
θ+θ=ρsin cos 32
（4）利用参数方程求值域
例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点,使它到直线2C
：12
(112
x t t y t
⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，
D
A
F
E
O
B
C
并求出该点坐标和最小距离.
解：直线C 2化成普通方程是x+y —22-1=0
设所求的点为P （1+cos θ，sin θ) 则C 到直线C 2的距离d=
2
|
122sin cos 1|-+++θθ
=｜sin （θ+
4
π
)+2| 当234ππ
θ=+时，即θ=4
5π
时，d 取最小值1
此时,点P 的坐标是（1-
22,-2
2
）
练习1、在平面直角坐标系xOy 中,动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ(θ∈R ）的圆心为(,)P x y ,
求2x
y 的取值范
解：由题设得4cos ,
3sin x y θθ=⎧⎨
=⎩
（θ
为参数，θ∈R ） 于是.
28cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+,
所以
2x y -。

练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=,54253t
y t x （t 为参数)．
(Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ,N 曲线C 上一动点,求MN 的最大值.
解：（1)曲线C 的极坐标方程可化为：
θρρsin 22=
又 θρθρρsin ,cos ,222===+y x y x 。

所以，曲线C 的直角坐标方程为：
0222=-+y y x .
（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：)2(34
--=x y
令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(,半径1=r ， 则5=MC
∴15+=+≤r MC MN
（5)直线参数方程中的参数的几何意义
例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．
（2)把直线3
12112
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入422=+y x ， 得22231
(1)(1)4,(31)2022
t t t t +
++=++-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．
练习1、求直线415
315x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长.解:将方程415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
，2)4
π
ρθ=+分别化为普通方程：
3410x y ++=，220,x y x y +-+=
217
2.105
d d -=-211211圆心C （，－），半径为＝，弦长＝2r 222100
（6）、参数方程与极坐标的简单应用
参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
例6、已知ABC ∆的三个顶点的极坐标分别为5543623A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，，，，，，判断三角形ABC 的三
角形的形状，并计算其面积.
分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.
解析：如图，对于553
6
6
AOB BOC AOC πππ
∠=∠=∠=，，， 又5,43OA OB OC ===
B
A
O x C。