高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标

2.2.1 双曲线及其标准方程
课堂导学
三点剖析
一、双曲线的定义
【例1】 已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.
解析：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.
由题意得2a =24,2c =26,∴a =12,c =13,b 2=132-122=25.由于双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为25
1442
2y x -=1. 若以线段F 1、F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为25
1442
2x y -=1. 温馨提示
求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，求双曲线的标准方
程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正、负.
二、求双曲线的标准方程
【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)经过点A (1，3
104)，且a =4; (2)经过点A (2，
332)、B (3，-22). 解析：(1)若所求双曲线方程为12222=-b
y a x (a ＞0,b ＞0),则将a =4代入，得22
216b y x -=1,又点A (1,
3104)在双曲线上，∴29160161b -=1, 解得b 2＜0,不合题意，舍去.
若所求双曲线方程为22
22b
x a y -=1(a ＞0,b ＞0),同上，解得b 2=9,∴双曲线的方程为9
162
2x y -=1. (2)设双曲线方程为mx 2+ny 2
=1(mn ＜0),
∵点A (2,3
32)、B (3，-22)在双曲线上， ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.41,31.189,1344n m n m n m 解之，得 ∴所求双曲线的方程为4
32
2y x -=1. 温馨提示
求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定，解决方法有两种：
一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn
＜0),解出的结果如果是m ＞0,n ＜0,那么焦点在x 轴上，如果m ＜0,n ＞0,那么焦点在y 轴，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义，直接求出a .应加强练习，注意体会.
三、确定方程表示的曲线类型
【例3】 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲
线类型.
解析：(1)当k =0时，y =±2,表示两条与x 轴平行的直线.
(2)当k =1时，方程为x 2+y 2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.
(3)当k ＜0时，方程为k
x y 442
2--=1，表示焦点在y 轴上的双曲线. (4)当0＜k ＜1时，方程为4
42
2y k
x +=1，表示焦点在x 轴上的椭圆. (5)当k ＞1时，方程为4
42
2y k
x +=1，表示焦点在y 轴上的椭圆. 温馨提示
本题是判定方程所表示的曲线类型.对参数k 讨论时首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x 轴和y 轴的情况.
各个击破
类题演练1
已知点F 1(-2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2，当点P 的纵坐标是2
1时，点P 到坐标原点的距离是( )
A.26
B.23
C.3
D.2
解析：由题意知，P 点的轨迹是双曲线的左支，c =2,a =1,b =1,∴双曲线的方程为x 2-y 2=1.把y =21代入双曲线方程，得x 2=1+41=45,∴|OP |2=x 2+y 2=,4
64145=+∴|OP |=.26 答案：A
变式提升1
在△MNG 中，已知NG =4.当动点M 满足条件s in G -s in N =2
1s in M 时，求动点M 的轨迹方程. 解析：如右图所示，以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.
∵sin G -sin N =2
1sin M ∴由正弦定理，得
|MN |-|MG |=2
1×4 ∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点) ∴2c =4,2a =2,c =2,a =1,
∴b 2=c 2-a 2=3.
∴动点M 的轨迹方程为x 2
-32
y =1(x ＞0，且y ≠0)
类题演练2
双曲线22
22b
y a x -=1(a ＞0,b ＞0)与直线x =6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20，求该双曲线的方程.
解：将x =6代入双曲线方程，得22
226b
y a -=1. 则y =±226a a
b -, 设一个交点P 的坐标为(6，226a a
b -),
则由题意，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==-++-=
,,30)6()6(,20302222222222b a c a a b c a 解之得a =5,b 2=.36
58925⨯ 故所求的双曲线方程为.1365892525
2
2=⨯-y x
变式提升2
在面积为1的△PMN 中，tan∠PMN =2
1,tan∠MNP =2,建立适当坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程.
解：以MN 所在直线为x 轴，M N 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设P (x 0,y 0)、M (-c ,0)、N(c ,0)(y 0＞0,c ＞0),如图.
则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯=-=+,122
1,2,
2100
00
0y c c x y c x y 解得⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧==--==.23,143,332,6352
2
2200c a y a x y x 设双曲线方程为 将点P (332,635)代入，可得a 2=12
5.
∴所求双曲线方程为13
1
1252
2=-y x =1(y ＞0).
类题演练3
已知F 1(-8，3)，F 2(2，3)，动点P 适合|PF 1|-|PF 2|=2a ，当a 为3和5时，P 点的轨迹为( )
A.双曲线和一直线
B.双曲线和一射线
C.双曲线一支和一直线
D.双曲线一支和一射线
解析：当a =3时，2a =6＜|F 1F 2|=10，点P 的轨迹是双曲线的右支.当a =5时，2a =10=|F 1F 2|,点P 的轨迹是以F 2为端点的一条射线.故选D.
答案：D
变式提升3 如果112||2
2-=-+-k
y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是( )
A.(1，+∞)
B.(0，2)
C.(2，+∞)
D.(1，2) 解析：由题意得,0
2||01⎩⎨
⎧>-<-k k 解得k ＞2,则c =.132)2|(|)1(>-=-+-k k k 答案：A。