三门峡市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

三门峡市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．若
1
sin()
34
π
α
-=，则cos(2)
3
π
α
+=
A、
7
8
-B、
1
4
-C、
1
4
D、
7
8
2．二项式（x2﹣）6的展开式中不含x3项的系数之和为（）
A．20 B．24 C．30 D．36
3．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，
,则等于（）
A．B．C．D．2
4．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）
A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4
5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（）
A．（0，1）∪（2，3）B．（0，1）∪（3，4）C．（1，2）∪（3，4）D．（1，2）∪（2，3）
6． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ） A ．6
B ．9
C ．36
D ．72
7． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
8． 已知集合2
{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的
个数为
A 、
B 、2
C 、3
D 、4
9． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
10．二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．41
11．复数z=（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（ ）
A ．﹣i
B ．﹣﹣i
C ． +i
D ．﹣ +i
12．已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
14．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．
15．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且
仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
16．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE
所成角的余弦值为
，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．
17．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．
18．在复平面内，记复数+i 对应的向量为
，若向量
饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量
所对应
的复数为 ．
三、解答题
19．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的
坐标．
20．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（,是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
22．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连
接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A ﹣BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。

23．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；
（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足20152
2>++n
n T n 的 最小正整数n ．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高. 24．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0
（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．
三门峡市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】 选A ，解析：2
227
cos[(2)]cos(2)[12sin ()]33
38
π
ππαπαα--=--=---=-
2． 【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r •x 12﹣3r ，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x 3
项的系数为
•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x 3
项的系数之和为20，
故选：A ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
3． 【答案】C
【解析】 因为角
、
、
依次成等差数列，所以
由余弦定理知，即
，解得
所以
， 故选C
答案：C
4． 【答案】 C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 0
第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为k ＞5？
故答案选C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
5．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），
∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，
又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），
故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，
由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）
故选：D
【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．
6．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，解得q2=2．
则a2a6=9×q6=72．
故选：D．
7． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 8． 【答案】D
【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ． ∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 9． 【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}， ∴∁U M={0，1}， ∴N ∩（∁U M ）={0，1}， 故选：B ．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：()21212121101010
242=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制 11．【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12．【答案】A
【解析】解：p ：对于任意n ∈N *
，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，
则￢p ：∃n ∈N *
，a n+2﹣a n+1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，
由￢p ⇒￢q ，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，
若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *
，使得a n+2﹣a n+1≠d ，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A ．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
二、填空题
13．【答案】A
【解析】
14．【答案】（1，2）．
【解析】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，
即y=2x2．
由ρcosθ=1，得x=1．
联立，解得：．
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
15．【答案】48
【解析】
16．【答案】4或．
【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，
∴AC=，
由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，
∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，
或AB=2，BC=，球O的直径为=．
故答案为：4或．
17．【答案】{1，﹣1}．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，
N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}={3，﹣1，1}，
则M∩N={1，﹣1}，
故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
18．【答案】2i．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（+i）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i
，故答案为2i．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：依题意，由M=得|M|=1，故M ﹣1
=
从而由
=
得
═
=
故A （2，﹣3）为所求．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．
20．【答案】（1）
（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由题意转化为
在区间
上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函
数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a 的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x 轴上的截距，最后根据a 的正负以及基本不等式求截距的取值范围． 试题解析：（1）函数的导函数，
则在区间上恒成立，且等号不恒成立，
又
，所以
在区间
上恒成立，
记，只需， 即，解得．
（2）由，得
，
①当时，有
；
，
所以函数在单调递增，
单调递减，
所以函数在取得极大值
，没有极小值．
②当时，有
；
，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以函数
在
取得极小值
，没有极大值．
综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值．
（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．
当时，令，得切线在轴上的截距为
，
当时，
，
当且仅当，即或时取等号；
当时，
，
当且仅当，即或时取等号.
所以切线在轴上的截距范围是.
点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结
论.
（3）已知极值求参数.若函数在点
处取得极值，则
，且在该点左、右两侧的导数值符号相
反.
21．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由990S =，15240S =，得1193690
15105240
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
22．【答案】（1）1 （2）60°
【解析】（1）设BD=x ，则CD=3﹣x ∵∠ACB=45°，AD ⊥BC ，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD ⊥BC ，∴折起后AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩DC=D
∴AD ⊥平面BCD
∴V A ﹣BCD =×AD ×S △BCD =×（3﹣x ）××x （3﹣x ）=（x 3﹣6x 2+9x ） 设f （x ）=（x 3﹣6x 2+9x ） x ∈（0，3），
∵f ′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣3），∴f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数 ∴当x=1时，函数f （x ）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大； （2）以D 为原点，建立如图直角坐标系D ﹣xyz ，
23．【答案】
【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =. （1分）
当2n ≥时，2n n S n a +=，
① 11(1)2n n S n a --+-=，
②
①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=. 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.
即12n n a +=故21n n a =-（*
n N ∈）.
（5分）
24．【答案】
【解析】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0
⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；
当a=1时，p：1＜x＜3；
命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；
故x的取值范围是[2，3）
（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1＜a＜2
∴实数a的取值范围是（1，2）．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．。