2015届高考数学总复习：矩阵与变换逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（含答案）

2015届高考数学总复习：矩阵与变换逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（含答案）
选修4－2 矩阵与变换第2课时
逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征
向量(理科专用)
1. 若 x 2y 2
－11＝x x y －y ，求x ＋y 的值．
解：x 2＋y 2＝－2xy x ＋y ＝0.
2. 用几何变换的观点，判断并求出矩阵
01－10的逆矩阵．
解：因为矩阵
01－10表示的是绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，
所以它有逆变换，对应的逆矩阵为
0－11 0.
3. 已知矩阵A ＝12c 1的一个特征值为λ，
10是A 的属于λ的特征向量，求矩阵A
的逆矩阵A －1
.
解：∵ Aα＝λα，12c 110＝λ
10，∴ 1＝λ，c ＝λ，解得?
λ＝1，c ＝1.A ＝
1211，则A －
1＝
1－10 1.
4. 已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为
1－3，属于特征值3的一个特
征向量为
11，求矩阵A . 解：设A ＝a b c d ，由题知a b c
d 1－3＝－1 3，a b c d 11＝3
11.
即a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，解得a ＝2，
b ＝1，
c ＝3，
d ＝0，
所以A ＝??
2
130. 5. 已知二阶矩阵A 有两个特征值1、2，求矩阵A 的特征多项式.
解：由特征多项式的定义知，特征多项式是一个首项系数为1的二次三项式．因此不妨设f(λ)＝λ2＋bλ＋c.因为1，2是A 的特征值，所以f(1)＝f(2)＝0，即1，2是λ2＋bλ＋c ＝0的根．由根与系数的关系知：b ＝－3，c ＝2，所以f(λ)＝λ2－3λ＋2.
6. 矩阵M ＝3652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e 1＝
65，及属于特征值λ2
＝
－3的一个特征向量e 2＝
1－1.对向量α＝38，计算M 3α.
解：令α＝m e 1＋n e 2，将具体数据代入，有m ＝1，n ＝－3，所以a ＝e 1－3e 2.M 3α＝M 3(e 1
－3e 2)＝M 3e 1－3(M 3e 2)＝λ31e 1－3(λ32e 2)＝8365－3×(－3)3 1－1＝
3 1532 479 ,
M 3α＝
3 1532 479.
7. 求下列矩阵的特征值和特征向量．
(1) M ＝??
6244； (2) M ＝?
2541. 解：(1) 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝
λ－6－2－4λ－4＝(λ－8)(λ－2)，令f(λ)＝0得λ1
＝2，λ2＝8.λ1＝2对应的一个特征向量为
1－2，λ2＝－8对应的一个特征向量为11.
(2) 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝
λ－2－5－4λ－1＝(λ＋3)·
(λ－6)，令f(λ)＝0得λ1＝－3，λ2＝6.λ1＝－3对应的一个特征向量为
－1 1，λ2＝6对应的一个特征向量为
541.
8. 利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝5241，N ＝
5－8. 解：设M －
1＝
x y z w ， 5241????
x y z w ＝ 5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w ＝
1001， 5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解得x ＝－1
3
，
y ＝23
，z ＝43
，w ＝－53
，所以M
－1
＝?
－1323
43
－53
. 可得X ＝M
－1
N ＝－1
323
4
3
－53
5－8＝－720. 所以原方程的解为
－720. 9. 已知矩阵M ＝10012，N ＝
12
001，试求曲线y ＝cosx 在矩阵M －1N 变换下的函数解析式．解：由M －
1＝1002，得M －1N ＝??
1002
12001＝
12002，即在矩阵M －1N 的变换下有如下过程，x y
→x′y′＝
12x 2y ，则12y ′＝cos2x ′，即曲线y ＝cosx 在矩阵M －
1N 的变换
下的解析式为y ＝2cos2x.
10. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换．求：
(1) 直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2) M 的特征值与特征向量．。