高考第三轮数学复习回归课本教案：数列

2010复习回归：数列
一．考试内容：
数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和公式.
二．考试要求：
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题.
(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题. 【注意】本部分内容考查的重点是等差、等比数列的通项公式与前n 项 和公式的灵活运用，特别要重视数列的应用性问题，尤其是数列与函数、数列与方程、数列 与不等式等的综合应用.
三．基础知识:
1.数列的同项公式与前n 项的和的关系
11,
1,2
n n n s n a s s n -=⎧=⎨
-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).
2.等差数列的通项公式
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
其前n 项和公式为
1()2n n n a a s +=
1(1)
2n n na d -=+ 211
()22d n a d n =+-. 3.等比数列的通项公式
1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
⋅∈； 其前n 项的和公式为
11
(1)
,11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩
或11
,11,1n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩.
4.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为
1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪
=+--⎨≠⎪-⎩
；
其前n 项和公式为
(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q d
b n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩
. 5.分期付款(按揭贷款)
每次还款(1)(1)1
n
n
ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 四．基本方法和数学思想
1.由S n 求a n ，a n ={
)
,2()
1(*
11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，
若不符合要单独列出。

一般已知条件中含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑用上述公式；
2.等差数列 *),2(2(111N n n a a a d d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+-为常数）｝｛
Bn An s b an a n n +=⇔+=⇔2；
3.等比数列 ;q a a N)n 2,(n a a a }a 1-n 1n 1n 1-n 2
n n ⋅=⇔∈≥⋅=⇔+｛
4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转
化为解不等式⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或解决； 5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；
6.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, n
m a a d n m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m ; q=m
n m
n a a -;
7.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N ＊
）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ；
8.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 、a 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列；
9.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；
10.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶—S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈N*）；
11.若一阶线性递归数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
12.求数列通项的各种方法与类型;
13.求数列前n 项和的类型和方法. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等
14.数列中不等式的证明的思路.
五．高考题回顾
1（湖南卷）已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则20a =
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3 2. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于
( )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
3. （湖南卷）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，
则f 2005(x )＝（ ）A ．sinx B ．－sinx C ．cos x D ．－cosx
4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( )
(A)1845a a a a +<+(B) 1845a a a a +=+(C) 1845a a a a +>+(D) 1845a a a a =
5. （04年湖北卷.文9理8）已知数列{a n }的前n 项和
,...)2,1(21)1(22121
1=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n b a S n n n ，其中a 、b 是非零常数。

则存在
数列{n x }、{n y }使得（ ）
（A ）a n =n x +n y 其中{n x }为等差数列，{n y }为等比数列 （B ）a n =n x +n y ，其中{n x }和{n y }都为等差数列
（C ）a n =n x ·n y ，其中{n x }为等差数是列，{n y }为等比数列 （D ）a n =n x ·n y 其中{n x }和{n y }都为等比数列
6. （04年重庆卷.文理9）若数列{}n a 是等差数列，首项
120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大
自然数n 是：（ ）
A 4005
B 4006
C 4007
D 4008
7. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，
则100S =_ ___.
六.课本中习题归纳
一、一般数列的通项及前n 项和
1 已知数列{}n a 的通项(1)n n a n =-，则其前n 项和n S = 。

2数列：1111,,,12233445
-
-⨯⨯⨯⨯的通项n a = 。

3已知数列{}n a 的首项11a =，且1
1
1n n a a -=+
，则第 项为最大项，lim n x a →∞
= 。

4 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 。

5 已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a = 。

6 已知数列{}n a 的11a =，22a =且12(3)n n n a a a n --=+≥，则1
lim n
x n a a →∞+= 。

7 已知数列{}n a 的前n 项和2
1()2
n S n n =
+，则n a = 。

8 已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+，则n a = 。

9 已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a = 。

10 数列：2222
13571,1,1,12468+
-+-的通项n a = 。

11
数列：的通项n a = 。

12 已知数列{}n a 的通项250
n n
a n =
+，则数列最大项是第 项。

13 已知数列{}n a 的通项21110n a n n =-+,则n a 的最小值是 ，n S 的最小值是 。

二、等差数列的通项及前n 项和
1 在等差数列{}n a 中，51210,31a a ==，则1a = ，d = ，n a = ，
n S = ,710a a += .
22
()a b +与2
()a b -的等差中项是 。

3 等差数列{}n a 的通项27n a n =-+，则它的公差d = ，首项1a = ，
n S = 。

4 无穷等差数列{}n a 的首项193a =，公差17d =-，无穷等差数列{}n b 的首项117b =，公差212d =，则这两个数列中，数值相等的项数有 项。

5 已知{}n a 是等差数列，下列说法不正确的是 （ ）
A,5372a a a =+ B,若正整数p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+
C ，3710a a a +=
D ，若正整数m n ≥，则()m n a a m n d =+-（d 为公差）
6 集合*
{7,,100}A m m n n N m ==∈<且，它有 个元素，这些元素之和等
于 。

7 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，则它的前30项的和是 前n 项的和是 。

8 在小于100的正整数中，共有 个数被3除余2，这些数的和等于 。

9 一个等差数列的前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27， 则它的通项n a = ，前n 项的和n S = 。

10 数列：
1,121,12321,,12(1)(1)21n n n +++++++++-++-+++，的
前n 项的和n S = 。

11 已知两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项的和分别为n S ，n T 。

（1） 若
723n n S n T n +=
+，求n n a
b ； （2） 若
14522n n a n b n -=
+，求n n
S
T 。

三、等比数列的通项及前n 项和
1 在等比数列{}n a 中，3412,18a a ==，则n a = ，n S = 。

2 已知等比数列{}n a 的1104
n
n a =
，则n S = 。

3 2
()a b +与2
()a b -的等比中项是 。

(a+b ≠0,a-b ≠0)
4 （1）在9与243中间插入两个数,a b 。

使它们成等比数列，则a = ，b = 。

（2）在160与5中间插入四个数,a b ，,c d 。

使它们成等比数列，则c = ，d = 。

5 已知{}n a 是等比数列，下列说法不正确的是 （ ） A,2537a a a = B,若正整数p q m n +=+，则p q m n a a a a =
C ，若正整数m n ≥，则m n m n a a q -=（q 为公比）D,不是等比数列。

6 已知等比数列{}n a 的前3项的和是92，前6项的和是14
3
，则它前9项的和是 ，前n 项的和n S = 。

7 已知数列{}n a 的通项221n n a n =+-，则它前n 项的和n S = 。

8 求和：（1）2(1)(2)()n a a a n -+-+-= ； （2）12(235)(435)(235)n n ----⨯+-⨯+-⨯= ；
（3）22111
()()()n n x x x y y
y
+
++++
= 。

(0)y ≠ 9 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，求证：
（1） 若396,,S S S 成等差数列，则285,,a a a 成等差数列； （2） 若174,,a a a 成等差数列，则361262,,S S S S -成等比数列。

四、等差数列与等比数列的综合运用
1 在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。

2 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列， 则这三个数分别是 。

3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是 。

4 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （ ） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列
5 a,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程2
0ax bx c ++= （ ）
A ，一定有两个不相等的实数根
B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6 已知数列{}n a 是等差数列，12a =，
且存在数列{}n b ，使得12111
444(1)n n a a a a n b ---=+，
则数列{}n b 的前n 项和n S = 。

7 如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则
()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠）
8 如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150，则这个等差数列的公差为 。

9 在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。

10 求和：（1）21123n n S x x nx -=+++
+
（2）23123n n S x x x nx =++++
+。