班玛县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班玛县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y=x 轴对称
D ．关于直线y=﹣x 轴对称
2． 在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =
A 、22
B 、23
C 、24
D 、25
3． 下列命题中正确的是（ ） （A ）若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
（ B ） “0a >，0b >”是“
2b a
a b
+≥”的充分必要条件 （C ） 命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”
（D ） 命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥
4． 已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ）
A ．1-
B ．
C ．1-或
D ．1-或2-
5． 以椭圆
+
=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为
（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=
，则
﹣S
（ ） A ．2 B ．4
C ．1
D ．﹣1
6． 若1sin(
)34π
α-=
，则cos(2)3π
α+=
A 、78-
B 、14
- C 、14 D 、78
7． 设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1]
B ．[﹣1，+∞）
C ．（﹣1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）
8． =（ ）
A ．2
B ．4
C ．π
D ．2π
9． 已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(122
22>>=+b a
y x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆
224x y +=截得的弦长为L ，若L ≥e 的取值范围是（ ） （A ） ⎥⎦⎤
⎝⎛
550， （ B ） 0⎛ ⎝⎦
（C ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤ ⎝
⎛5540， 10．已知角α的终边经过点(sin15
,cos15)-，则2
cos α的值为（ ）
A ．
12+
B ．12 C. 34
D ．0 11．设函数的集合，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P 中函数
的图象恰好经过Q 中
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
12．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ） A ．{5} B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
二、填空题
13．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ． 14．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .
15．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”
的
▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 16．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A
1B 1
的中点，则AM 与平面AA 1
C 1C
所成
角的正切值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
17．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ． 18．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为
．
三、解答题
19．如图，已知AC，BD为圆O的任意两条直径，直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．
（Ⅰ）证明AD⊥BE；
（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．
20．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．
21．解不等式a2x+7＜a3x﹣2（a＞0，a≠1）．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．
23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．
24．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．
班玛县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2
，圆心为（﹣a ，0），
∴方程x 2+2ax+y 2
=0（a ≠0）表示的圆关于x 轴对称，
故选：A ．
【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．
2． 【答案】A
【解析】1237k a a a a a =++++176
72
a d ⨯=+
121(221)d a d ==+-， ∴22k =．
3． 【答案】D
【解析】对选项A ，因为p q ∨为真命题，所以,p q 中至少有一个真命题，若一真一假，则p q ∧为假命题，
故选项A 错误；对于选项B ，2b
a
a
b
+≥的充分必要条件是,a b 同号，故选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故选项C 错误；故选D ．
4． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{
}
{}1,2,025
,0522
--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 5． 【答案】 A
【解析】解：∵椭圆方程为
+
=1，
∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），
∴双曲线方程为
，
设点P （x ，y ），记F 1（﹣3，0），F 2（3，0），
∵
=
，
∴
=
，
整理得：
=5，
化简得：5x=12y ﹣15，
又∵，
∴5
﹣4y 2
=20，
解得：y=或y=（舍），
∴P （3，），
∴直线PF 1方程为：5x ﹣12y+15=0，
∴点M 到直线PF 1的距离d=
=1，
易知点M 到x 轴、直线PF 2的距离都为1，
结合平面几何知识可知点M （2，1）就是△F 1PF 2的内心．
故
﹣
=
=
=2，
故选：A ．
【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
6． 【答案】A
【解析】 选A ，解析：2
227
cos[(2)]cos(2)[12sin ()]33
38
π
ππαπαα--=--=---=-
7． 【答案】B
【解析】解：∵M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，
若M ∩N ≠￠， 则k ≥﹣1． ∴k 的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：B ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．
8． 【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx ﹣sinx ）′=sinx ﹣cosx ，
∴==2．
故选A ．
9． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥
解得216
5
d ≤。

又因为
d =2116,15k ≤+解得2
14k ≥。

于是222
222211c c e a b c k ===++，所以
2
40,5e <≤解得0e <≤故选B ． 10．【答案】B
【解析】
考
点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 11．【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个12．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．
故选B．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
14．【答案】12
【解析】
考点：分层抽样
15．【答案】必要而不充分
【解析】
试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 16．【答案】
【解析】解：法1：取A 1C 1的中点D ，连接DM ，
则DM ∥C 1B 1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°， ∴DM ⊥平面AA 1C 1C ，
则∠MAD 是AM 与平面AA 1C 1C 所的成角，
则DM=，AD=
=
=，
则tan ∠MAD=．
法2：以C 1点坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 分别为X ，Y ，Z 轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA
1=，M 为A 1B 1的中点，
∴
=（﹣，，﹣
），
=（0，﹣1，0）为平面AA 1C 1C 的一个法向量
设AM 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，
则sin θ=||=
则tan θ= 故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
17．【答案】 1 ．
【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1， f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1． 故答案为：1．
18．【答案】若1x <，则2421x x -+<- 【解析】
试题分析：若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定． 考点：否命题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD 为圆O 的直径，∴AB ⊥AD ， ∵直线AE 是圆O 所在平面的垂线， ∴AD ⊥AE ， ∵AB ∩AE=A ， ∴AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥BE ；
（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=V B﹣AEFC+V D﹣AEFC=2V B﹣AEFC．
∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=，∴AEFC为矩形，
∵AC=2，
∴S AEFC=2，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}
则P∩Q={1}
（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}={x|a≤x≤a+1}
∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q
∴，即实数a的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．21．【答案】
【解析】解：当a＞1时，a2x+7＜a3x﹣2等价于2x+7＜3x﹣2，∴x＞9；
当0＜a＜1时，a2x+7＜a3x﹣2等价于2x+7＞3x﹣2．∴x＜9．
综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞9}；
当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|x ＜9}．
【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵P 为等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=，PC=
，
∵∠ACB=
，∴∠ACP=
，
在△PAC 中，由余弦定理得：PA 2=AC 2+PC 2
﹣2AC •PC •cos
=5，
整理得：PA=；
（2）在△PBC 中，∠BPC=，∠PCB=θ，
∴∠PBC=
﹣θ，
由正弦定理得： ==，
∴PB=
sin θ，PC=
sin （
﹣θ），
∴△PBC 的面积S （θ）=PB •PCsin =sin （
﹣θ）sin θ=sin （2θ+）﹣，θ∈（0，），
则当θ=
时，△PBC 面积的最大值为
．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），
椭圆的离心率为
，即有=
，即a=
c ，b=
=c ，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x 2+y 2=b 2
，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b ，
即有a=
，
则椭圆C 的方程为
+y 2=1；
（Ⅱ）证明：设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），F 1（﹣1，0）， 由∠RF 1F 2=∠PF 1Q ，可得直线QF 1和RF 1关于x 轴对称，
即有+=0，即+=0，
即有x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1=0，①
设直线PQ ：y=kx+t ，代入椭圆方程，可得
（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2
﹣2=0，
判别式△=16k 2t 2﹣4（1+2k 2）（2t 2
﹣2）＞0， 即为t 2﹣2k 2
＜1②
x 1+x 2=，x 1x 2=，③
y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，
代入①可得，（k+t ）（x 1+x 2）+2t+2kx 1x 2=0， 将③代入，化简可得t=2k ，
则直线l 的方程为y=kx+2k ，即y=k （x+2）． 即有直线l 恒过定点（﹣2，0）． 将t=2k 代入②，可得2k 2
＜1，
解得﹣＜k ＜0或0＜k ＜．
则直线l 的斜率k 的取值范围是（﹣
，0）∪（0，
）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．
24．【答案】 【解析】解：（1）如图
（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，
设长方体体积为V 1，小三棱锥的体积为V 2，则根据图中所给条件得：V 1=6×4×4=96cm 3
，
V 2=••2•2•2=cm 3，
∴V=v 1﹣v 2=
cm 3
（3）证明：如图，
在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′
因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；
2016年4月26日。