平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明.doc

平面几何：有关三角形五心的经典试
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心,简称外心•与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM//CA交AB于M；引PN//BA交AC于N•作点P关于MN的对称点P・试证：P点在△佔C外接圆上.
（杭州大学《中学数学竞赛习题》）
分析：由已知可得MP'二MP二MB ,NP‘二NP =NC，
故点M是Z\P' BP的外心，点N是PC的
外心.有ZBP f片丄ZBMP二丄ZBAC ,
2 2
ZPP'电ZPN叫SC.
:.ZBP f C二上BP' P+ZP f PC二ZBAC.
从而点与A ,C共圆、即P在△ABC外接圆上. 由于P P平分ZBP1 C，显然还
有
P r B.P f C二BP:PC・
例2.在△43C的边AB ,BC , CA上分别取点P ,Q ,S.证明以ZVIPS , /\BQP , △CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC相似.
（B •波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）
分析：设O] Q2 Qs 是ZVIPS ,、BQP , △
CS0的外心，作出六边形
OIPO2QO3S后再由夕卜
心性质可知
ZPOiS=2ZA ,
ZQO2P=2ZB ,
ZSOyQ=2ZC.
•••ZPO1S+ZGO2P+ZSO辺二360°・从而乂知ZOiPO2+
ZO206+Z3SO1 二360°
将厶0206绕着Os点旋转到△KSO3，易判断厶KSOgSPOl，同时可得
△OQ2°39AO1KO3 ・
/. ZOQ1OFZKO10二丄ZOOK
.2
=-(ZOQiS+ZSO]K)
2
=-(ZO2O1S+ZPO1O2)
2
二丄"OiS二ZA；
2
同理有ZO I O2O3=ZB.故△OidQsAABC
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心•掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3・AD ,BE ,CF是△ABC的三条中线』是任意一点•证明：在厶PAD , A PBE、\PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析：设G为△ABC重心，直线PG与43
,BC相交.从A ,C ,D ,E ,F分别作该直
线的垂线，垂足为A' ,C‘ D f ,E f・
易证&4’ =2.DD' ,CC' =2FF' ,2EE'
=AA
:.EE f =DD' +FF r .
冇SbPGEpS、PGD+SbPGF・
两边各扩大3倍，有SbPBE二SbPAD+SaPCF・
例4・如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和山它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.
分析：将AABC简记为△，由三中线AD , BE ,CFm成的三角形简记为△' .G 为重心，连DE到H ,使EH二DE，连HC , HF ,则厶z就是△HCF. (I)/,，/成等差数列=>△"△'・若△ABC为正三角形，易证△ s\ .
不妨设心bMc ,有
CF=-yl2a2 +2b2 -c2 ,
2
BE二丄血2+2宀庆,
2
AD二-』2沪+2cU・
2
将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得
:.CF:BE:AD= — a : —h : ^-c
2 2 2 =a：b： c.
故有.
(2)A-A Z亠2*成等差数列.
当△中GbMc时，
△'中CFNBEMAD.
、：,
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的，
4
=>«2+C2=2/?2.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心•山三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5.设AiAz/h/k为内接四边形,H-H2川H依次为
AA2A3A4 , AA3A4A! , /\A A A\A2 , AA1A2A3 的垂心•求证：H\ .Hi、H4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
（1992，全国高中联赛）
连接A2H! A X H2,H X H2，记圆半径
分析:
为R・由△A2A3A4知
A H
=_! 二2R ^>AiH\ =2/?cos ZA5A2A4J sin {由厶A|AS4得
A1//2 二2/?cos XAyA 1A4.
但XA^A J A4=^A^A\A A，故AiH\-A\Hi.
易证A2H1//A1A2 ,于是,人2乩学1他,
故得HiHi 04加.设HxAx与H亦的交点为M ,故Hi Hi与A1A2关于M点成
中心对柢
同理，HH与AW、H\H*与,HM与/U4i都关于M点成中心对称. 故四边形
H I H2H3H4与四边形A1A2/U44关于M点成中心对称，两者是全等四边形,H\、
H2、H3 M在同一个圆上.后者的圆心设为。

，。

与O也关于M成中心对称.由O M两点,0点就不难确定了.
例6. H为ZV13C的垂心,D ,E ,F分别是BC , CA ,AB的中心.一个以H为圆心的OH 交直线EF , FD , DE于Ai 人2,8】,82 ,Ci ,C2.
求证：1 =A42=BB i =BB2=CCi =CC2・
（1989，加拿大数学奥林匹克训练
题）
分析：只须证明AAi=BBi=CCi即可.设
BOa , CA=b , AB=c , △ABC 夕卜
接圆半径为R ,OH的半径为
连HAi 交EF于M.
A A~ =AM2+A iM2=AM2+r~MH2
=r+（AM2~MH2）, ①
乂AM-HM2= （I A/71）2-（AH-丄AH I）2
2 2
二AH•AH I-AH2=AH2•AB-AH2
=cosA • bc^AH2 ,
AH
而E沪心恥俯心,
------ =2/? =>«2=47?2sin2A. sin A
:.AH2+a2=4R2 AH2=4R-a2.
由①、②、③有
A A；=r+ - -- - • bc~ (4R2~a2)
2bc
=-((r+b2+c2)- \R2+r・
2
同理,3+沪+。

2)-4疋+戸,
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心•对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设/为△ABC的内心，射线AI交ZVIBC外接圆于A f，则有A ' E B=A, C.换言之，点f 必是A/BC之外心（内心的等量关系之逆同样有用）. 例7. ABCD为圆内接凸四边形，取
'DAB , 'ABC ,△BCD ,
A CD A的内心O： , O： , Q , （/
•求证：OQQQ\为矩形・/
（1986，中国数学奥林匹克集训题）\厶多魁丿
证明见《中等数学》1992； 4 代二―~75
例8.已知0O内接△ ABC , 0（2切佔，AC于内切.试证：EF 中占P是/\人3（7之内心
（3：波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）
分析：在第20届/MO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当ABHAC ,怎样证明呢？
如图，显然EF中点P、圆心Q 3C中点K都在ZBAC平分线上.易知AQ=-!—.
sina
9：QK^AQ=MQ • QN ,
故有A4i 二Bb二CCi.
111 RtAEPQ知P0二sina 儿
:.PK二PQ+QK二 sin a ・厂 + sin a ・(27? -r) = sina-27?.
••• PK二BK・ a 利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心・五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心•旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切. 例9.在直角三角形中，求证：r+r^r c=2p.
式中r ,ra yVb y分别表示内切圆半径及与a ,h ,c相切的旁切圆半径，/?
表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设RtAABC中弋为斜边，先来证明一个特性:
P (〃一c) = (p_a) (p-b)・
V/? (/?-c) = —(a+b+c) • — (a+b-c)
2 2
=-[(a+b)2-c2]
4
_1 z
—ab；
2
(p_a) (p^b) =— (一a+b+c) • — (a_Z?+c)
二丄［宀⑺-阴二丄"・
4 2
•I p (/?-c)=(卩-“)(p-b)・①
观察图形，可得
九二AF-AC二p-b , rb二BG-BC^p-a，『(二CK=p.
而r=丄(a+b-c)
2
二p_c.
/. r+ra+rb+rc
=(〃-c) + (p-b) + (p_a) +p
二4p- (a+b+c)二2p.
由d)及图形易证.
例10. M是厶ABC边AB上的任意:一点.n，门,r分别是ZSAMC , ABMC, 'ABC 内切圆的半径4® “分别是上述三角形在ZACB内部的旁切圆半径.
证明：—•・
① q
(wo-⑵
分析：对任意△ A，B，C'，由正弦定理可知
A 3 cos —cos — O' E= A 1
B f •——= ------ ?- .A l +B 9 sin 2
• OD ••辰 亦即有 电z*严社
Cl. 6 2 6 2 2 2
A B r
= tS 2tS 2=7
六、众心共圆
这有两种情况：（1）同一点却是不同三角形的不同的心；（2）同一图形出现了 同一三角形的儿个心.
例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE 中,AB=BC , CD 二DE , EF 二FA .试证： WAD ,BE ,CF
三条对角线交于一点；
（2） AB+BC+CD+DE+EF+FA MAK+BE+CF. （1991 ,国家教委数学试验班招生试题） 分析：连接AC ,CE , EA ,由已知可证AD ,CF f EB 是ZVICE 的三条内角平分
线，/为厶4（7£•的内心.从而有ID=CD=DE , IF 二 EF 二 FA ,
IB 二AB 二 BC.
再由，易证BP ,DQ 、FS 是它的三条高，/是它的垂心，利用 不等式有：Erdos
BI+DI+FI^2 ・(IP+IQ+1S).
不难证明 IE 二21P , IA=2IQ ,IC 二2IS. ・・・ BI+DI+H^IA+IE+IC.
:.AB+BC+CD+DE+EF+FA
二 2 (BI+DI+FI)
2 (IA+IE+IC) + (BI+DI+FI)
=AD+BE+CF.
/就是一点两心. 例12・厶4眈的外心为O .AB^AC Q 是AB 中点上是厶40 的重心•证明 OD 二 OA ， =A f B'
二N B 9 A!
sin — 2
・B' sin — 2 sinZAOF sin — 2 A . B‘ sin — sin — 2 2 .A 9+B 9
sin -------- 2 B 9
A。