资料：经管外招微积分2期末自测题

微积分2外招期终自测题
一、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。

共8小题，每小题2分，共16分）
1. 2sin x dx =⎰（ c ）
(a) 2cos x c + (b) 2sin x c + (c) 2cos x c -+ (d) 2sin x c -+
２下列广义积分收敛的是（ C ） (A) 1cos xdx ∞⎰ (B) 1
1dx x
∞⎰
(C)
2
1
1
dx x ∞
⎰
(D)
1
x e dx ∞⎰
3.
(5)
(4)
Γ=Γ（ b ） (a) 3 (b) 4 (c) 2 (d) 1
4. 设 2x y z e -=，则 z
x ∂=∂（ d ） (a) 22x y
xe (b) 22x y
x e
(c) 2x y
e
(d) 23
2x y
x ye
---
5.
21
3dy dx =⎰
⎰（ c ）
(a) 3 (b) 5 (c) 6 (d) 4
6. 微分方程 2dy
x dx = 的通解是（ d ），其中c 为任意常数。

(a) 2y x = (b) 2y x = (c) y x c =+ (d) 2y x c =+ 7. 二元函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值点是（ a ）
(a) （2，-2） (b) （-2，2） (c) （-2，3） (d) （3，-2） 8. 差分2()x ∆=（ b ）
(a) 2x (b) 21x + (c) 21x - (d) 21x +
二、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。

共8小题，每小题2分，共18分）
1. 函数sin x 的全体原函数是 cos x c -+
2. 5x dx =⎰15ln 5x
c +
3.
21
2x dx -=⎰
5
４.经过点（1，2），且其切线的斜率为2x 的曲线方程是2
1y x =+. 5. 若()f x =2
20
x t e dt -⎰
，则 ()f x '=
2
42x
e -
6. 函数 z =的定义域为}
{2
2(,)9
x y x
y +≤
7. 已知函数 z 33x y = ，则 d z =
23323d 3d x y x x y y
+
8. 差分方程 211222x x x x y y y y ++--+=+是 三 阶的差分方程。

9. 微分方程 34()20x y yy x '''-+=是 二 阶微分方程。

三、计算题（共4小题，每小题7分，共28分）
１
. 求不定积分14
2211(sin 1)21x x x dx x x -+
-+++++⎰
解：
14
2211
(sin 1)21x x x dx x x -+-+++++⎰
3234
24113cos arctan 34x x x x x c x
=+++-++………………７分 2. 求不定积分
ln x x dx ⎰
解：ln x x dx ⎰=2
ln 2x x d ⎰
…………………………………………2分
=21
ln 22
x x xdx -⎰ …………………………………………５分
=
2
2
1
ln
24
x
x x c
-+
…………………………………………７分
３. 3
⎰(7分)
解令1+
=x
t，则1
2-
=t
x，tdt
dx2
=………………………………2分
当0
x=时，1
t=；当3
x=时，2
t=
原式=
2
2
1
1
2
1
t
tdt
t
-
+
⎰
=22
1
2()
t t dt
-
⎰…………………………………………５分
=
2
32
1
11
2()
32
t t
-
=5
3
(7)
4. 用定积分计算由曲线2
1
y x
=-及x轴所围成的平面图形的面积。

解：
由
2
1
y x
y
⎧=-
⎨
=
⎩
，
得交点（－１，０）和（1，０）。

12
2(1)
S x dx
=-
⎰…………………………………………4分
31
1
2()
3
x x
=-
4
3
=…………………………………………７分
四、计算题（共2小题，每小题6分，共12分）
1.设ln()
z x xy
=，求z
x
∂
∂
和
2z
x y
∂
∂∂。

解：
z
x
∂
∂
1
ln()
xy x y
xy
=+
ln ln 1x y =++ …………………………………………3分
2z x y ∂∂∂(ln ln 1)x y y
∂
=++∂ 1
y
=
…………………………………………６分 ２．求方程xyz a z 333+=确定的隐函数的偏导数
x z ∂∂，y
z ∂∂。

解：令33(,,)3F x y z z xyz a =--，则有
3x F yz '=-，3y F xz '=-，233z F z xy '=- …………………………2分 22
3.33x z F z yz yz
x F z xy z xy
'∂-=-=-='∂-- .………………………………４分 223.33y z F z xz xz y F z xy z xy
'∂-=-=-='∂-- .………………………………６分
五、计算题（共1小题，每小题7分，共7分）
求方程
1
2dy y x dx x
-= 的通解及在初始条件10x y ==下的特解。

解：1
()p x x
=-，()2q x x =，
则方程的通解为：})({)()(c dx e x q e y dx
x p dx x p +⎰⎰
=⎰- 11
{2}dx dx x
x e xe dx c -⎰⎰=+⎰ ………………………3分
(2)x dx c =+⎰
(2)x x c =+ ……………………………2分
由初始条件(1)0y =，则2c =-，
特解为：(22)y x x =- ……………………………2分
六、计算题（共1小题，每小题5分，共5分）
计算二重积分2D
xy d σ⎰⎰，其中D 是由直线0x =，0y =与1y x =-围成的图形.
解：
2D
xy d σ⎰⎰1
10
2x
dx xydy -=⎰
⎰
……………………………………2分 1
2
10
0x xy dx -=⎰
1230
(2)x x x dx =-+⎰ ……………………………………2分
1
12
=
……………………………………1分
七、应用题（共2小题，第1小题10分，第2小题4分，共14分）
1.某公司的两家工厂生产同样的产品，但成本不同。

第一家工厂生产x 单位产品和第二家工厂生产y 单位产品时的总成本是2
2(,)315C x y x
y x y =++++。

若公司生产的任务是1000单位，问如何在这两家工厂之间分配任务才能使公司的总成本最低?（本题要求用拉格朗日乘数法求解）。

解：设第一家工厂生产x 单位产品和第二家工厂生产y 单位产品，则
总成本22(,)315C x y x y x y =++++，且1000x y += 令
22(,,)315(1000)F x y x y x y x y λλ=++++++-，
由210
61010000
x y x y λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩
，得750250x y =⎧⎨=⎩ …………………………………8分
根据实际问题可知(,)C x y 一定存在最小值，故（750，250）是使(,)C x y 取得最小值的点。

答：第一家工厂生产750单位产品，而第二家工厂生产250单位产品时公司的总成本最低。

……………………………………10分
4.设某产品在时刻t 总产量的变化率是()25f t t =+ (0)t ≥，求从2t =到
4t =这两小时的总产量．
解：设总产量为()P t .则()()P t f t '=…………1分
于是从2t =到4t =这两小时的总产量为．
4
4
4
2
2
2
()()(25)P t dt f t dt t dt '==+⎰
⎰⎰
4
42
2
2
(4)(2)(25)(5)P P t dt t t -=+=+⎰
22(454)(252)22=+⨯-+⨯=…………２分
答从2t =到4t =这两小时的总产量为２２．…………４分。