三角函数的诱导公式 课件

sincos sin cos
sin cos
sincos
1.
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，
原式= sin sin［ 2m
2m cos2m 2 ］cos［2m
1
］
sin cos
sincos( )
= sinco=s-1.
sin(cos)
【归纳】三角函数式化简的思路以及含有kπ±α形式的处理 方法. 提示：(1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α的三角函数 转化. (2)含有kπ±α形式的化简时，需对k分是偶数还是奇数来确定 选用的公式.
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三角函数式的化简问题 【技法点拨】
三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化 为角α的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. (3)注意“1”的应用：1=sin2α+cos2α=tan .
4
【典例训练】
1.化简 sin 540 cos =___________. 2.化简：设kta为n(整 数18，0化) 简：ssiinn［kk1cos［］kcos1k］ .
+tan(180°-45°)=sin225°cos210°+cos30°sin210°-tan45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos30°sin(180°+30°)
-tan45°=sin45°cos30°-cos30°sin30°-tan45°
= 2 3 3 1 1 . 6 3 4
3.在下列各式中: ①sin(α+π)=-sinα, ②cos(-α+β)=-cos(α-β), ③sin(-α-2π)=-sinα, ④cos(-α-β)=cos(α+β). 正确的序号是_________. 【解析】对于②式,cos(-α+β)=cos［-(α-β)］=cos(α-β), 故②错误,而①③④由诱导公式可判定正确. 答案：①③④
则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z)，
∴sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β)=-sinβ=- . 1
3
2.解题流程：
判断
∵cos（α-55°）=- 1<0，且α是第四
3
象限角，∴α- 55°是第三象限角.
计算
sin（α-55°）= 1 cos（2 55） 2 2 .
1.诱导公式中的角α只能是锐角吗？ 提示：角α不仅仅是锐角，可以是任意角. 2.诱导公式二～四主要有什么作用？ 提示：诱导公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一 象限角的三角函数. 诱导公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数. 诱导公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角 的三角函数.
给角求值问题 【技法点拨】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
“负化正”
用公式一或三来转化；
“大化小”
用公式一将角化为0°到360°间的角；
“小化锐”
用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
“锐求值”
得到锐角的三角函数后求值.
【典例训练】
1.cos( 16 )的值为________.
3
2.求sin585°cos1 290°+cos(-30°)sin210°+tan135°的值.
【解析】1. sin(540 ) cos() sin(180 ) cos sin cos
tan( 180)
tan
tan
=-cos2α.
答案：-cos2α
2.当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，
sin k cos［k 1 ］ sin 2m cos［2m 1 ］ sin［k 1 ］cos(k ) sin［2m 1 ］cos(2m )
4.化简sin 13·cos( 7 )=_________.
3
6
【解析】sin 13 ·cos( 7 )=sin(4π+ )cos 7
3
6
3
6
=sin cos(π+ )=sin ·(-cos )= 3 ( 3 ) 3.
3
6
3
6
2
2
4
答案： 3
4
1.解读诱导公式 (1)学习诱导公式要抓住一个“诱”字.诱什么?怎样诱?为什么 这么诱?若能清楚这些问题,自然就会循循善“诱”了.诱什么, 就是诱角,即把α+k·360°(k∈Z),-α, 180°±α中的任意 角α看作锐角；怎样诱,就是变角,角的变换为使用诱导公式创 造了条件；为什么这么诱,就是为了得到我们所需要的角,或所 需要的名,或最简的式.
3
转化 结论
∵α+125°=180°+(α-55°)， ∴sin(α+125°) =sin［180°+(α-55°)］ =-sin（α-55°）.
sin(α+125°)=-sin（α-55Fra bibliotek）= 2 2 .
3
【思考】解决给值(式)求值问题的关键是什么？以及在求解题2 时的突破口在哪里？ 提示：(1)设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题 的关键. (2)首先必须正确地判断出α-55°是第三象限角.由 cos(α-55°)=- 正1 确地解出sin(α-55°)的值是解决此题的突破口.
(2)公式：sin(-α)=_-_s_i_n_α__. cos(-α)=_c_o_s_α__. tan(-α)=_-_t_a_n_α__.
3.诱导公式四 (1)角π-α与角α的终边关于_y_轴对称. 如图所示.
(2)公式：sin(π-α)=_s_i_n_α_. cos(π-α)=_-_c_o_s_α_. tan(π-α)=_-_t_a_n_α_.
三角函数的诱导公式
1.诱导公式二 (1)角π+α与角α的终边关于_原__点__对称. 如图所示.
(2)公式：sin(π+α)=_-_s_i_n_α__. cos(π+α)=_-_c_o_s_α__. tan(π+α)=__t_a_n_α__.
2.诱导公式三 (1)角-α与角α的终边关于__x_轴对称. 如图所示.
(2)记忆诱导公式一～四的口诀是“函数名不变,符号看象限”, 其含义是公式两边的函数名称不变,符号则是将角α看成锐角 时原角所在象限的三角函数值的符号.
2.诱导公式的实质 诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之 间的关系.换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系 “翻译”成三角函数之间的代数关系.
【典例训练】
1.已知sinβ= 1 ，cos(α+β)=-1，则sin(α+2β)的值为( )
3
(A)1
(B)-1
(C) 1
(D)-1
3
3
2.已知cos(α-55°)=- 1 ，且α为第四象限角，求sin(α+125°)
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的值.
【解析】1.选D.由cos(α+β)=-1得，α+β=2kπ+π(k∈Z)，
2 2 22
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【想一想】已知角求值的关键是什么？解决题2时易出现什么 样的失误？ 提示：(1)关键是利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角 (一般为特殊角)的三角函数. (2)易出现将特殊角的三角函数值记错或者出现符号错的失误.
给值(式)求值问题 【技法点拨】
解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形 向已知式转化.
【解析】1.cos( 16)= cos(-6π+ )2=cos 2
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3
3
=cos(π- )=-cos = .1
3
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答案： 1
2
2.sin585°cos1 290°+cos(-30°)sin210°+tan135°
=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos30°sin210°