正方形的性质与判定(第二课时)课件北师大版数学九年级上册

第5题图
∴四边形CEDF是正方形.
五、课堂小结
正方形的性 质与判定
性质
正方形的面积公式
正
正方形定义 一组邻边相等
方
特殊的矩形
形 判定
对角线互相垂直
一个角是直角 特殊的菱形
对角线相等
六、布置作业
1、课后练习 2、基础训练
谢谢聆听
四、课堂检测
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线AD，BD相交于点 D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：四边形CEDF是正方形. 证明：如图，过点D作DN⊥AB，垂足为点N. ∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形CEDF是矩形.
∵∠BAC，∠ABC的平分线AD，BD相交于点D， DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB， ∴DF＝DN，DE＝DN， ∴DF＝DE，
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
求证：四边形 BECF 是正方形.
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
45° 45°
互相平分且有一个角是直角.其中能判定平行四边形是正方形的
是 ①②③ （填序号）.
2.在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.若再添加一个条件，使该
四边形是正方形，则所添加的条件是 不唯一）.
∠A＝90°（答案
四、课堂检测
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能判定
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
B
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线相等的菱形是正方形.
D O
C
三、 典例讲解
例1.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
BF∥CE，CF∥BE，
∴AB=AD
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
B
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
D O
C
二、探究新知 探究二：
菱形
一个角是直角 对角线相等
正方形
二、探究新知
证明过程:
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
A
D
∴ AB = BC = CD = DA，
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
三、 典例讲解
例2.如图，顺次连接菱形ABCD 的各边中 点E，F，G，H，若AC=a，BD=b，求四边形 EFGH 的面积.
三、 典例讲解
补充知识：
A
D
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
B
C
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
二、探究新知
已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD
A
又∵C⊥BD，
∴△AOB≌△AOD（SAS）
这个四边形是正方形的是 ④ （填序号）.
①AC＝BD，AB∥CD，AD∥BC；②AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC；③AD∥BC， ∠BAD＝∠BCD；④AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD.
第3题图
第4题图
4.如图，“赵爽弦图”是由四个直角边长分别为3和4的全等的直角三角形拼
成的，其中阴影部分的面积是 1 .
中点四边形的概念 ： 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边
如图在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD， DA 的中点，则四边形EFGH 就是中点四边形.
四、 课堂检测
1.给出下列条件：①对角线相等且互相垂直；②一组邻边相等
且有一个角是直角；③对角线相等且一组邻边相等；④对角线
二、探究新知
议一议： 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方 形？请证明你的结论，并与同伴交流.
正方形
正方形
二、探究新知 探究一：
矩形
一组邻边相等 对角线互相垂直
正方形
二、探究新知
证明过程: 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
B
C
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
二、探究新知
证明过程:
已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.
A
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
北师大版九年级上册
第一章 特殊平行四边形
正方形的性质与判定（第二课时）
一、复习导入
问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角
的平行 四边形叫做正方形。
A
D
正方形的性质：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：
(1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；
B
C
(2)角：四个角都是直角；
(3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
(4)对称性：是轴对称图形，有4 条对称轴；
(5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半.
二、探究新知
活动：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪 才能剪出一个正方形？
提示：剪口线与折痕成45°角即可。