高中数学 第二章 参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程 2.2.1 直线的参数方程练习

2.2.1 直线的参数方程
课后篇巩固探究
A 组
1.曲线{x =-2+5t ,
y =1-2t
（t 为参数）与坐标轴的交点是( )
A 。

(0,25),(1
2
,0) B.(0,15),(1
2
,0) C.(0，-4),（8,0) D.(0,59
),(8，0)
2.过点(1,1）,倾斜角为135°的直线截圆x 2
+y 2
=4所得的弦长为( ） A 。

2√2
5
B 。

4√2
5
C 。

2√2
D.3√2
5
{x =1-√2
2t ,y =1+√2
2
t
（t 为参数）,代入圆的方程得t 2+2=4,解得t 1=—√2，t 2=√2,
故所求弦长为｜t 1-t 2｜=｜—√2−√2｜=2√2.
3。

直线2x-y+1=0的参数方程为( ） A 。

{
x =1+
√5
5t ,
y =3+2√5
5
t
（t 为参数） B 。

{
x =1+
√5
3t ,
y =3+√5
3
t
(t 为参数)
C 。

{x =2+t ,
y =3+2t (t 为参数）
D 。

{
x =1+√5t ,
y =3+√5t
(t 为参数）
2，设直线的倾斜角为α,则tan α=2,sin α=2√
55，cos
α=√5
5，所以直线的参数方程是{
x =1+
√5
5t ,
y =3+2√5
5
t
（t 为参数）.
4。

已知P 1，P 2是直线{
x =1+12
t ,y =-2+
√3
2
t
（t 为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则线段
P 1P 2的中点到点P （1，-2）的距离是（ )
A 。

|t 1|+|t 2|
2
B.|t 1+t 2|
2 C.|t 1-t 2|2
D 。

||t 1|-|t 2||2
t 的几何意义可知，P 1P 2的中点对应的参数为t 1+t
22,点P 对应的参数为t=0，故P 1P 2的中点
到点P 的距离为|t 1+t 2|
2.
答案：B
5.直线{x=3+at,
y=-1+4t
（t为参数)过定点.
解析:由{x=3+at,
y=-1+4t
（t为参数）得-（y+1)a+(4x-12）=0。

若-（y+1）a+(4x-12)=0对于任意a都成立，则x=3，y=-1.
答案:(3，—1）
6.直线l：{x=-1+√3t,
y=1+t
（t为参数)上的点P（—4，1—√3)到直线l与x轴交点间的距离
是。

解析：在直线l:{x=-1+√3t,
y=1+t
（t为参数)中,令y=0,得t=-1。

故直线l与x轴的交点为Q(-1—√3,0)。

故|PQ｜=√(-1-√3+4)2+(1-√3)2
=√4(√3-1)2=2√3—2.
答案:2√3-2
7.直线过点A（1,3),且与向量（2，—4）共线。

(1)写出该直线的参数方程;
（2）求点P（—2,—1）到此直线的距离.
解(1)由题意知直线的点斜式方程为y—3=—42（x-1)。

设y-3=—42(x-1)=t,则{x=1-t 2,
y=3+t
(t为参数）。

所以该直线的参数方程为{x=1-t 2,
y=3+t
（t为参数）。

（2)(方法一）如图所示，在直线上任取一点M(x，y），则｜PM|2=(x+2）2+(y+1）2
=(1-t
2+2)
2
+（3+t+1）2
=5
4
t2+5t+25
=5
4
（t+2)2+20.
当t=-2时，｜PM｜2取最小值，此时|PM｜等于点P与直线的距离，则|PM|=√20=2√5.
(方法二)由点P 向直线作垂线,垂足记为P 0,如上图所示，它对应参数t=-2，代入直线的参数方程，可得点P 0的坐标为P 0(2,1)，显然有｜PP 0｜=√(2+2)2+(1+1)2=2√5。

8。

已知两点A (2,1),B (-1,2)和直线l ：x+2y-5=0.求过点A ，B 的直线的参数方程,并求它与直线l 的交点的坐标。

解设直线AB 上动点P （x ,y ),选取参数λ=AP
PB ,
则直线AB 的参数方程为{
x =2-λ
1+λ,
y =
1+2λ1+λ(λ为参数). ①
把①代入x+2y —5=0得λ=-1
2.
把λ=-12代入①得{x =5,
y =0,即交点坐标为(5，0）. 9。

导学号73144026已知直线{x =2+t ,
y =4-t （t 为参数)与抛物线y 2
=4x 交于两个不同的
点P ，Q ，且A （2，4）. (1）求AP+AQ 的值； （2）求PQ 的长.
解已知直线的斜率为-1,故直线的倾斜角为135°,
故{x =2-√2
2t ',y =4+√2
2
t '
（t'为参数）,代入y 2=4x ，
得t’2
+12√2t’+16=0，故有t’1+t’2=-12√2,t’1t’2=16. (1)AP+AQ=｜t'1｜+｜t’2|=｜t’1+t’2|=12√2. （2）PQ=|t’1—t'2|=√
(t ' 1+t ' 2)2-4t ' 1t ' 2
=4√14.
B 组
1。

已知直线{x =1+t ,
y =-2+t （t 为参数)与椭圆x 2+2y 2
=8交于A ,B 两点，则|AB ｜等于（ ) A.2√2
B.4√
33
C 。

2
D.√
63
解析：把直线的参数方程代入x 2
+2y 2
=8，得3t 2
-6t+1=0，解得t 1=1+√
63，t 2=1—√
6
3,
得A (2+√63,-1+√63),B (2-√63,-1-√6
3). 故|AB|=4√
33.
答案:B 2。

直线{
x =-2-√2t ,
y =3+√2t
（t 为参数）上与点P （—2,3）之间的距离等于√2的点的坐标是(
）
A 。

(—4,5）
B.（—3,4)
C.(—3,4）或（—1，2)
D 。

(-4,5)或(0,1）
解析:设点Q 与点P 之间的距离等于√2，Q (x 0，y 0），
则{
x 0=-2-√2t ,y 0=3+√2t
(t 为参数）。

由｜PQ ｜=√2 ,得(—2-√2t+2）2+（3+√2t-3）2=2,即t 2
=12，得t=±√
2
2。

当t=√
22时,Q (-3，4）；当t=—√
2
2时，Q (—1,2）.
答案：C
3.设直线的参数方程为{
x =-4+√2
2
t ,
y =
√2
2
t
(t 为参数），点P 在直线上,且与点M 0（—4,0）之间的距离为
√2，若该直线的参数方程改写成{x =-4+t ',
y =t '
(t’为参数)，则点P 对应的t'值为 .
解析：由|PM 0｜=√2知t=±√2,代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(—3,1)或（-5，-1）,再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t’=1或t’=-1。

答案:±1 4。

导学号73144027一条直线的参数方程是{
x =1+1
2
t ,y =-5+
√3
2
t
(t 为参数）,另一条直线的
方程是x-y —2√3=0,则这两条直线的交点与点（1，—5）之间的距离是 . 解析：把参数方程代入x —y —2√3=0，
得1+12t+5—√
3
2
t-2√3=0，解得t=4√3。

故两条直线的交点为（1+2√3,1), 则交点与点（1,—5)之间的距离为
d=√(1+2√3-1)2+(1+5)2=√12+36=4√3.
答案:4√3
5。

已知直线l ：{
x =-√3+√3
2t ,
y =2+1
2
t
（t 为参数）. （1）分别求t=0,2，-2时对应的点M (x ,y ）； （2)求直线l 的倾斜角.
解(1）由直线l :{
x =-√3+√3
2t ,
y =2+1
2
t
（t 为参数）知，
当t=0,2,—2时，
分别对应直线l 上的点(—√3，2）,（0,3）,(-2√3,1）。

（2)(方法一）化直线l ：{
x =-√3+
√3
2
t ,
y =2+12
t
(t 为参数)为普通方程为y —2=√
3
3（x+√3)，其中
k=tan α=√
3
3，0≤α〈π.故直线l 的倾斜角α=π6。

（方法二)由于直线l ：{x =-√3+tcos π
6,
y =2+tsin
π
6
(t 为参数）, 这是过点
M 0（-√3，2),且倾斜角α=π6
的直线，故π
6为所求. 6.过点P (√10
2,0)作倾斜角为α的直线与曲线x 2
+2y 2
=1交于点A ,B ,求｜PA|·｜PB ｜的最小值及相应的α值。

直线过点(√10
2,0),倾斜角为α,
∴直线的参数方程为{x =√10
2+tcosα,y =tsinα
（t 为参数）。

将其代入x 2
+2y 2
=1中,得(√10
2+tcosα)2
+2（t sin α）2
=1, 整理,得（1+sin 2
α)t 2
+(√10cos α）t+32
=0， ∴t 1+t 2=-
√10cosα1+sin 2α,t 1t 2=3
2(1+sin 2α)
，
∴|PA ｜·｜PB|=|t 1t 2|=|
3
2(1+sin 2α)
|.
又∵Δ=(√10cos α)2
—4(1+sin 2
α）×32
≥0， ∴10cos 2α—6—6sin 2α≥0.
∴10（1-sin 2α)—6-6sin 2α≥0.∴sin 2α≤14
. ∵α∈[0，π)，∴当且仅当sin 2α=14,即sin α=12
， 即α=π
6
或
5π6时,｜PA ｜·|PB|最小，其最小值为3
2(1+14
)
=6
5，∴｜PA ｜·|PB|min =65
.
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神,也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志.。