台湾二OO五

年
數
聯
立 女
立
Bezier Bezier
聯
理 立 狀 不 狀 ()()22102221202P P P S Τ−Ι⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+Τ−ΙΤ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+Τ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=()2θR I − 數 理 狀 理
()∑=−Τ−ΙΤ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=n
k k k
k n P k n S 0 數 0z 1z 2z
若 θ
i e πθ20≤≤
若∈z 數 利 類 數
0z 1z L n z 狀
(n z z z T L 10,)
()()22102221202P P P S Τ−Ι⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+Τ−ΙΤ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+Τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=()2θR I −
()∑=−Τ−ΙΤ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=n
k k k
k n P k n S 0
0z 1z 2z
θ
i e πθ20≤≤ ()n z z z T L 10,0z 1z L n z
亮 數 令 了類
利 了 不 數 參數
聯 數 來
度來 狀 論
異不 A B C AB S :1:AS SB t t =−
10≤≤t BC T :1:TC t t =−BT ST P :1SP PT t t =−: 便 T S P AB 便 S P
()S A 1B t t =+−()C t T B 1t =+−()P S 1T t t =+−
()()()()()
()()()()2
222P A 11B C A 21B 1C
22 A 1B
1C 01t t t B t t t t t t t t t t =+−+−+=+−+−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
122t − 01t ≤≤
異 利
0P 1P L P n ()0t 1 ,
0t n
k
n k k k n t P k −=⎛⎞1−≤≤⎜⎟⎝⎠
∑
異不 AB BC AB BC 1C 2C 1C 2C PMB QNC ∠=∠ PQ PQ
PQ 3C 3C SRQ PMB QNC ∠=∠=∠ 便 狀 不 類 了 行
參
來 狀
AB M
MB θ 令SRQ PMB QNC=θ∠=∠=∠ 02θπ≤≤ ()R θ
()cos sin sin cos R θ
θθθθ−⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
2B A + ()θR 2
A
B − 理 B
C NC θ
2C B + ()θ 2
B
C − PQ RQ θ
2P Q + ()θ 2P Q − 2B A + ()θR 2
A
B −
2C B + ()θ 2B C − 2P Q + ()θ 2P
Q − S=(2P Q +)+ R ()θ(2P
Q −) =()()2222
2A B B A B C C R R θθ⎛⎞⎛+−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎝B ⎞
−⎞⎟⎟⎠⎠ +
R ()
θ()()2222
2B C C B A B B R R θθ⎛⎞⎛+−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛+−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎝
⎠⎝A ⎞
−⎞⎟⎟⎠⎠ =()()()224444A B C C A C A A B C R R R θθθ⎡⎤
++−−−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎞⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ =()()()
⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−4444
2
A R A R A R A θθθ+()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−42422
B R B θ+()()()⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+++44442
C R C R C R C θθθ
=()()()
()22224
4A B
I R I R I R θθ⎡⎤⎡⎤−+−++⎣⎦⎣⎦4
C θ =()()()()2
2
22222I R I R I R I R A B θθθ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎡⎤
−−++++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎣⎦
C θ
= ()()2
2222 010T A T I T B I T C ⎛⎞⎛⎞⎛⎞+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠10I 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
數 數
理 異 利 利 0P 1P 2P 3P 01P P 12PP 23P P 1 利 C 2C 3C PQ QR
4C 5C UV 便 了
6C ()()()33
22120333231303P T I P T I T P T I T P T S −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜
⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=
異 利 狀 0P 1P L P n 0P 1P L P n 論 狀
理
利 數
立
兩
()0
000 k k k k T I T P k −=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∑()0
000 0T I T P ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠
0P 0P
()11
01 k
k k k T I T P k −=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠
∑()()01
100111 01T I T P T I T P ⎛⎞⎛⎞−+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
()01TP I T P +−()()0122I R I R P P θθ⎛⎞⎛−++⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠ 落 01P P
02
P P 1
+ 01P P 立 立
()0 h
k
h k k k h T I T P k −=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∑ 兩 來
利 01P P 12PP L 1h h P P +
*0P L *0P *h P ()*001P TP I T P =+−()*112P TP I T P =+−
L L ()*1k k k P TP I T P +=+−()*1h h h P TP I T P +=+−
利 利 數 立
()*
0 k h
k h k k h T I T P k −=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∑()()()10 h
k h k k k k h T I T TP I T P k −+=⎛⎞−+−⎜⎟⎝⎠
∑
()()()1
110 h
k k h k h k k k k h T I T P T I T P k ++−−+=⎛⎞⎡⎤−+−⎜⎟⎣⎦⎝⎠
∑()()()1
1100+ h
h
k k h k h k k k k k h h T I T P T I T P k k ++−−+==⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠∑∑ (
)()()()()()()1
11
111
01111+ 1h
h k k h k h k h k k k k h h T
P T I T P T I T P k k +−++−−−+−+==⎛⎞⎛⎞+−−⎜⎟⎜⎟
−⎝⎠⎝⎠
∑∑ ()()
(
)
()()()()1
10
11011+ 1h
h k k
h h k h k k k k h h T
I T P T I T P T I T k k ++−+−+−==⎛⎞⎛⎞−+−−⎜⎟⎜⎟
−⎝⎠⎝⎠
∑∑k P ()
()()()1
11011+ 1h
k h h h k k h k h h h T
P T I T P I T P k k h +++−+=⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞++−−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦∑ ()
()
()()()0
1
11001111+ 1h
k h h h k k h k h h T
I T P T I T P T I T P k h +++−+=++⎛⎞⎛⎞−+−−⎜⎟⎜
⎟+⎝⎠⎝⎠
∑ 立 ()()1
101 h k
h k k k h T I T k ++−=+⎛⎞−⎜⎟
⎝⎠
∑P 數 理 立 數 理
類 來
()∑−−1
11k k
k
k P T I T C 不 不 0P 1P 2P 20P P 1P (),αβ
0P 2P 20P 1P 20P L 20P 連(,0α)1
PQ 1P 1
PQ 1L 20P P 令 2L 1L 2L O ′(0,)β L L QS O ′
來 說 切 來 便 便
),(L O d ′L
()2
02a I R θ⎡⎤−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()() 22I R I R αθθβ⎡⎤⎡⎤−+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()2
02a I R θ⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
θcos θ2cos θsin θcos θsin θsin θcos
θ2cos QS uuu r
θcos θ2cos θsin θcos θsin θsin θcos θ2cos θcos θ2cos θsin θcos θsin θsin θcos
量
θ2cos QS uuu r
θcos θ2cos θsin θcos θsin θsin θcos
θ2cos θcos θ2cos θsin θcos 2θsin θsin θcos θ2cos 22θ2cos θ2sin θcos θ3cos θ3cos θ2sin θcos θsin θ2cos
θsin θ2cos θsin θsin θ2cos 2θ2cos θ4cos θ2sin θ2cos θsin θ3cos θsin θcos θsin θ3cos θsin θcos θsin θ4cos
2θ2sin θ2cos θ4cos 22θcos θsin θsin θcos (2θ2sin 'O )0,β
'O ()()
()()
2
2
2
2
222sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin 2cos cos cos sin sin θβθθαθθβθαθθβθθαβθβθαθββθθαθβ+−++−+−+−−−+−a a a a a a ()
()
2
2
sin cos sin cos θβθαθβθα+−+−a a a a
切 切 落 來
L 狀 不 類
012P P P ∆ ' 落 'C 'C '
C 1P C 012P P P ∆
落 1P 'C 012P P P ∆ 兩 1OQP O'Q O' 1P O Q O' 1P O 落 '
1P C 1P O a > Q O'a > 說 落 'O 02
P P
易 Q O'suuu r
Q O'suuu r
落 1P 'C 012P P P ∆ 兩 1OQP O'Q O' 1P O Q O' 1P O 落 '
1P C 1P O a = Q O'a = 說 落 'O 02
P P
易 Q O'suuu r
Q O'suuu r
落 裡 1P 'C 012P P P ∆ 兩 1OQP O'Q O' 1P O Q O' 1P O 落 '裡
1P C 1P O a < Q O'a < 說 落 裡 'O 02
P P
易 Q O'suuu r
Q O'suuu r
理 12PMP =HNP =SRH=RGN θ∠=∠∠∠∠
()()()0121001222 P P P 012T I T T I T T I T ⎛⎞⎛⎞⎛⎞−+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠2
2()()()()()()()()()()()()1
2
210122
2
012
201220012
012202001P 2
P P I-R I-R I+R I+R =P +2 P +P 2222P +2P +P P -P P -2P +P =R R 424P +2P +P P -P P -P P -2P R R +R 444T T I T I T θθθθθθθθθ=+−+−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦
⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦()()()20122020012+P 4P +2P +P P -P P -P P -2P +P R R +R 24444θθθ.⎡⎤
⎛⎞⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣
⎦⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎢⎝
⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦⎣⎤
⎞⎟⎥⎠⎦
01P +2P +P G=
42 ()01220P +2P +P P -P R=R 44θ⎛⎞⎛+⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞
⎟⎠
()20
012P -P P -2P +P RH=+R 44θ⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎝⎠⎝uuu r ⎞⎟⎠ ()()20012P -P P -2P +P RS=R +R 244θθ⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠
uu u r
02P P 1P (),αβ
A 2P G=,22αβ⎛⎞
⎜⎟⎝⎠
()Q=,0α02P O OP =0a =>
RS=cos ,sin cos 2sin 2,sin 2cos 2222222cos cos 2sin 2,sin sin 2cos 2222222a a a a αβαβθθθθθαβαβθθθθθθ⎛⎞⎛−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠uu u r θ⎞⎟⎠
QR RS =
QS //GR suu r suu r
令
02
P P 4 RS 切 QS 2QS'= S 21 'S '2
1
QS QS =
QR RS =
()()012202
2
P +2P +P P -P cos sin R=R ,,442222cos sin ,2
222cos sin cos sin QR ,,0,22222222cos sin QR 2222a a a a a a a a a a αβθθθαθβθαθβθαθβθααθβθ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞+=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞=++⎜⎟
⎝⎠⎛⎞
−⎛⎞⎛⎞=++−=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝
⎠⎝⎠⎡⎤−⎛⎞⎡∴=+++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦Q uuu r ()2
222sin cos .42a a βθαθαβ⎛⎞−⎛⎞⎛+⎤=++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎝⎝⎠4⎞
⎟⎠
()()()22
2
22RS =cos cos 2sin 2sin sin 2cos 22222222cos cos 2sin sin 22cos sin 2sin cos 24442cos 2sin 2sin 2cos 24a a a a a αβαβθθθθθθαθθθθβθθθθαβαβθθθθ⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−++−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎛⎞⎛+−⎛⎞+=−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎛⎞−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎤⎥
⎦
⎞⎟⎟⎠
()()()222222
224cos 2sin 24224sin cos QR .424a a a a a αθθβθθαββθαθαβ⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞−−⎛⎞⎛⎞
+=−++⎜⎟⎜⎟⎜
⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝
⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞−⎛⎞⎛⎞
+=++=⎜⎟⎜
⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠⎝
⎠⎝⎠
QR RS =
QS //GR suu r suu r
令
()()()0122020012P +2P +P P -P P -P P -2P +P R R +R 2444θθθ⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎢⎝
⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦⎣4⎤
⎞⎟⎥⎠⎦
()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−0221
a R R I θβαθ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++−θθαθβθθβθαsin 22sin 2cos 1cos 22sin 2cos 121a a ()01220P +2P +P P -P R 44θ⎡⎤
⎛⎞⎛+⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎣⎦⎞⎟⎠ ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡021
21a R θβα
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++θβθαsin cos 21a a ()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+++−=θθαθβθθβθαsin 2sin 212cos 121,cos 2sin 212cos 121a a QS
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=θθsin 21,cos 21a a RG ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−=θθcos 21,sin 21a a N RG
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛++−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⋅θθβθααθcos 2sin 212cos 2121sin 21a a QS N RS
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−θcos 21a ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+−−θθαθββsin 2sin 212cos 2121a
θβθαθαθβcos 4
1
sin 41sin 41cos 41a a a a −−+ GR N GR ⊥ QS N GR
⊥
QS //GR suu r suu r
不 異 了 利 易 列 0P 1P 2P
012P =P =P
10P P =P ≠
2
異 0P 1P 2P 1P 02P P 1P 02P P
異 落 0P 1P 2P 1P 02P P 不 1P 02P P
012P P P ∆
兩 異
0P 2P 10P =P 1P =P 2012P P P ∆
異 落 0P 1P 2P 1P 02P P
012P P P
∆
論
理 狀
0P 1P 2P
論 狀 異 利 AB CD 1C 2C PQ
C
()P TA I T B =+−()Q TC I T D =+− ()S TP I T Q =+−()()()()()S T TA I T B I T TC I T D =+−+−+−
2 ()()()222B C T I T I T D ⎛⎞+−+−⎜⎟⎝⎠
令 012B C P += 2P 2
B C + 參數 參數 狀
理 不
A D ≠
理 狀
z 數 理 來 ()()22222 010S T A T I T B I T C ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
S w = 0z 1z 2z 不 異 數
不 令i z e θ= 落 數
0z 1z 2z 0z 1z 2z 不 異
理 狀
(012,,z z z T ) C ()()22222P A 1B 1012t t t t ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
01t ≤≤ 利 來 令
0A z = 利 數 令
B z =12
C z =P w =
數
數
r 兩
(012,,z z z T )
令 數 數 t 數 了 六
r r t 0t < 數
r
理
(012,,z z z T )
六
理令0z 1z L n z 數
理六 (0,,n z z T L )0z 1z L n z 狀
來 論 例 0z 1z L n z 數
令22cos sin 11k k k z i n n ππ⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠
L ()()01n k n k k k n w t
t k −=⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑z
隸 理 ()122cos sin 11k k z z k i k n n ππ⎛⎞⎛⎞==×+×⎜⎟⎜++⎝⎠⎝⎠
⎟ L
()()()()()()()()()
10001001001010111 1111 2222n n k n k k n k k n k k k n n k n k k n n i i i n n w t t z t t z z k k n tz t z t z tz k z z z z e e z z θθθ−−k e −==−=⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎡⎤⎡⎤=−=−+⎜⎟⎣⎦⎣⎦⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎡⎤+−+−⎛⎞⎛⎞=+=+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝
⎠⎝⎠⎣⎦∑∑∑ 010122i z z z z e θ+−⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
落 數 012z z + 012z z − 0z 1z 3z 4z
()()()()()()()()()()()()()()()()
()22013403130422130403141111222110122w t z t z t z t z t z z t t z z z z t z z z z z z t z z t t t z z =+−+−=+−++−⎛⎞⎛⎞⎛⎞+⎛⎞=+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠14
狀 類 w 0α 1α L n α 0β 1β L n β 數 令()0
1n k k k w t t αβ=⎡⎤=−+⎣⎦∏ 狀
w
利
()00,,,,,:C C n n T ααβ
β→L L 理 (00,,,,,n n T )ααββL L 狀
理六 理 利 兩 來 狀 不 類 狀
3n ≥
論
例 兩 滑
A-B-C
E-D-C
類 狀
狀 切 狀
B'A suur B'C suu r 2πθ≤≤π
異 AB suu r BC suu r CD suu r DA suu r 令
利 狀
了 0P 1P 2P 3P 03P -P-P 10P -P-P 21P -P-P 3P -P-P 2AB suu r BC suu r CD suu r DA suu r 切
參數 了 狀 來 類 料 理 不
利 亮
論
異 來 狀
0P 1P L P n ()0 n
k n k k k n T I T P k −=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∑()2θR I − ()2θR I + 狀
狀
數 0z 1z 2z
(012,,z z z T ) 狀
(012,,z z z T ) 利 類 了 數 0z 1z L n z
(n z z z T L 10,)0z 1z L n z 狀
六 了 數 0α 1α L n α 0β 1β L n β
(00,,,,,n n T )ααββL L 狀 利 狀 來
更 狀 念
陸 參 料。