吉林2019年高三第二次重点考试-数学理(2019吉林二模)

吉林2019年高三第二次重点考试-数学理（2019吉林二模）
数学〔理科〕
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在条形码区域内；
2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；
3、请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4、作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；
5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、
刮纸刀。

第一卷
【一】选择题：本大题共12题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项
符合题目要求的。

1、设集合{}
2
20,R
M x x x x =+-<∈，{}
02N x x =<≤,那么M N = A 、(1,2)- B 、(0,1]
C 、(0,1)
D 、(2,1]-
2、为虚数单位，那么复数i 212i
-+＝
A 、
B 、i -
C 、43i 55--
D 、43i
55
-+
3、()f x 是R 上的奇函数，且当(]
,0x ∈-∞时，()lg(3)f x x x =--，那么(1)f 的值为
A 、0
B 、lg 3
C 、lg 3-
D 、lg 4-
A 、数列{}n a 为等比数列，假设m n p q +=+，*N ,,,∈q p n m ，那么有m n p q a a a a ⋅=⋅
B 、点(
,0)8π为函数()tan(2)4f x x π
=+图像的一个对称中心 C 、假设⎰=a x 02
3
8，那么2=a
D 、假设||1,||2a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120°，那么b 在向量a 上的投影为； 5、设双曲线2
2
21(0)9y x a a
-=>的渐近线方程为340x y ±=，那么双曲线的离心率为 A 、54
B 、53
C
D
6、假设
1()
2n x x
+的展开式中前三项的系数成等差数列，那么展开式中4x 项的系数为 A 、6 B 、7
C 、8
D 、9 7、如果执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为
A 、3-
B 、12
-
C 、2
D 、13
8、函数
()(1)cos f x x x =+的最小正周期为
A 、32
π
B 、2π
C 、π
D 、2
π
9、不等式
2log 0a x x -<在
1(0,)
2
x ∈时恒成立，那么a 的取值范围是
A 、1
116
a ≤<
B 、01a <<
C 、1a >
D 、
1016
a <≤
10、过点
()1,1-且与曲线3
2y x
x =-相切的切线方程为
A 、20x y --=，或5410x y +-=
B 、20x y --=
C 、20x y -+=
D 、20x y --=，或4510x y ++= 11、假设等边△ABC 的边长为
，平面内一点M 满足
12
63
CM CB CA
=+，那么MA MB ⋅= A 、-1
B 、-2
C 、2
D 、3
12、在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y
之间的“折线距离”.在这个定义下，给出以下命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x ；
④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有 A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
第二卷
【二】填空题：本大题共4个小题,每题5分。

13、函数1
2
(0)()2
(0)x x x f x x ⎧⎪->=⎨⎪≤⎩那么[](9)f f =
、 14、抛物线方程24x y =，过点(0,)M m 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22
(,)B x y 两
点，且12
4x x =-，那么m 的值.
15、某三棱锥的三视图(单位:cm )如右图所示,那么该三棱锥外
接球的表面积等于2cm 、 16、设数列
{}
n a 的各项均为正数，前n 项和为n
S ，对于任意的
n N +∈，2,,n n n a S a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，
且
2
(ln )n
n n x b a =
，假设对任意的实数
(]
1,x e ∈〔e 是自然对数的底〕和任意正整数n ，
总有n T r <()r N +
∈、那么r 的最小值为.
【三】解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、〔本小题总分值12分〕 在△ABC
中，AB =3AC =，sin 2sin C A =、 〔Ⅰ〕求△ABC 的面积S ；〔Ⅱ〕求
cos(2)
4
A π+的值、
18、〔本小题总分值12分〕
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重、大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病、为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机
在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35
、
〔Ⅰ〕请将上面的列联表补充完整；
〔Ⅱ〕是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
〔Ⅲ〕在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病、现在从患心肺疾病的10位女性
中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布
列，数学期望以及方差；大气污染会引起各种疾病，试浅谈日常生活中如何减少大气污染、
〔参考公式2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
其中n a b c
d
=+++〕
19、〔本小题总分值12分〕
如图：四棱锥P ABCD
-中，PA AD
⊥,1
2
AD BC
==
,PC=、AD∥BC，AB AC
=、150
BAD
∠=︒30
PDA
∠=︒、
〔Ⅰ〕证明:PA⊥平面ABCD；
〔Ⅱ〕在线段PD上是否存在一点F，使直线
CF与平面PBC成角正弦值等于1
4
，假设
存在，指出F点位置，假设不存在，请说明理由、
20、〔本小题总分值12分〕
椭圆中心是原点O，长轴长2a，短轴长，焦点(),0(0)
F c c>、直线2a
x
c
=
与x轴交于点A，2
OF FA
=，过点A的直线与椭圆交于,P Q两点、
〔Ⅰ〕求椭圆方程及离心率；
〔Ⅱ〕假设6
7
OP OQ
⋅=
，求直线PQ的方程；
〔Ⅲ〕假设点P与点M关于x轴对称，求证:,,
M F Q三点共线、
21、〔本小题总分值12分〕
2018年2月10日春节、某蔬菜基地2018年2月2日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格()
f x(单位：元/kg)与时间x(x表示距2月10日的天数，
单位：天，(]
0,8
x∈)的数据如下表：
P
A
B C
D
〔Ⅰ〕根据上表数据，从以下函数中选取一个函数描述黄瓜价格()f x 与上市时间x 的
变化关系：()f x ax b =+，2()+f x ax bx c =+，()x f x a b =⋅，()log b f x a x =⋅，
其中0a ≠；并求出此函数；
〔Ⅱ〕为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函
数()(122)39x h x e m x =--+、(0)x >m 称为控制系数、 求证：当m ＞ln 21-时，总有()()f x h x <、
22、〔本小题总分值10分〕选修1—4：几何证明选讲
如图，ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒、以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D
是BC 边的中点、连结OD 交圆O 于点M . 〔Ⅰ〕求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；
〔Ⅱ〕求证：22DE DM AC DM AB =⋅+⋅
23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴、点M 的极坐标为
(4,)2
π，圆
C 以M 为圆心，4
为半径；又直线的参数方程为1
12x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩〔为参数〕 〔Ⅰ〕求直线和圆C 的普通方程；
〔Ⅱ〕试判定直线和圆C 的位置关系、假设相交，那么求直线被圆C 截得的弦长、 24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲
关于x 的不等式|2|||2(0)ax ax a a -+-≥>、 〔Ⅰ〕当1a =时，求此不等式的解集；
〔Ⅱ〕假设此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围、
命题、校对：孙忠臣赵玉楠曹阳马辉王玉梅孙长青
答案
1、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D
D
B
B
C
B
A
A
B
C
2、填空题
13、18
14、115、14π16、2
3、解答题
17、〔Ⅰ〕解：在ABC ∆中，根据正弦定理：A
BC C AB
sin sin =
所以
1
sin sin 2
AB BC A AB C ===2分
根据余弦定理得：
222cos 2AB AC BC A AB AC +-==
⋅……4分
而(0,)A π∈
，所以
sin A ==
……5分
所以
11sin 33
22S AB AC A =⨯⨯=⨯=……6分
〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕可知
5
3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 2
2=
-===A A A A A A ……10分
所以
cos(2)cos 2cos sin 2sin 444A A A πππ
+=-=12分
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++28.333K ≈又2(7.789)0.0050.5%P k ≥==、
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的、……4分 〔Ⅲ〕解：ξ的所有可能取值：0，1，2，3
37310357
(0)12024
C P C ξ====
；
12373
106321
(1)12040C C P C ξ⋅====；
21373
10217
(2)12040C C P C ξ⋅====；
333101
(3)120
C P C ξ===
；………7分
分布列如下：………8分
ξ 0
1 2 3
P
724 2140 740 1120
那么721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
2222979219791(0)(1)(2)(3)10241040104010120D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯
49100
D ξ=
ξ的数学期望及方差分别为
910E ξ=，49100
D ξ=
………10分 低碳生活，节能减排，控制污染源，控制排放、〔回答基本正确就得分〕…12分 19、〔Ⅰ〕证明：取线段BC 中点E ，连结AE 、
因为AD =
30PDA ∠=︒所以1PA =……1分
因为AD ∥BC ，150BAD ∠=︒所以30B ∠=︒，……2分 又因为AB AC =，所以AE ⊥BC ，而
BC =所以
2
30BE
AC AB cos ︒
===、……4分 因为PC =
，所以222PC PA AC =+即PA 因为PA AD ⊥，且AD AC A =
所以PA ⊥平面ABCD ……6分
〔Ⅱ〕解：以A 为坐标原点，以,,AE AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图： 那么,,,P B C D 四点坐标分别为：
(0,0,1)P ；(1,B ；C ；D ……8分
设111
(,,)F x y z ；平面PBC 的法向量
(,,)u x y z =、 因为点F 在线段PD 上，所以假设PF PD λ=，所以
111
1x y z λ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩(01)λ<≤
即
,1)F λ-
，所以,1)FC λ=-、……9分
又因为平面PBC 的法向量(,,)u x y z =、
所以
0,0u PB u BC ⋅=⋅=
，所以00
x z ⎧--=⎪
⎨=⎪⎩
所以
(1,0,1)u =……10分
因为直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于14
，所以
||1
4
||||FC u FC u ⋅=
⨯、
14
=
即
12
λ=
、所以点
F 是线段PD 的中点、……12分 20、〔Ⅰ〕解：由题意，可设椭圆的方程为(22212x y a a +=>。

由得
,().
222
22a c a c
c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩
解得2a c ==……2分
所以椭圆的方程为2
2162x y +=，离心率e =。

……4分
〔Ⅱ〕解：由〔1〕可得A 〔3，0〕。

设直线PQ 的方程为()3y k x =-。

由方程组
,()22
16
23x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意(
)212230
k ∆=->，得
k <<…5分 设(,),(,)1122
P x y Q x y ，那么
21221831k x x k +=+，①212227631
k x x k -=
+。

②……6分
由直线PQ 的方程得(),()1122
33y k x y k x =-=-。

于是
()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。

③……7分
∵
OP OQ ⋅=
67
，∴x x y y +=121267。

④……8分
由①②③④得k =241
，从而
(k =±∈12。

所以直线PQ 的方程为x y --=230或x y +-=230……9分 〔Ⅲ〕证明：因为,,A P Q 三点共线，所以假设AP AQ λ=〔1λ>〕 所以(,),(,)1122
33AP x y AQ x y =-=-。

由得方程组
(),
,
,
.
121
2221122
223316
216
2x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩
注意1λ>，解得
2512x λλ
-=
……10分
因(,),(,)11
20F M x y -，故
(,)((),)
1121231FM x y x y λ=--=-+-(,)(,)
1211
22y y λλλλ
--=-=-。

……11分 而
(,)(,)
2221
22FQ x y y λλ
-=-=，所以FM FQ λ=-。

所以,,M F Q 三点共线、……12分
21、〔Ⅰ〕解：根据表中数据，表述黄瓜价格()f x 与上市时间x 的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数()f x ax b =+，()x f x a b =⋅，()log b f x a x =⋅均具有单调性不符，
所以，在0a ≠的前提下，可选取二次函数2()+f x ax bx c =+进行描述、……1分 把表格提供的三对数据代入该解析式得到：
20
2446368864=++=++=++c b a c b a c b a 解得1a =，12b =-，40c =、……3分 所以，黄瓜价格()f x 与上市时间x 的函数关系是
2()1240f x x x =-+、(]0,8x ∈……4分
〔Ⅱ〕解：设函数
()2()()21
x g x h x f x e x mx =-=-+-，求导，结果见下表。

()22x g x e x m
'=-+，继续对
()
g x '求导得
()2
x g x e ''=-……6分
由上表可知
()()
ln 2g x g ''≥，而
()()ln 2ln 22ln 2222ln 222ln 21g e m m m '=-+=-+=-+，由m ＞ln 21-知
()
ln 2g '＞0，所以
()
g x '＞0，即
()
g x 在区间
()0,+∞上为增函数。

……10分
于是有()g x ＞
()0g ，而
()02002010
g e m =-+⨯-=，……11分
故
()
g x ＞0，即当m ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞221x mx -+。

即()()h x f x >……12分
22、〔本小题总分值10分〕选修1—4：几何证明选讲 〔Ⅰ〕证明：如图，连结OE 、BE ，那么BE ⊥EC 又∵D 是BC 的中点，∴DE BD =.
又∵OE OB =，OD OD =，∴ODE ODB ∆≅∆，
∴90OBD OED ∠=∠=︒.
∴O 、B 、D
、E 四点共圆、 〔Ⅱ〕证明：延长DO 交圆O 于点H .由(1)知DE 为圆O 的切线， ∴2()DE DM DH DM DO
OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅， ∴2
11()()
22
DE DM AC DM AB =⋅+⋅，∴22DE DM AC DM AB =⋅+⋅、 23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
〔Ⅰ〕解：因为直线的参数方程为112x t y ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩〔为参数〕
0y -=……3分
如图，设圆上任意一点为(,)P ρθ，那么在POM ∆中，由余弦定理， 得2222cos PM PO OM PO OM POM =+-⋅∠，
∴2224424cos()
2
πρρθ=+-⨯⨯-、
化简得8sin ρθ=，即圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=、〔,ρθ为参数〕、 因为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，所以22(4)16x y +-= 即圆C 的普通方程为22(4)16x y +-=(亦可先求圆心直角坐标)……6分 〔Ⅱ〕解：因为圆心M 的直角坐标是(0,4)，圆心M 到直线l 的距离24d =<，…8分 所以直线l 和圆
C 相交、直线被圆C 截得弦长
==……10分
24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲
〔Ⅰ〕解：当1a =时，不等式为|2||1|2x x -+-≥.
由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1，2的距离之和大于 于2.∴52x ≥或12x ≤∴不等式的解集为51|22x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩
⎭或.……5分 注也可用零点分段法求解、
〔Ⅱ〕解：∵|2||||2|ax ax a a -+-≥-，
∴原不等式的解集为R 等价于|2|2a -≥，∴4a ≥或0a ≤，又0a >，
∴4a ≥.……10分。