湖北省高三数学上学期期中联考试题 理 新人教A版

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高三数学理科试卷
考试时间:2012年11月19日上午8:00-10:00 试卷满分:150分
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卡相应的位置).
1.设数列{x n }满足ln x n +1=1+ln x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10.则x 21+x 22+x 23+…+x 30
的值为 ( )
A .11·e 20
B .11·e 21
C .10·e 21
D .10·e 20
2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OB →=a 1 OA →+a 2009OC →
,且A 、B 、C 三点共线(O 为该直线外一点),则S 2009等于 ( )
A .2009 B.20092
C .22009
D .2
-2009
3.在锐角△ABC 中,若1tan ,1tan -=+=t B t A ,则t 的取值范围是( ) A .(-1,1)
B .(1,+∞)
C .()2,2-
D .+∞,2()
4设00sin14cos14a =+,00
sin16cos16b =+,3
c =
,则,,a b c 大小关系( ) A. a b c << B. b a c << C. c<a<b D. a c b <<
5.已知函数f (x )=2sin(wx +φ)(w >0,0<φ<π),且函数的图象如图所示,则点(w ,φ)的坐标是 ( )
A .(2,π
3)
B .(4,π
3)
C .(2,2π
3
)
D .(4,2π
3
)
6.设0<x <1,a ,b 都为大于零的常数,则a 2x +b 2
1-x
的最小值为
( )
A .(a -b )2
B .(a +b )2
C .a 2b 2
D .a 2
7.已知数列{a n }为等差数列,若
11
10
1a a <-,且它们的前n 项和为S n 有最大值,则使得
S n <0的n 的最小值为( )
A .11
B .19
C .20
D .21
8.设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a b S ∈,,对于有序元素对(a b ,),在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应).已知对任意的
a b S ∈,,有()**a b a b =;则对任意的a b S ∈,,给出下面四个等式:
(1)()**a b a a =
(2)
[()]()****a b a a b a
= (3)
()**b b b b =
(4)()[()]****a b b a b b = 上面等式中恒成立的有( ) A .(1)、(3) B .(3)、(4)
C .(2)、(3)、(4)
D .(1)、(2)、(3)、(4)
9.设奇函数f(x )在[—1,1]上是增函数,且f (—1)= 一1,若函数,f (x )≤t 2
一2 a t+l
对所有的x ∈[一1,1]都成立,则当a ∈[-1,1]时,t 的取值范围是 ( )
A .一2≤t ≤2
B 21-≤t ≤21 C.t ≤一2或t = 0或t ≥2 D .t ≤2
1-或t=0或t ≥21
10.已知矩形ABCD 中,AB =2,AD =4,动点P 在以点C 为圆心,1为半径的圆上,若
(,)AP AB AD R λμλμ=+∈,则2λμ+的取值范围是( )
A .[3
B .[322-
+
C .[31010
-+
D .[3,31010
-+
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.已知△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a =1,∠B =45°,△ABC 的面积S =2,那么△ABC 的外接圆的直径等于__________.
12.若函数52)(2
3
+-+=x ax x x f 在区间(2
1
,
31)上既不是单调递增函数也不是单调递减函数,则实数a 的取值范围是_____ ______.
13 已知)(x f 是偶函数,当+
∈R x 时, ,0)1(,)
()(=>
'f x
x f x f 且 则关于x 的不等式
0)
(>x
x f 的解集是___________ 14、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 为△ABC 的外心,动点P 满
3
]
)21()1(1[(OC OB OA λλλ++-+-=
)(λ∈R ), 则P 的轨迹一定过△ABC 的
__________
15.设N=2n
(n ∈N *
,n ≥2),将N 个数x 1,x 2,…,x N 依次放入编号为1,2,…,N 的N 个位置,得到排列P 0=x 1x 2…x N 。

将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入
对应的前
2N 个数和后2
N 个位置,得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N , 将此操作称为C 变换,将P 1分成两段,每段2
N
个数,并对每段作C 变换,得到P 2当2≤i
≤n-2时,将P i 分成2i
段,每段2
i N 个数,并对每段C 变换,得到P i+1,例如,当N=8时,
P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8,此时x 7位于P 2中的第4个位置。

(1)当N=16时,x 7位于P 2中的第___个位置;
(2)当N=2n
(n ≥8)时,x 173位于P 4中的第___个位置。

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A (3,0)、B (0,3),C (cos α,sin α),
其中π2<α<3π2.
(1)若|AC →|=|BC →
|,求角α的值;
(2)若AC →·BC →
=-1,求2sin 2
α+sin2α1+tan α
的值.
17(本小题满分12分)用向量的方法证明三角形的三条高线交于一点。

18.(本小题满分12分)已知命题“:p 85],2,1[2+≤-∈∀a m a ”;命题“q :函数
1)6()(23++++=x m mx x x f 在R 上有极值”. 求使“p 且q ⌝”为真命题的实数m 的
取值范围。

19.(本小题满分12分)设函数322()21(2)f x x mx m x m m =---+->-的图象在x =2
处的切线与直线x -5y -12=0垂直. (Ⅰ)求函数()f x 的极值与零点; (Ⅱ)设1()ln x
g x x kx
-=
+,若对任意1[0,1]x ∈,存在2(0,1]x ∈,使12()()f x g x >成立,求实数k 的取值范围;
20.(本小题满分13分) 在△ ABC 中,c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边,5
82
2
2
bc
b c a -
=-,a =3,△ ABC 的面积为6,D 为△ ABC 内任一点,点D 到三边距离之和为d 。

(1)求角A 的正弦值; (2)求边b 、c ; (3)求d 的取值范围。

21.(本题满分14分)顶点在坐标原点,开口向上的抛物线经过点0(1,1)A ,过点0A 作抛物
线的切线交x 轴于点B 1,过点B 1作x 轴的垂线交抛物线于点A 1,过点A 1作抛物线的切线交x 轴于点B 2,…,过点(,)n n n A x y 作抛物线的切线交x 轴于点11(,0)n n B x ++. (1)求数列{ x n },{ y n }的通项公式()n N *∈;
(2)设11111n n n a x x +=
+
+-,数列{ a n }的前n 项和为T n .求证:1
22
n T n >-; (3)设21log n n b y =-,若对于任意正整数n ,不等式1211(1)(1)b b ++ (1)
(1)n
b +

成立,求正数a 的取值范围.
2012年秋季湖北省部分重点中学期中联考
高三数学试卷答案
第21题图
2;三点共线,系数和为1. 4:平方法。

7:101110110,0,0,0d a a a a <><+< 10:圆的参数方程的应用 二、填空题: 11, 5 2。

12 , 55
42
a <<(补集法)。

13,).,1()0,1(+∞⋃-。

14,重心。

15
三、解答题
16,解析:(1)AC →=(cos α-3,sin α),BC →
=(cos α,sin α-3),
∵|AC →|=|BC →|,∴|AC →|2=|BC →|2

即(cos α-3)2+sin 2α=cos 2α+(sin α-3)2
, 化简得sin α=cos α. ∵π2<α<3π2,∴α=5π
4
. -------------6分 (2)-1=AC →·BC →
=cos α(cos α-3)+sin α(sin α-3)=1-3(sin α+cos α),
∴sin α+cos α=2
3
.
于是2sin α·cos α=(sin α+cos α)2
-1=-59

故2sin 2
α+sin2α1+tan α=2sin α(sin α+cos α)cos α+sin αcos α
=2sin α·cos α=-59
.
--------------12分 17解析:如图所示,在ABC ∆中作 AD BC ⊥于D ,BE AC ⊥于E ,AD 与BE 交于F ,连接CF , 只需证CF AB ⊥,即0CF AB ⋅=------------4分
证明:
0AD BC AF BC ⊥∴⋅= 同理0BF AC ⋅=
展开 AC BC CF BC CF AC ⋅=-⋅=-⋅ -------8分 ()0CF BC CA ⋅+=即0CF BA ⋅=
∴三角形的三条高线交于一点。

------------12分
A
答案 D B
D
C D B C C C B
D 18.解:85],2,1[2
+≤-∈∀a m a ,只需|5|-m 小于82+a 的最小值,而当]
2,1[∈a 时,82+a ≥382,3|5|≤≤≤-∴
m m 即 ----------------6分
1)6()(23++++=x m mx x x f 存在极值0623)(2=+++='∴m mx x x f 有两个不等的
实根, 2
412(6)0,m m ∴-+>2
3180m m -->即6m >∴或3-<m ,要使“P 且⌝Q ”
为真,只需62≤≤m ---------------12分
19.解:(Ⅰ)因为22()34f x x mx m '=---,所以2(2)1285f m m '=---=-, 解得:1m =-或7m =-,又2m >-,所以1m =-, ………2分
由2
()3410f x x x '=-+-=,解得11x =,21
3
x =
,列表如下:
所以()()327
f x f ==
极小值,()(1)2f x f ==极大值, ………4分 因为3
2
2
()22(2)(1)f x x x x x x =-+-+=--+,
所以函数()f x 的零点是2x =. ………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当[0,1]x ∈时,min 50()27
f x =
, “对任意1[0,1]x ∈,存在2(0,1]x ∈,使12()()f x g x >”等价于“()f x 在[0,1]上的最小
值大于()g x 在(0,1]上的最小值,即当(0,1]x ∈时,min 50
()27
g x <
”, ………6分 因为22
1
11()x k g x kx x x
-
'=-
+=, ① 当0k <时,因为(0,1]x ∈,所以150
()ln 027
x g x x kx -=+≤<
,符合题意; ② 当01k <≤时,1
1k
≥,所以(0,1]x ∈时,()0g x '≤,()g x 单调递减, 所以min
50
()(1)027
g x g ==<,符合题意; ③ 当1k >时,101k <
<,所以1(0,)x k ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减,1(,1)x k

时,()0g x '>,()g x 单调递增,所以(0,1]x ∈时,min 111()()1ln g x g k k k
==-+, 令23
()ln 27
x x x ϕ=--
(01x <<),则1()10x x ϕ'=->,所以()x ϕ在(0,1)上单调递
增,所以(0,1)x ∈时,50()(1)027x ϕϕ<=-<,即23
ln 27
x x -<
, 所以min 1112350
()()1ln 12727
g x g k k k ==-+<+=
,符合题意, 综上所述,若对任意1[0,1]x ∈,存在2(0,1]x ∈,使12()()f x g x >成立,
则实数k 的取值范围是(,0)(0,)-∞⋃+∞. ………12分 20,解:(1) 5
82
2
2
bc
b c a -=-⇒
5
4
2222=
-+bc a c b ⇒54
cos =
A ⇒5
3sin =A --------------3分
(2) 65
3
21sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ,=∴bc 20 A
由542222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4,c=5或b=5,c= 4 ---------------------8

(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ,则6)543(2
1
=++=∆z y x S ABC
)2(5
1
512y x z y x d ++=++=
又x 、y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+,,,
001243y x y x
画出不等式表示的平面区域得:45
12
<<d ------------13分
21.(1)由已知得抛物线方程为2,2y x y x '==. ………………………………………2分
则设过点(,)n n n A x y 的切线为2
2()n
n n y x x x x -=-. 令0,2n x y x ==
,故12
n n x
x +=. 又01x =,所以12n n x =
,1
4n n
y =. ……………………………………………4分 (II )由(1)知1
()2
n n x =.
所以1
1111221121211()1()
22
n n n n n n n a +++=+=+
+-+- 21121n n +-=++1121121n n ++-+-1121n =-++1+1
1
21
n +- 12(
21n =--
+11
21
n +-) .……………………………………………6分
由11212n n <+,11
11
212n n ++>-, 得
121n -+1121n +-12n <-
1
1
2n +. 所以n a 12(
21n =--+1121n +-)12(2n >--
1
1
2n +).…………………………7分 从而122231
1111
11
[2()][2()][2(
)]2222
22n n n n T a a a +=++
+>--+--+
+-- 223
1
111111
2[()()](
)]2
22222n n n +=--+-++- 1
111
2()2222
n n n +=
-->-, 即n T >1
22
n -.…………………………………………………………………9分 (III )由于1
4
n n y =
,故21n b n
=+. 对任意正整数n ,不等式1
2
111
(1)(1)(1)n
b b b +++
≥ 即a 12
111
(1)(1)(1)n
b b b +
++
恒成立.
设()f n =
12
11
1
(1)(1)(1)n
b b b +++
,………………………………10分 则(1)
f n +=
12
1
1111
(1)(1)(1)(1)n n b b b b ++
++
+.

(1)
()
f n f n +=11
(1)n b ++2423
n n ++=523
n +
1>
所以(1)()f n f n +>,故()f
n 递增.…………………………………………12分 则min 4()(1)3f n f ==
故0a <.…………………………………………………………………14分。

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