专题11 三角形综合问题(精讲)-2019年中考数学高频考点突破全攻略(原卷版)

【课标解读】
三角形综合问题是指针对三角形的知识点之间的综合性的考查，特别是等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质应用，及其与三角形相关的知识点之间的综合考查。

【解题策略】
从具体问题入手→探索三角形知识点→综合各点联系→综合把握各个知识点之间的内在关系→综合应用并解决问题
【考点深剖】
★考点一关于图形全等的综合问题
本类题大都含有基本图形“燕子图”，在条件给足的背景下，两个三角形是全等的，从图形变换条件，两个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称．
归纳几何基本图形，然后对基本图形进行变式与拓展，是学习几何图形相关知识的重要手段．如：
①旋转模型
②三垂直模型,,③一线三等角模型,,易错提示)已知两边及一边对角对应相等的两个三角形，不全等，即“SSA”得不到两个三角形全等．
【典例1】如图1所示，A、E、F、C在同一直线上，AF=CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．（1）试说明ME=MF；
（2）若将E、F两点移至如图2中的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
★考点二关于图形变换的综合问题
【典例2】（2018·湖北江汉·10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC=DC+EC ；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
★考点三关于条件探究的综合问题
【典例3】如图22－2，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是 ( )
A．BD＝DC，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝CD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C，BD＝DC
★考点四关于结论探究的综合条件
思维定式是条件改变，结论必须改变，但有些条件改变了，但全等的关系仍然存在，导致结论不变.1．全等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法．2．变化题目中某些条件，结论是否成立，关键是得到结论的核心是否仍然存在，比如：两个三角形是否仍然全等或相似．
【典例4】(1)如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．
★考点五关于图形相似的综合问题
【典例5】（2018•岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．
（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．
【讲透练活】
变式1：(2018·河北T23·9分)如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接AP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α.
(1)求证：△APM≌△BPN；
(2)当MN＝2BN时，求α的度数；
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．
变式2：已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E.
(1)如图1，①线段CD和BE的数量关系是CD＝BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明；
(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．
变式3：（2018•莱芜•9分）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D.E分别是AB.AC的中点，将△ADE绕点A
按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．
（1）求证：BD′=CE'；
（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求的值．
变式4：（2017•乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
变式5：（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．
（1）填空：∠OBC= °；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
变式6：（2017浙江义乌）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°，②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．。