山东省济南市商河县2024-2025学年数学九上开学监测模拟试题【含答案】

山东省济南市商河县2024-2025学年数学九上开学监测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）在直角坐标系中，若点P(2x－6，x－5)在第四象限，则x 的取值范围是()A ．3＜x＜5B ．－5＜x＜3C ．－3＜x＜5D ．－5＜x＜－32、（4分）如图，P 是矩形ABCD 的边AD 上一个动点，PE⊥AC 于E，PF⊥BD 于F，当P 从A 向D 运动（P 与A，D 不重合），则PE+PF 的值（）A ．增大B ．减小C ．不变D ．先增大再减小3、（4分）下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是()A ．7，9，12B ．5，12，13C ．1，D ．3，4，54、（4分）在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（）A ．84B ．24C ．24或84D ．42或845、（4分）在一幅长200cm ，宽160cm 的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%，设装饰纹边的宽度为xcm ，则可列方程为（）
A ．()()20016078%200160
x x ++⨯=⨯B ．(2002)(1602)78%200160
x x ++⨯=⨯C ．(2002)(160)78%200160
x x ++⨯=⨯D ．(200)(1602)78%200160
x x ++⨯=⨯
6、（4分）设5-的整数部分是a ，小数部分是b ，则-a b 的值为（）．A ．1+B ．1-+C ．1--D ．1
7、（4分）下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．7，24，25D ．9，39，40
8、（4分）关于x 的一次函数21y kx k =++的图象可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果12x x ，是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，那么12x x +的值是____．10、（4分）12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6名进入决赛，如果小亮知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，小亮应该最关注的一个统计量是_____．11、（4分）关于的x 方程5m x -＝1的解是正数，则m 的取值范围是_____．12、（4分）在周长为18cm 的平行四边形中，相邻两条边的长度比为1:2，则这个平行四边形的较短的边长为________cm .13、（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD 的外部作Rt AEF ，且1==AE AF ，连接DE 、BF 、BD ，则22DE BF +=________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：矩形ABCD 中，AB=10，AD=8，点E 是BC 边上一个动点，将△ABE
沿AE 折叠得到△AB ′E 。

（1）如图(1)，点G 和点H 分别是AD 和AB ′的中点，若点B ′在边DC 上。

①求GH 的长；②求证：△AGH ≌△B ′CE ；（2）如图(2)，若点F 是AE 的中点，连接B ′F ，B ′F ∥AD ，交DC 于I 。

①求证：四边形BEB ′F 是菱形；②求B ′F 的长。

15、（8分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-+的图象分别与x y 、轴交于点A 、B ，点P 在x 轴上，若6ABP S ∆=,求直线PB 的函数解析式．16、（8分）将两张完全相同的矩形纸片ABCD 、FBED 按如图方式放置，BD 为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG ，
(1)试判断四边形DHBG 为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB =8，AD =4，求四边形DHBG 的面积．
17、（10分）综合与实践如图，ABC 为等腰直角三角形，90B ∠=︒，点O 为斜边AC 的中点，MPN △是直角三角形，90MPN ∠=︒．ABC 保持不动，将MPN △沿射线CA 向左平移，平移过程中点P 始终在射线CA 上，且保持PM ⊥直线AB 于点E ，PN ^直线BC 于点F ．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，OE 与OF 的数量关系是__________．（2）如图2，当点P 在线段OA 上时，猜想OE 与OF 有怎样的数量关系与位置关系，并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P 在CA 的延长线上时，连接EF ，若1OE =，则EF 的长为__________．
18、（10分）善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A ，
B ，D 在同一直线上，且//EF AD ，90BA
C EDF ∠=∠=︒，45C ∠=︒，60E ∠=︒，量得12DE cm =，求B
D 的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若x+y ﹣1＝0，则12x 2+xy+12y 2﹣2＝_____．20、（4分）若式子有意义，则x 的取值范围是________．21、（4分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠D=60°，AB=4，
E 为边BC 上的动点，连接AE ，作AE 的垂直平分线G
F 交直线CD 于F 点，垂足为点
G ，则线段GF 的最小值为____________．22、（4分）函数中，自变量x 的取值范围是________．23、（4分）已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，BP ＝①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为；
③S △APD +S △APB ＝1
2+2；④S 正方形ABCD ＝．
其中正确结论的序号是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）计算)﹣25、（10分）如图，在ABC 中，C 90∠=．()1用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法和证明)()2当满足()1的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求A ∠的度数．26、（12分）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，DB ＝2，AC ＝4，求菱形的周长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
【详解】
解：∵点P（2x-6，x-1）在第四象限，
∴
260
{
50
x
x
－＞
－＜
，
解得：3＜x＜1．
故选：A．
主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．
2、C
【解析】
首先过A作AG⊥BD于G．利用面积法证明PE+PF=AG即可．
【详解】
解：如图，过A作AG⊥BD于G，
则S△AOD=12×OD×AG，S△AOP+S△POD=12×AO×PF+12×DO×PE=12×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴PE+PF=AG，
∴PE+PF的值是定值，
故选C．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算．解决本题的关键是证明等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高．
【解析】根据勾股定理逆定理即可求解.【详解】∵72+92≠122，所以A 组不能作为直角三角形三边长故选A.此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理进行判断.4、C 【解析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论.【详解】（1）△ABC 为锐角三角形，高AD 在三角形ABC 的内部，∴=9，，∴△ABC 的面积为195122⨯+⨯（）=84，（2）△ABC 为钝角三角形，高AD 在三角形ABC 的外部，∴=9，，∴△ABC 的面积为195122⨯-⨯（）=24，
故选C.
此题主要考察勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论.
【解析】设装饰纹边的宽度为xcm ，则装饰画的长为（200＋2x ）cm 、宽为（1＋2x ）cm ，根据矩形的面积公式结合硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设装饰纹边的宽度为xcm ，则装饰画的长为（200＋2x ）cm 、宽为（1＋2x ）cm ，根据题意得：（200＋2x ）（1＋2x ）×78%＝200×1．故选：B ．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6、B 【解析】估算出大小，从而求出其整数部分a ，再进一步表示出其小数部分b ，然后将其代入所求的代数式求值．【详解】解：∵4＜5＜9，∴12，∴-2＜＜-1．∴1＜5-2．∴a=1，
∴3-，
∴1-+故选：B ．
此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7、D
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答．【详解】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，不符合题意；B、122+52=132，能构成直角三角形，不符合题意；C、72+242=252，能构成直角三角形，不符合题意；D、92+392≠402，不能构成直角三角形，符合题意；故选：D．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8、C 【解析】根据图象与y 轴的交点直接解答即可．【详解】解：令x ＝0，则函数y ＝kx ＋k 2＋1的图象与y 轴交于点（0，k 2＋1），∵k 2＋1＞0，∴图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上．故选C.本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的图象与y 轴交点的特点是解答此题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、-3【解析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得到1x +2x 的值.
【详解】
根据题意,12x x +=-3.
故答案为：-3.
本题考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握方程20ax bx c ++=的两根为1x ,2x 的关系：1x +2x =b
a -,1x 2x =c a .
【解析】
参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【详解】
解：由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少即可，故答案为：中位数.
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
11、m＞﹣5且m≠0
【解析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围即可．
【详解】
去分母，得m=x-5，
即x=m+5，
∵方程的解是正数，
∴m+5＞0，即m＞-5，
又因为x-5≠0，
∴m≠0，
则m的取值范围是m＞﹣5且m≠0，
故答案为：m＞﹣5且m≠0.
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及注意事项是解题的关键.这里要注意分母不等于0这个隐含条件.
12、1
【解析】
由已知可得相邻两边的和为9，较短边长为xcm，则较长边长为2x，解方程x+2x＝9即可．【详解】
因为平行四边形周长为18cm，所以相邻两边的长度之和为9cm．设较短边长为xcm，则较
长边长为2x，所以x+2x＝9，解得x＝1．故答案为1．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决平行四边形周长问题一定要熟记平行四边形周长等于两邻边和的2倍．13、1【解析】连接BE，DF 交于点O，由题意可证△AEB≌△AFD，可得∠AFD=∠AEB，可证∠EOF=90°，由勾股定理可求解．【详解】如图，连接BE 、DF 交于点O ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD AB =，90DAB ︒∠=．∵AEF 是等腰直角三角形，∴AE AF =，90EAF ︒∠=，∴EAB DAF ∠=∠．在AEB △和△AFD V 中，∵AE AF =，EAB FAD ∠=∠，AB AD =，∴(SAS)AEB AFD ≅V V ，∴AFD AEB ∠=∠．
∵90AEF AFE AEB BEF AFE BEF AFE AFD ︒∠+∠==∠+∠+∠=∠+∠+∠=90BEF EFD ︒∠+∠=，
∴90EOF ︒∠=，
∴222EO FO EF +=，222DO BO DB +=，222EO DO DE +=，222OF BO BF +=，∴2222222210DE BF EF DB AE AD +=+=+=.
故答案为1．本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）①3；②详见解析；（2）①详见解析；②3【解析】（1）①由折叠的性质可得出AB=AB′，根据矩形的性质可得出∠ADB′=90°，在Rt △ADB′中，利用勾股定理即可得出B′D 的长度，再根据中位线的性质即可得出结论；②由点G 为AD 的中点可求出AG 的长度，通过边与边的关系可得出B′C=4，由此得出B′C=AG ，再通过角的计算得出∠AHG=B′EC ，由此即可根据全等三角形的判定定理AAS 证出△AGH ≌△B′CE ；（2）①连接BF ，由平行线的性质结合直角三角的中线的性质即可得知△B′EF 为等边三角形，根据折叠的性质即可证出四边形BEB′F 是菱形；②由等边三角形和平行线的性质可得出∠BEF=∠B′EF=60°，再由AB=10利用特殊角的三角函数值即可得出结论．【详解】（1）①∵将△ABE 沿AE 折叠得到△AB ′E ∴AB=AB ′∵四边形ABCD 为矩形∴∠ADB ′=90°在Rt △ADB ′中，AD=8，AB ′=10∴B ′D==6
∵点G 和点H 分别是AD 和AB ′的中点，∴GH 为△ADB ′的中位线
∴GH=12DB ′=3
②证明：∵GH 为△ADB ′的中位线
∵GH ∥DC ，AG=12AD=4
∴∠AHG=∠AB ′D
∵∠AB ′E=∠ABE=90°∴∠AB ′D+∠CB ′E=90°又∵∠CB ′E+∠B ′EC=90°∴∠AHG=B ′EC ∵CD=AB=10，DB ′=6∴B ′C=4=AG 在△AGH 和△B′CE 中AHG B EC AGH B CE B C AG ∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪'=⎩∴△AGH ≌△B ′CE （AAS ）．（2）①证明：∵将△ABE 沿AE 折叠得到△AB ′E ∴BF=B ′F ，∠B ′EF=∠BEF ，BE=B ′E ∵B ′F ∥AD ，AD ∥BC ∴B ′F ∥BC ∴∠B ′FE=∠BEF=∠B ′EF ∵∠AB ′E=∠ABE=90°，点
F 为线段AE 的中点∴B ′F=
12AE=FE ∴△B ′EF 为等边三角形∴B ′F=B ′E ∵BF=B ′F ，BE=B ′E ∴B ′F=BF=BE=B ′E
∴四边形BEB ′F 是菱形
②∵△B ′EF 为等边三角形
∴∠BEF=∠B ′EF=60°
∴BE=AB •cot ∠BEF=10×3=3
∵四边形BEB ′F 是菱形
∴B ′F=BE=1033．本题考查了折叠的性质、矩形的性质、中位线的性质、全等三角形的判定定理、等边三角形的判定及性质以及菱形的判定定理,解题的关键是:(1)①利用勾股定理求出DB'的长度;②利用全等三角形的判定定理AAS 证出△AGH ≌△B ′CE;(2)①得出B ′EF 为等边三角形;③利用特殊角的三角函数值求出BE 的长度.本题属于中档题,难度不大.但解题过程稍显繁琐,解决该题型题目时,根据图形的翻折找出相等的边角关系是关键.15、直线PB 的函数解析式为44y x =+或445y x =-+.【解析】根据题意可得P 点可在x 轴左边或x 轴右边,先求出A 和B 的坐标然后根据6ABP S ∆=，可确定P 的位置,进而运用待定系数法可求出直线PB 的函数解析式.【详解】解：令0y =,得2x =∴A 点坐标为（2，0）令0x =，得4y =∴B 点坐标为（0，4）∵6ABP S ∆=∴1462AP ⨯⨯=即3AP =∴P 点的坐标分别为()11,0P -或()25,0P 设直线PB 的函数解析式为y kx b =+∴04k b b -+=⎧⎨=⎩或504
k b b +=⎧⎨=⎩∴44k b =⎧⎨=⎩或4
54
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PB 的函数解析式为44y x =+或4
45y x =-+.
本题考查一次函数待定系数法的运用,综合性较强,解答此类题目的关键是根据三角形面积的关系求出P 点的坐标,继而利用待定系数法求解.
16、（1）四边形DHBG 是菱形，理由见解析；（2）1．【解析】（1）由四边形ABCD 、FBED 是完全相同的矩形，可得出△DAB ≌△DEB （SAS ），进而可得出∠ABD=∠EBD ，根据矩形的性质可得AB ∥CD 、DF ∥BE ，即四边形DHBG 是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD ，即可得出∠HDB=∠HBD ，由等角对等边可得出DH=BH ，由此即可证出▱DHBG 是菱形；（2）设DH=BH=x ，则AH=8-x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG 的面积．【详解】解：()1四边形DHBG 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 、FBED 是完全相同的矩形，
∴90A E ∠=∠=，AD ED =，AB EB =．在DAB 和DEB 中，AD ED A E AB EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAB DEB SAS ≅，∴ABD EBD ∠=∠．∵//AB CD ，//DF BE ，
∴四边形DHBG 是平行四边形，HDB EBD ∠=∠，
∴HDB HBD ∠=∠，
∴DH BH =，
∴DHBG 是菱形．
()2由()1，设DH BH x ==，则8AH x =-，
在Rt ADH 中，222AD AH DH +=，即2224(8)x x +-=，
解得：5x =，即5BH =，∴菱形DHBG 的面积为5420HB AD ⋅=⨯=．本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH ；（2）利用勾股定理求出菱形的边长．17、（1）OE OF =；（2）OE OF =，OE OF ⊥，见解析；（3【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明OA=OC ，∠A=∠C,然后证明AOE ≌COF 即可得到OE=OF ；（2）根据等腰直角三角形的性质证明OA=OB ，∠A=∠OBF ，利用矩形的判定证明PEBF 是矩形，从而得到BF=AE ，于是可证明AOE ≌BOF ，即可得到OE OF =，OE OF ⊥；（3）同（2）类似，证明OE OF =，OE OF ⊥，然后根据勾股定理即可求出EF 的长.【详解】解：（1）OE =OF ，理由如下：∵ABC 为等腰直角三角形，90B ∠=︒，点O 为斜边AC 的中点，∴OA=OC ，∠A=∠C,∵PM ⊥AB ，PN ^BC ，∴OEA OFC 90∠∠==︒,∴AOE ≌COF ,∴OE OF =.
故答案是：OE OF =.
（2）OE OF =，OE OF ⊥，理由如下：
如图2，连接OB ，
∵ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AC 的中点，∴OA=OB ，∠A=∠OBF=45︒,∠AOB=90︒，∵PM ⊥AB ，∴∠A=∠APE=45︒，∴AE=PE ，∵PM ⊥AB ，PN ^BC ，90MPN ∠=︒，∴PEBF 是矩形，∴BF=PE ，∴BF=AE ，在AOE 和BOF 中，OA OB A OBF AE BF =⎧⎪∠=∠⎨
⎪=⎩，∴AOE ≌BOF ,∴OE OF =，AOE BOF ∠∠=，∴EOF BOF BOE AOE BOE AOB 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒,∴OE OF ⊥.故答案是：OE OF =，OE OF ⊥.（3）如图3，连接EF 、OB ，
∵ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AC 的中点，
∴OA=OB ，∠BAO=∠OBC=45︒,∠AOB=90︒，∴∠EAO=∠OBF=135︒,∵PM ⊥AB ，∴∠APE=∠PAE=BAO 45∠=︒，∴AE=PE ，∵PM ⊥AB ，PN ^BC ，FPE 90∠=︒，∴PEBF 是矩形，∴BF=PE ，∴BF=AE ，在AOE 和BOF 中，OA OB OAE OBF AE BF =
⎧⎪∠=∠
⎨⎪=⎩，∴AOE ≌BOF ,∴OE OF =
，AOE BOF ∠∠=，∴EOF AOE AOF BOF AOF
AOB 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒,∴OE OF ⊥.∴EOF 是等腰直角三角形，∵OE=1，∴=..本题考查了矩形的判定和性质，利用等腰直角三角形的性质得到边角关系从而证明三角形全等是解题关键.
18、18-【解析】
过F 作FH 垂直于AB ，得到∠FHB 为直角，进而求出∠EFD 的度数为30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF 的长，再利用勾股定理求出DF 的长，由EF 与AD 平行，得到内错角相等，确定出∠FDA 为30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半
求出FH 的长，进而利用勾股定理求出DH 的长，由DH-BH 求出BD 的长即可．【详解】解：过点F 作FH ⊥AB 于点H ，∴∠FHB=90°，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=90°-60°=30°，∴EF=2DE=24，∴DF ==，∵EF ∥AD ，∴∠FDA=∠DFE=30°，∴12FH FD ==∴18DH ==，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠HFB=90°-45°=45°，∴∠ABC=∠HFB ，∴BH HF ==，则BD=DH-BH=18-．
此题考查了勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3
2
-【解析】
将2211222x xy y ++-变形为22211(2)2()222x xy y x y ++-=+-，然后把已知条件变形后代入进行计算即可．解：原式=22211(2)2()222x xy y x y ++-=+-，把x+y-1变形为x+y=1代入，得原式=131222⨯-=-．“点睛”本题考查了代数式求值，正确的进行代数式的变形是解题的关键．20、【解析】分析：根据被开方数为非负数列不等式求解即可.详解：由题意得，x -2≥0,∴x ≥2.故答案为x ≥2.点睛：本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．21、1【解析】作辅助线，构建三角形全等，证明Rt △AFM ≌Rt △EFN （HL ），得∠AFM=∠EFN ，再证明△AEF 是等边三角形，计算FG=32AG=32AE ，确认当AE ⊥BC 时，即FG 最小．
【详解】
解：连接AC ，过点F 作FM ⊥AC 于，作FN ⊥BC 于N ，连接AF 、EF ，
∵四边形ABCD 是菱形，且∠D=60°，∴∠B=∠D=60°，AD ∥BC ，∴∠FCN=∠D=60°=∠FCM ，∴FM=FN ，∵FG 垂直平分AE ，∴AF=EF ，∴Rt △AFM ≌Rt △EFN （HL ），∴∠AFM=∠EFN ，∴∠AFE=∠MFN ，∵∠FMC=∠FNC=90°，∠MCN=120°，∴∠MFN=60°，∴∠AFE=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AG=2AE ，∴当AE ⊥BC 时，Rt △ABE 中，∠B=60°，∴∠BAE=10°，∵AB=4，∴BE=2，∴当AE ⊥BC 时，即FG 最小，最小为1；故答案为1．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的性质和判定，垂线段的性质等知识，本题有难度，证明△AEF 是等边三角形是本题的关键．
22、x≤1
【解析】
分析：根据二次根式有意义的条件解答即可.详解：
∵二次根式有意义，被开方数为非负数，
∴1-x≥0，解得x≤1.故答案为x≤1.点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键.23、①③④【解析】由题意可得△ABE ≌△APD ，故①正确，可得∠APD ＝∠AEB ＝135°，则∠PEB ＝90°，由勾股定理可得BE =，作BM ⊥AE 于M ，可得△BEM 是等腰直角三角形，可得BM ＝EM ＝2，故②错误，根据面积公式即可求S △APD +S △APB ，S 正方形ABCD ，根据计算结果可判断．【详解】解：∵正方形ABCD ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°又∵∠EAP ＝90°∴∠BAE ＝∠PAD ，AE ＝AP ，AB ＝AD ∴△AEB ≌△APD 故①正确作BM ⊥AE 于M ，∵AE ＝AP ＝1，∠EAP ＝90°
∴EP ，∠APE ＝45°＝∠AEP ∴∠APD ＝135°
∵△AEP ≌△APD ，
∴∠AEB ＝135°
∴∠BEP ＝90°
∴BE ==∵∠M ＝90°，∠BEM ＝45°∴∠BEM ＝∠EBM ＝45°∴BE ＝MB 且BE ,∴BM ＝ME 故②错误∵S △APD +S △APB ＝S 四边形AMBP ﹣S △BEM 211111.2222222⎛⎛=⨯++-=+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故③正确∵S 正方形ABCD ＝AB 2＝AE 2+BE 2∴S 正方形ABCD 221242⎛⎛=+= ⎝⎭⎝⎭++故④正确∴正确的有①③④本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是构造直角三角形求出点B 到直线AE 的距离．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）2；【解析】（1）根据平方差公式可以解答本题；（2）根据二次根式的加减法可以解答本题．【详解】解：（1）+＝5﹣3
＝2；
（2）
＝-+
＝．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．25、（1）图形见解析（2）30°【解析】试题分析：（1）画出线段AB 的垂直平分线，交AC 于点P ，点P 即为所求；（2）由点P 到AB 、BC 的距离相等可得出PC=PD ，结合BP=BP 可证出Rt △BCP ≌Rt △BDP （HL ），根据全等三角形的性质可得出BC=BD ，结合AB=2BD 及∠C=90
°，即可求出∠A 的度数．试题解析：（1）依照题意，画出图形，如图所示．（2）∵点P 到AB、BC 的距离相等，∴PC=PD ．在Rt △BCP 和Rt △BDP 中，PC PD BP BP ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △BCP ≌Rt △BDP （HL ），∴BC=BD ．又∵PD 垂直平分AB，∴AD=2BD=2BC ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，
∴∠A=30°．
【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握尺规作图；（2）通过证全等三角形找出AB=2BC ．26、【解析】由在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，长度分别是8和6，可求得OA 与OB 的长，AC ⊥BD ，然后由勾股定理求得AB 的长，继而求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝12AC═12×4＝2，OB ＝12BD ＝12×2＝1，AC ⊥BD ，∴AB ＝∴菱形的周长为．此题考查了菱形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直且互相平分定理的应用是解此题的关键．。