2018中考数学 常考易错点 2.1 整式方程

2.1整式方程
易错清单
1.根据题意列出正确的方程.
【例1】(2014·山东烟台)按如图的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是().
A. x=5,y=-2
B. x=3,y=-3
C. x=-4,y=2
D. x=-3,y=-9
【解析】由题意,得2x-y=3,
A. x=5时,y=7,故本选项错误;
B. x=3时,y=3,故本选项错误;
C. x=-4时,y=-11,故本选项错误;
D. x=-3时,y=-9,故本选项正确.
【答案】 D
【误区纠错】读懂题意,列出正确的整式方程是解题的关键.
2.方程中隐含条件的运用.
【例2】(2014·山东济宁)若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则= . 【解析】∵x2=(ab>0),
∴x=±.
∴方程的两个根互为相反数.
∴m+1+2m-4=0,解得m=1.
∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与-2.
∴=2.
∴=4.
【答案】 4
【误区纠错】一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.根据这个隐含条件可求出m的值.【例3】(2014·广东广州)若关于的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x1,则x1(x2+x1)+的最小值为.
【解析】该题主要是考察方程思想与函数思想的结合,由根与系数的关系得到:x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,
而x1(x2+x1)+=(x1+x2)2-x1x2=3m2-3m+2.
因为方程有实数根,
所以Δ≥0,解得m≤.
当m=时,3m2-3m+2的最小值为.
【答案】
【误区纠错】本题最大失误是不知道根据Δ≥0这个隐含条件求出m的取值范围.
3.整体思想的运用.
【例4】(2014·江苏泰州)已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式+的值等于.
【解析】∵a2+3ab+b2=0,
∴a2+b2=-3ab,
∴原式===-3.
【答案】-3
【误区纠错】本题直接使用整体思想解题,将a2+b2视为一个整体未知数.
名师点拨
1.能区分等式各个性质的区别与联系.
2.理解一元一次方程的有关概念,并解决一些简单问题.
3.会利用代入法求一元一次方程的解.
4.会利用定义判断一元二次方程,能利用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程的根.
5.记住一元二次方程根的判别式,并能解决一些问题.
6.理解一元二次方程根与系数的关系,并能解决一些问题.
7.会根据等量关系列整式方程并求解.
提分策略
1.选择适当的方法求解一元二次方程.
若方程中含有未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化为0且方程左边分解因式,则选用因式分解法;若不能分解因式或难以分解因式时,则选用公式法.配方法一般很少选用,但求根公式是由配方法推导的,且以后学习中还常用到,故必须掌握这种重要的数学方法.
【例1】解方程:3x(x-2)=2(2-x).
【解析】先移项,然后提取公因式(x-2),对等式的左边进行因式分解.
【答案】由原方程,得(3x+2)(x-2)=0,
所以3x+2=0或x-2=0.
解得x1=-,x2=2.
2.配方法在二次三项式中的应用.
在二次三项式中运用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同:
(1)化二次项系数为1,当二次项系数不为1时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样除以二次项系数(因为二次三项式配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形).
(2)加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值不变,故在加的同时,还要减去一次项系数一半的平方.
(3)配方后将原二次三项式化为a(x+m)2+n的形式.
【例2】阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2-4x+2三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
【答案】(1)x2-4x+2=(x-2)2-2;
x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x;
x2-4x+2=(x-)2-x2.
(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=+b2.
(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=+(b-2)2+(c-1)2=0.
从而a-b=0,b-2=0,c-1=0,
即a=1,b=2,c=1.
所以a+b+c=4.
3.利用一次方程解决生活中的实际问题.
解决问题需要从问题中挖掘相关信息,包含隐含条件,找到相关的已知量,构建相应的数学模型,灵活运用所学知识解决实际问题.
【例3】如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
【解析】设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.
【答案】设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米.
根据题意,得(100-4x)x=400,
解得x1=20,x2=5.
则100-4x=20或100-4x=80.
∵80>25,
∴x2=5舍去.
即AB=20,BC=20.
故羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.
专项训练
一、选择题
1. (2014·江苏泰州洋思中学)若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是().
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法判断
2. (2014·四川峨眉山二模)已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则+的最大值是().
A. 19
B. 18
C. 15
D. 13
3. (2014·湖北襄阳模拟)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是().
A. 当k=0时,方程无解
B. 当k=-1时,方程有两个相等的实数解
C. 当k=1时,方程有一个实数解
D. 当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
4. (2013·湖北荆州模拟)若方程(k-1)x2-x+=0有两个实数根,则k的取值范围是().
A. k≥1
B. k≤1
C. k>1
D. k<1
5. (2013·安徽芜湖一模)芜湖市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.若每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是().
A. 5(x+21-1)=6(x-1)
B. 5(x+21)=6(x-1)
C. 5(x+21-1)=6x
D. 5(x+21)=6x
二、填空题
6. (2014·北京顺义区模拟)如果关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根,那么m的值为.
7. (2014·江苏南京溧水区二模)方程(x-2)2-2(x-2)=0的解为.
8. (2013·吉林镇赉县一模)若x=1是方程x2+x+n=0的一个解,则方程的另一个解是.
9. (2013·湖北荆州模拟)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.
三、解答题
10. (2014·安徽安庆二模)为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍,求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
11. (2014·北京顺义区模拟)已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4-m=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若m为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,求m的值.
12. (2013·河南沁阳第一次质量检测)某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢利市场,该店应按原售价的几折出售?
参考答案与解析
1. A[解析]由5k+20<0,得k<-4,则Δ=16+4k<0.
2. B[解析]由题意,得(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0,
解得-4≤k≤-.
因为x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5,
所以+=(x1+x2)2=(k-2)2-2(k2+3k+5)
=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.
所以当k=-4时,+取得最大值为18.
3. B[解析]Δ=(k+1)2,当k=0时,方程有解;当k=1时,方程有两个不等的实数解;当k≠0时,如果k=-1,那么方程有两个相等的实数解.
4. D[解析]当k=1时,原方程不成立,故k≠1.
∴方程(k-1)x2-x+=0为一元二次方程.
又此方程有两个实数根,
∴b2-4ac=(-)2-4×(k-1)×=1-k-(k-1)=2-2k≥0,解得k≤1.
∵k≠1,
∴k<1.
综上,k的取值范围是k<1.
5. A[解析]设原有树苗x棵,根据首、尾两端均栽上树,每间隔5米栽一棵,则缺少21棵,可知这一段公路长为
5(x+21-1);若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表示为6(x-1),根据公路的长度不变列出方程即可.
6.±2[解析]根据Δ=m2-8=0求解.
7.x1=2,x2=4[解析]将(x-2)作为公因式提取.
8.-2[解析]把x=1代人方程得n=-2,再解方程x2+x-2=0.
9.k>且k≠2[解析]由题意,得(2k+1)2-4(k-2)2>0,且k-2≠0,求解即可.
10.设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要(x-5)个月,
由题意,得x(x-5)=6(x+x-5),
解得x1=2(舍去),x2=15.
故甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月.
11. (1)∵Δ=42-4m(4-m)=4(m-2)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)∵x==,
∴x1==,x2==-1.
∵方程有两个互不相等的负整数根,
∴<0.
∴或
∴0<m<4.
∵m为整数,
∴m=1或2或3.
当m=1时,x1==-3≠x2,符合题意;
当m=2时,x1==-1=x2,不符合题意;
当m=3时,x1==-≠x2,但不是整数,不符合题意.
∴m=1.
12. (1)设每千克核桃应降价x元.
由题意,得(60-x-40)=2 240.
化简,得x2-10x+24=0,
解得x1=4,x2=6.
故每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),×100%=90%.
故该店应按原售价的九折出售.。