2019-2020年高考数学二轮复习思想3.1函数与方程思想教学案文
高考数学专题复习函数与方程思想教案
高考数学专题复习——函数与方程思想一、教学目标1. 理解函数与方程的关系，掌握函数与方程的基本思想。
2. 熟练运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数与方程的概念及关系2. 函数与方程的性质3. 函数与方程的解法4. 函数与方程在实际问题中的应用5. 典型例题分析与练习三、教学重点与难点1. 函数与方程的关系及其性质2. 函数与方程的解法3. 实际问题中函数与方程的运用四、教学方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式进行教学。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考。
五、教学过程1. 导入：回顾函数与方程的基本概念，引导学生思考函数与方程之间的关系。
2. 讲解：详细讲解函数与方程的性质，结合实际例子阐述函数与方程的解法。
3. 讨论：分组讨论实际问题中的函数与方程应用，分享解题心得。
4. 练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数与方程在数学中的重要性。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置相关的习题，巩固课堂所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
七、教学拓展1. 引入高等数学中的函数与方程理论，提高学生的数学素养。
2. 组织数学竞赛或讲座，激发学生对函数与方程的兴趣。
3. 推荐相关书籍或网络资源，引导学生深入研究函数与方程。
八、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解了函数与方程的基本概念、性质和解法。
2. 反思教学方法：是否有效地引导学生思考、探索和解决问题。
3. 反思教学效果：学生对函数与方程的理解程度以及实际应用能力的提升。
九、教学案例1. 案例一：讲解一次函数与一元一次方程的关系，引导学生理解函数与方程的解法。
函数方程专题之函数方程思想(1)-沪教版(上海)高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案(
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习函数方程专题之函数与方程思想 教学目标 理解函数思想与方程思想的含义，以及它们之间的联系，能熟练利用函数与方程的思想解题。
知识梳理1．函数与方程思想的含义函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点．（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程0)(=x f 的解就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标（零点）；函数)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-y x f ；通过方程进行研究，方程a x f =)(有解，当且仅当a 属于函数)(x f 的值域；)(x f y =与)(x g y =的图像的交点问题，就是研究方程)()(x g x f =的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．2．函数与方程的思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数)(x f y =，当0>y 时，就化为不等式0)(>x f ，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．典例精讲例1．（★★）（1） 已知函数34()log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程1()4f x -=的解x =__ _ __； （2）已知函数21,01()2,10x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩，则15()4f -=__ _ __． 评注：（1）1()4f x -=(4)1x f ⇒==（2）设155()()44x f f x -=⇒=，由()f x 的具体定义可看出01x <≤时函数值大于1， 故251142x x +=⇒=。
高中数学高考二轮复习函数与方程思想教案
第一讲 函数与方程思想对应学生用书P1251函数与方程思想的含义(1)函数思想函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )>0(或f (x )<0)，就是求函数y ＝f (x )的正(或负)区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．类型一 求最值或参数的范围LEIXING 例1[2015·山东高考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析 由题意知，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <12a ，a ≥1. 由f (a )<1，解得a <23.所以f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )<12f (a )，f (a )≥1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a <2323a －1，23≤a ＜122a ，a ≥1故当a <23时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为9a －4＝23a －1，即18a －8＝23a .如图，分别作出直线y ＝18x －8与函数y ＝23x ＝8x 的图象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故a <23不符合题意．当23≤a <1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为23a －1＝23a －1，显然方程恒成立．当a ≥1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为22a ＝22a ，显然方程恒成立．所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.四类参数范围(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．模拟演练1 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d >0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n ＋3， 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.模拟演练2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则a 的取值范围为________．答案 (－1,1]解析 把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x .设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54， 且由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2知sin x ∈(0,1]． 易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]． 类型二 解决图象交点或方程根等问题LEIXING例2 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则max{min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}}＝( )A.34 B ．1C ．3 D.72解析 在同一坐标系内画出函数y ＝x ＋1，y ＝x 2－x ＋1，y ＝－x ＋6的图象．如图所示：min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}的图象为深色部分，即为取在下方的图象部分，则max{min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}}为图象中的最高点的纵坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝－x ＋6，可得y ＝72.解决图象交点及方程根等问题的方法函数图象的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．。
2020年高考数学二轮复习讲义：函数与方程思想
专题九 数学思想方法精析第一讲函数与方程思想、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系， 并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解.二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论, 从而使问题获解.三、函数思想与方程思想联系 函数思想与方程思想是密切相关的， 如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)= 0，就是求函数 y = f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y = f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x) = g(x)的解的问题可以转 化为函数y = f(x)与y = g(x)的交点问题，也可以转化为函数y = f(x)— g(x)与x 轴的交点问题,方程f(x)= a 有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重 要.崗题热点突破命题方向1函数与方程思想在不等式中的应用+ mx + 4>2m + 4x 恒成立的实数 x 的取值范围为(D )A. (―汽一2]B. [2 ,+^ )C. ( —s,— 2]U [2 ,+s ) D . ( — ^，― 2) U (2 ,+s )2[解析] 因为 x€[2,16]，所以 f(x) = Iog 2x€[1,4]，即 m€[1,4] •不等式 x + mx + 4>2m + 4x易错费示>知识整合 Zhi shi zhe ng he(4tf QubN TU 押例1 (1)已知f(x)= log 2X , x € [2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m ,使 x 2M 知识合恒成立，即为m(x—2) + (x—2)2>0恒成立.设g(m) = (x—2)m+ (x—2)2,则此函数在区间［1,4］上恒大于0,X — 2 + (X — 2 2>0 , 4(x - 2 ”(x — 2 2>0,解得x< — 2或x>2.(2) 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(—0, 0)上单调递增.若实数a 满足f(2|ad Q—1|)>f(— 2)，则a 的取值范围是£,自.［解析］由f (x )是偶函数且f (x )在(—0, 0)上单调递增可知，f(x)在(0, + 0 )上单调递减.又因为 f(2|a -1|)>f ( — 2), f ( — 2) = f ( 2), 所以 2『-1|<_2，即 |a — 11<2，解得 1<a<|.『规律总结』函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题.(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化.一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数.跟踪训练：：：・ G■en zong xun lia n1. (2018太原一模)定义域为R 的可导函数y = f(x)的导函数为f (x),满足f(x)>f ' (x), 且f(0) = X 则不等式号B 的解集为(B )A . ( — 0, 0)B . (0 ,+0 )C . (—0, 2)D . (2 ,+0 )［解析］构造函数()切则'()e X f' (X X -e X f(x )f ' (x —f (x )g(x) = e x ，贝V g (x) = x 2 = e x.由题意得 g' (x)<0恒成立，所以函数 g(x)=吁在R 上单调递减•又因为 g(0)=爭=1,所以 吁<1.即g(x)<1，所以x>0 ,所以不等式的解集为(0,+ 0).2 12.若不等式x + ax + 1 > 0对一切x € (0, ?］恒成立，则a 的最小值为(C )C .— 5D . - 3［解析］因为x 2 + ax + 1 > 0,所以 g 1 >0, $g 4 >0,A. 0 B . - 2一x一1i i即a》―x=— (x+X)，令g(x)=-(x+ X)，1 1当0<x w 2时，g(x) = - (x + x)递增，1 5 5g(x)max= g(2)= - 2，故a》-2，5即a的最小值为一2-例2设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x € R，都有f(x+ 4) = f(x)，且当x1€ ［-2,0］时，f(x) =(3)x- 6•若在区间(-2,6］内关于x 的方程f(x)—log a(x+ 2) = 0(a>1)恰有3 个不同的实数根，则实数a的取值范围是(34, 2).［解析］由f(x+ 4) = f(x)，即函数f(x)的周期为4,1因为当x q - 2,0］时，f(x) =(3)x— 6.所以若x q o,2］，则一x€-2,0］,则f( - x) = (3)- x-6 = 3x-6,因为f(x)是偶函数，所以f( - x)= 3x- 6 = f(x)，即f(x) = 3x- 6，x€［0,2］，由f(x) - log a(x+ 2) = 0 得f(x) = log a(x+ 2)，作出函数f(x)的图象如图.当a>1时，要使方程f(x) —log a(x+ 2) = 0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x) = log a(x+ 2)有3个不同的交点，J g(2 <f(2)则满足l_g(6 pf(6，解得3 4<a<2，故a 的取值范围是(3.4, 2).『规律总结』禾U 用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的 问题转论为函数零点问题.(2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 跟踪训练 丄・ G .. en zong xun lia n1 n已知函数f(x)= ~x — COSX ,则方程f(x) = ~4所有根的和为(C )7t3n 2［解析］■-f(x) = 2x — cosx , ••f ' (x)= 2 + sinx ,sinx> — 丁, 1•f ' (x)= 2 + sinx>0,1 n 7 nf f(x) = 2x — cosx 在(—6, 6)上是增函数.Ilog a 4<3即log a 8>3,£一 n n n n■f(2) = 4 — cos 2 = 4，•••在区间（—n 帑上有且只有一个实数x =n 满足f （x ）=n/ —詰，-cow 1,1 n , n,f(x) = 2X — cosx w —12+ 1<4,由此可得：当x <訓寸，f （x ）=n 殳有实数根. 同理可证：x >噺寸，f （x ）=7n — i>nn• • •方程f （x ）= 4也没有实数根.n n综上可知f （x ）= 4，只有实数根2.故选C .命题方向3解决最值或参数范围问题小值为（D ）a［解析］当 y = a 时，2(x +1) = a ,所以 x =~— 1. 设方程x + ln x = a 的根为t ,“ “ a t + ln t t ln_t ’则 t + In t = a ，则 |AB|= t — ? + 1 = t — —-~+1 =2 — 2 +1 、工上 Jn_t设 g(t )= 2 — ~2 + 1(t >0),令 g ' (t) = 0, 得 t = 1,当 t€(0,1)时,g' (t)<0; 当 t€(1 ,+s )时，g ' (t)>0 ,3所以 g (t)min = g(1) = 2 ,33所以|AB|>3,所以|AB|的最小值为|.例3直线y = a 分别与曲线y = 2（x + 1）, y = x + In x 交于点A , ，则|AB|的最(t)=-——2 2tt — 1"2T ， C . 3 *2 4『规律总结』求最值或参数范围的技巧(1) 充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解.(2) 充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解.(3) 当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决.(4) 当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数.跟踪训练G en zong xun lia n————I—n ——［解析］・.0A = (1,0), 0P= (cos 0, sin 9 , .'OA OP + S= cos 0+ sin 0= ■. 2sin( 0+ ~)，故OA OP+ S的最大值为.2,此时0= n故选B .例4椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，短轴长为.2，离心率为命题方向4函数与方程思想在解析几何中的应用直线l与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C交于相异两点A, B,且AP = 3PB.(1)求椭圆C的方程；⑵求m的取值范围.2 2［解析］(1)设椭圆C的方程为*+存=1(a> b>0),2 2 ,2设c>0, c = a —b ,由题意，知2b= 2, ^=寻，所以a = 1, b= c= f.a 2 22故椭圆C的方程为y2+ X = 1,即y2+ 2x2= 1.2⑵设直线I的方程为y= kx+ m(k z 0), l与椭圆C的交点坐标为A(x i, y i), B2(x2, y2), |y= kx+ m, 由22 12x + y = 1,得(k2+ 2)X2+ 2kmx+ (m2—1) = 0,△= (2km)2—4(k2+ 2)(m2—1) = 4(k2—2m2+ 2)>0 , (*)2—2km m — 1X1 + x2=二,X1x2 = ~ ,k2+ 2 k2+ 2因为AP= 3PB ,所以一X1= 3X2.x1 + x2=—2X2 , 所以丫2X1X2=—3X2.则3(X2 + X2)2+ 4X1X2= 0 ,2—2km 2 m —1 即3) + 4 •-k2+ 2 k2+ 2整理得4k2m2+ 2m2—k2—2 = 0 ,即k2(4m2—1) + (2 m2—2) = 0 ,2 1当m2= 4时，上式不成立；2 1 2 2 —2m当m丰匚时，k = 2 —，44m2— 1由(*)式，得k2>2m?—2,又k z 0,22 2 —2m 所以k2= 2一>0,4m2— 11 1解得—1<m< —2 或2<m<1,即所求m的取值范围为(—1,—1)*1，1).『规律总结』利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程. 第二步：求解判别式 △第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质， 得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论•将上述等量代换式代入 少0或0中，即可求出目标参数的取值范围.跟踪训练Gen zong xun lia n上的任意一点，贝y OP FP 的取值范围为(B )若点0和点F(— 2,0)分别为双曲线2X2— y 2=P 为双曲线右支A . ［3 — 2 ,3,+s ) C . ［ — 7,+m)B . ［3 + 2 3,+^ ) D .【7，+s )2［解析］由c= 2,得a + 1 = 4,••a2= 3.2•••双曲线方程为X^ —y2= 1.设P(x, y)(x》.3),OP FP = (x, y)(・x+ 2, y)2=x2+ 2x+ y2= x2+ 2x+ x—13=3x2+ 2x—1(x> ,3).令g(x) = fx2+ 2x—1(x> . 3),则g(x)在［3, + a)内单调递增，g(x)min = g C . 3)= 3+ 2：.；3••O P FP的取值范围为［3 + 2 3, +°° ).。
2019-2020年高考数学函数与方程思想专题突破教案
(II) 又 f (3) f (0) 0, f (11) f (13) f ( 7) f ( 9) 0
故 f(x) 在[0,10] 和[-10,0] 上均有有两个解 , 从而可知函数在 [0,xx] 上有 402 个解 , 在 [-xx.0] 上 有 400 个解 , 所以函数在 [-xx,xx] 上有 802 个解 . （难度★★★★）
3、 设（且）， g( x) 是 f ( x) 的反函数 . （Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时，恒有 g( x) log a 2 t
成立，求 t 的取值范围； （难度★★★）
(x 1)(7 x)
4、 已知函数 f (x) x2 8x, g( x) 6ln x m.
（ I ）求在区间上的最大值
（ II ）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值
2019-2020 年高考数学 函数与方程思想专题突破教案
典例分析：
1、 记函数 f(x)= 的定义域为 A, g(x)=lg[(x － a－ 1)(2a － x)](a<1) 的定义域为 B.
(1) 求 A；
(2) 若 BA, 求实数 a 的取值范围 .
（难度：★）
解： (1)2 －≥ 0, 得≥ 0, x< － 1 或 x≥１
范围；若不存在，说明理由。
分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的
方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、
解决问题的能力。满分 12 分。
解：（ I ） f ( x) x2 8x
(x 4)2 16.
当即时，在上单调递增，
2020版高考数学二轮复习第3部分策略1活用4大数学思想1函数与方程思想教案文
1．函数与方程思想行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.应用1 目标函数法求最值【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________．(2)已知斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________．(1)－3 (2)4105[(1)∵E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，不妨设E (0，t )，F (0，t ＋2)，则AE →＝(0，t )－(－1,0)＝(1，t )．BF →＝(0，t ＋2)－(2,0)＝(－2，t ＋2)，AE →·BF →＝t 2＋2t －2.令f (t )＝AE →·BF →＝(t ＋1)2－3≥－3，当且仅当t ＝－1时取等号．即AE →·BF →的最小值为－3.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.]目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法.有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法.求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.【对点训练1】 已知在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的最大值为________．2213[建立如图所示的平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则OA →＝(2,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设P (2cos θ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝(2cos θ，2sin θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－12μ＝2cos θ，32μ＝2sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝43sin θ，λ＝cos θ＋13sin θ，则λ＋μ＝53sin θ＋cos θ＝2213sin(θ＋φ)，其中tan φ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.]【对点训练2】 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．23 [如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1为正三棱柱．AB ＝2，三角形ADE 为直角三角形，∠ADE ＝90°.设BD ＝x ，CE ＝y ，则AD 2＝4＋x 2，AE 2＝4＋y 2，ED 2＝4＋(y －x )2.∵AE 2＝AD 2＋DE 2，∴4＋y 2＝4＋x 2＋4＋(y －x )2， 解得y ＝x ＋2x.∵AE 2＝4＋y 2＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2≥4＋(22)2＝12.∴AE ≥23，当且仅当x ＝2时取等号． 即直角三角形斜边的最小值为2 3.]应用2 分离参数法求参数范围【典例2】 (1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．(1)(－1,1] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ [(1)由cos 2x －sin x ＋a ＝0，得a ＝sin 2x ＋sin x －1.问题变成求函数a ＝sin 2x ＋sin x －1在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上的值域问题．∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，而0<sin x ≤1，∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为(－1,1]． (2)由f (x )＝x －1x ＋1得f ′(x )＝1＋1x ＋2>0.∴f (x )在[0,1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝－1，∴存在x 2∈[1,2]使－1≥x 2－2ax ＋4，即2a ≥x ＋5x在[1,2]上有解，∴2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，易知y ＝x ＋5x 在(0，5]上递减，∴y ＝x ＋5x在[1,2]上递减．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min＝2＋52＝92，∴2a ≥92，a ≥94，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.]在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值.②不等式有解、恒成立求参数的方法：g af x 恒成立，则g af xmax.g a f x 恒成立，则g a f x min，g a f x 有解，则g a f x min， g af x 有解，则g af xmax.分离参数法是求参数范围的常用方法，但应明确，不是万能方法，恰当又合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要讨论！【对点训练3】 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－2，＋∞) [当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，设f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.] 【对点训练4】 已知函数f (x )＝lg 1＋2x＋4x·aa 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ [参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其他变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x·a a 2－a ＋1＞0，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，得1＋2x ＋4x·a ＞0，故a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x .当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数，因此，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x max ＝－34，a ＞－34， 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.]应用3 构造函数解不等式、比较大小【典例3】 (1)已知函数f (x )满足f (x )＞f ′(x )，在下列不等式关系中，一定成立的是( )A ．e f (1)＞f (2)B ．e f (1)＜f (2)C ．f (1)＞e f (2)D ．f (1)＜e f (2)(2)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜－2f (x )，则使f (x )＞0成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(1)A (2)B [(1)∵f (x )＞f ′(x )，∴f ′(x )－f (x )＜0. ∴令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＜0，∴g (x )单调递减，又1＜2.∴g (1)＞g (2)， 即fe1＞fe2，∴e f (1)＞f (2)．选A.(2)令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x ＞0时，由题设可得F ′(x )＜0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递减函数，当x ＜0时，函数F (x )＝x 2f (x )是单调递增函数．又由题设可知F (1)＝F (－1)＝0，所以不等式F (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)．故选B.]根据式子结构构造指数函数、对数函数或幂函数. 根据式子的结构构造相应函数：x m f x＝xm －1mf x ＋xf x ；②⎝⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f xx 2；xf x ＝e xf x ＋fx ；④⎝⎛⎭⎪⎫f x e x ′＝fx －f xex；x ·ln x＝ln x ＋1.【对点训练5】 若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2C [设f (x )＝e x－ln x (0＜x ＜1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象可知两函数图象的交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A 、B 选项不正确．设g (x )＝e xx(0＜x ＜1)，则g ′(x )＝exx －x 2.又0＜x ＜1，∴g ′(x )＜0. ∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0＜x 1＜x 2＜1，∴g (x 1)＞g (x 2)， ∴x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C.]【对点训练6】 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＞f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f xex＜1的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)B [构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝e x·fx －e x ·f xx2＝f x －f xex.由题意得g ′(x )＜0恒成立，所以函数g (x )＝f xex在R 上单调递减．又g (0)＝f e＝1，所以f xex＜1，即g (x )＜1，解得x ＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.]应用4 利用方程思想求值【典例4】 (1)函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．(2)(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.(1)(1,0) (2)8 11 [(1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1， ∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0， 即P (1,0)．(2)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.法二：100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元)． 因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只)．]方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解.【对点训练7】 (2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．[解] (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列． ∴(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)，∴(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )，解得d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋2n －2＝2n －12. (2)法一：由a 1＝－10，d ＝2，得：S n ＝－10n ＋n n －2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1122－1214，∴n ＝5或n ＝6时，S n 取最小值－30. 法二：由(1)知，a n ＝2n －12.所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以，S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.应用5 方程思想与不等式【典例5】 关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为( )A ．(－3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2D ．(－1,2)C [由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2＜0可化为2x 2－3x －2＜0，即(2x ＋1)(x －2)＜0，解得－12＜x ＜2，即所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.]方程的根是对应不等式解集区间的端点值，所以不等式与方程是紧密联系的！【对点训练8】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．9 [由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )＜c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，所以c ＝9.]。
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 数学思想系统归纳 函数与方程思想讲义
函数与方程思想应用(一) 借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.[例1] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝32，a n ＋2a n ＋1＝0，则S n －1S n的最大值与最小值的积为________.[解析] 因为a n ＋2a n ＋1＝0，所以a n ＋1a n ＝－12，所以等比数列{a n }的公比为－12，因为a 1＝32，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而减小，则1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤56； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n ＜1，故－712≤S n －1S n＜0.综上，S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712.故S n －1S n 的最大值与最小值的积为56×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝－3572.[答案] －3572[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.[应用体验]1.已知等差数列{a n }满足3a 4＝7a 7，a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 取得最大值时n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 4＝7a 7，∴3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，∴4a 1＝－33d .∵a 1>0，∴d <0，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334d ＋n （n －1）2d ＝d 2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－352n ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －3542－⎝ ⎛⎭⎪⎫3542，∴n ＝9时，S n 取得最大值.答案：92.(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________，ca的取值范围是________. 解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B.又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴∠B ＝π3.又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2，∴0<∠A <π6.由正弦定理得c a＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca>2. 答案：π3(2，＋∞)应用(二) 转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.[例2] 已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1eC.(1，e －1]D.(1，＋∞)[解析] 令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .令函数f (x )＝ln x ＋1x，若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y ＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(x )＜0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＞0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e ＞1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .故选B. [答案] B[技法领悟]发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y ＝1x＋ln x 的单调性巧妙地求出实数k 的取值范围.此法也叫主元法.[应用体验]3.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________.解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.函数f (p )在[0，4]上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4.已知函数f (x )＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数.(1)已知函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f ′(x )＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由于函数f (x )在x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1.(2)由题设，知ax 2－3x ＋a ＋1＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即(x 2＋2)a －x 2－2x ＞0对任意a ∈(0，＋∞)都成立. 设g (a )＝(x 2＋2)a －x 2－2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ，g (a )为单调递增函数(a ∈R )，∴对任意a ∈(0，＋∞)，g (a )＞0恒成立的充要条件是g (0)≥0， 即－x 2－2x ≥0，∴－2≤x ≤0. 于是x 的取值范围是[－2，0].应用(三) 构造函数关系解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.[例3] 已知函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. [解] (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，知f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(－∞，ln2)上单调递减； 当x >ln2时，f ′(x )>0，故函数f (x )在区间(ln2，＋∞)上单调递增.所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2－2ln2＋2a .(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1(x ∈R )，则g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，由(1)知g ′(x )min ＝g ′(ln2)＝2－2ln2＋2a . 又a >ln2－1，则g ′(x )min >0.于是对∀x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增. 于是对∀x >0，都有g (x )>g (0)＝0. 即e x－x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.[技法领悟]一般地，要证f (x )>g (x )在区间(a ，b )上成立，需构造辅助函数F (x )＝f (x )－g (x )，通过分析F (x )在端点处的函数值来证明不等式.若F (a )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递增即可；若F (b )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递减即可.[应用体验]5.(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，连接AC .由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3).设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116.故选A. 6.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f （e ）e，b ＝f （ln2）ln2，c ＝－f （－3）3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.a ＜c ＜bB.b ＜c ＜aC.a ＜b ＜cD.c ＜a ＜b解析：选D 由题意，构造函数g (x )＝f （x ）x ，当x ＞0时，g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减.∵函数f (x )为奇函数，∴函数g (x )是偶函数，∴c ＝f （－3）－3＝g (－3)＝g (3)，又a ＝g (e)，b ＝g (ln2)，且3＞e ＞1＞ln2＞0，∴g (3)＜g (e)＜g (ln2)，∴c ＜a ＜b .故选D.应用（四） 构造方程形式解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.[例4] (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1，0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1，1)，得AM ―→＝(－1－x 1，1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2，1－y 2).由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] 2[技法领悟]本题由∠AMB ＝90°，知AM ―→·BM ―→＝0，从而得出关于k 的方程，问题即可解决.[应用体验]7.(2019·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( )A.82B.97C.100D.115解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9，（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100.故选C.8.(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去). 答案：2173 应用(五) 转换方程形式解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面.[例5] 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值.[解] 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin αcos β－cos αsin β＝15， 所以sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730.从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.法二：令x ＝tan αtan β.因为sin （α＋β）sin （α－β）＝103，且sin （α＋β）sin （α－β）＝sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1. 所以得到方程x ＋1x －1＝103.解方程得tan αtan β＝x ＝137.[技法领悟]本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β⎝ ⎛⎭⎪⎫或tan αtan β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值.[应用体验]9.(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上.因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15). 答案：(3，15)10.设非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，b ，c ＝120°，则|b |的最大值为________.解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－(b ＋c )， ∴|a |2＝|b |2＋2|b ||c |cos120°＋|c |2， 即|c |2－|b ||c |＋|b |2－4＝0， ∴Δ＝|b |2－4(|b |2－4)≥0，解得0<|b |≤433，即|b |的最大值为433.答案：433[总结升华]函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解.(3)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.。
年高考数学二轮复习 数学思想领航 一 函数与方程思想课件 文.pptx
典例 3 关于 x 的不等式 ex－x22－1－a－94x≥0 在12，＋∞上恰成立，则 a 的取值集合为__{_2__e_}__. 思维升华 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问 题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方 程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题.
即a13＝aa，所以a＝13 .经检验知a＝13 符合要求.
解析 6 答案
方法二
平面向量问题的函数(方程)法
7
模型解法 平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转 化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方 程思想来处理有关参数值问题.破解此类题的关键点： ①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、 数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程). ②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性 质求解问题. ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论.
4
典例1 函数y＝ax (a>0，且a≠1)的反函数的图象过点( a，a)，则a的值为
A.2
B.3
C.2或
1 2
√D. 12
解析 因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)， 且y＝logax的图象过点( a，a)， 所以a＝loga a，所以aa＝ a ， 所以a＝12，检验易知当a＝12 时，函数有意义.故选D.
方程思想的实质就是将所求的 量设成未知数，根据题中的等 量关系，列方程(组)，通过解方 程(组)或对方程(组)进行研究， 以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的.函
(新高考)2020版高考数学二轮复习第一部分思想方法数学思想方法第1讲函数与方程思想教学案理
第一部分 思想方法·数学思想方法数学解题思维策略有两条主线：数学基础知识和数学思想方法．数学基础知识是一条明线，而数学思想方法则是一条暗线．二轮复习时，我们应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法．熟练掌握好数学思想方法，会使你站在一个崭新的高度去审视问题，从而助力你在解答高考数学综合问题时能左右逢源，游刃有余！第1讲 函数与方程思想 思想方法·简明概述调研一 构建“目标函数”求最值【例1】 (1)[2019·河北衡水中学三调]平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为( )A.2－1B.3－1 C ．0D ．2解析：如图，∵AB →·AD →＝－1，AB ＝2，AD ＝1， ∴|AB →|·|AD →|cos ∠BAD ＝－1， ∴2cos ∠BAD ＝－1，cos ∠BAD ＝－12，∴∠BAD ＝120°.以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.由点M 在边CD 上，可设M ⎝⎛⎭⎪⎫x ，32，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，则MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－32，MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－x ，－32，所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝(x －1)2－14.令f (x )＝(x －1)2－14，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2，选D. 答案：D(2)[2019·河南新乡市二模]已知数列{a n }的首项a 1＝21，且满足(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋4n 2－16n ＋15，则{a n }的最小的一项是( )A ．a 5B ．a 6C ．a 7D ．a 8解析：∵(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋4n 2－16n ＋15， ∴(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋(2n －3)(2n －5)， ∴a n ＋12n －3＝a n 2n －5＋1，a n ＋12n －3－a n2n －5＝1. ∵a 1＝21，∴a 12－5＝21－3＝－7，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －5是首项为－7，公差为1的等差数列， ∴a n2n －5＝－7＋(n －1)×1＝n －8， ∴a n ＝(n －8)(2n －5)，n ∈N *.令f (n )＝(n －8)(2n －5)，n ∈N *，则其对称轴为n ＝10.52＝5.25，则{a n }的最小的一项是第5项，选A.答案：A(3)[2019·黑龙江哈三中期末]已知椭圆y 2a 2＋x 2＝1(a >1)的离心率e ＝255，P 为椭圆上的一个动点，若定点B (－1,0)，则|PB |的最大值为( )A.32 B ．2 C.52D ．3解析：由题意，得a 2－1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2552，解得a 2＝5，则椭圆方程为y 25＋x 2＝1，设P (x ，y )，则y 2＝5(1－x 2)， 所以|PB |＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋5(1－x 2) ＝－4x 2＋2x ＋6 ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋254. 因为x ∈[－1,1]，所以当且仅当x ＝14时，|PB |max ＝52，选C.答案：C(4)[2019·安徽芜湖期末]锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a sin C ＝3c ，a ＝1，则△ABC 的周长的最大值为( )A.3＋1B.2＋1 C ．3D ．4解析：∵2a sin C ＝3c ，∴2sin A sin C ＝3sin C ，∴sin A ＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3.由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝23，∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， ∴△ABC 的周长为1＋23sin B ＋23sin C＝1＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋23⎝⎛⎭⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B＝1＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴当B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时，周长取得最大值3，选C.答案：C 方法点睛构建“目标函数”就是把待求目标写成函数的形式，将所求问题转化为函数的最值或值域问题．(1)求最值或值域时，经常用到配方法、换元法、均值不等式法以及函数单调性法． (2)求最值或值域时，要根据题目的已知条件，准确求出目标函数的定义域．调研二 分离参数“显化函数关系”求范围【例2】 (1)[2019·河北衡水中学二调]若关于x 的方程log 13(a －3x )＝x －2有解，则实数a 的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．2解析：关于x 的方程log 13(a －3x )＝x －2有解⇔a －3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2有解⇔a ＝3x ＋32－x有解．因为3x＋32－x≥23x ·32－x＝6(当且仅当x ＝1时，等号成立)，所以a 的最小值为6，选B.答案：B(2)[2019·浙江金华十校期末]若关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立等价于a (x －1)≥x 3－3x 2＋2＝(x 3－x 2)－2(x 2－1)＝(x －1)(x 2－2x －2)恒成立．当x ＝1时，不等式显然恒成立； 当x <1时，不等式化为a ≤x 2－2x －2.∵y ＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3≥－3，x ∈(－∞，1]， ∴a ≤－3，选A. 答案：A(3)[2019·云南曲靖一中质量监测]已知函数f (x )＝e x(x －m )，m ∈R ，若对∀x ∈(2,3)，使得f (x )＋xf ′(x )>0，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，154B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，83C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫154，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，＋∞解析：∵f (x )＝e x(x －m )，∴f ′(x )＝e x (x －m )＋e x ＝e x(x －m ＋1)．由题意知f (x )＋xf ′(x )>0⇔e x (x －m )＋x e x (x －m ＋1)>0⇔e x [x 2＋(2－m )x －m ]>0在(2,3)上恒成立，∴x 2＋(2－m )x －m >0在(2,3)上恒成立，∴m <x 2＋2x x ＋1在(2,3)上恒成立．令g (x )＝x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1在(2,3)上单调递增，∴g (x )>g (2)＝83，则m ≤83，选B.答案：B 方法点睛(1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化为求函数的值域或最值问题来解决．(2)不等式有解、恒成立求参数的方法：g (a )>f (x )恒成立，则g (a )>f (x )max . g (a )<f (x )恒成立，则g (a )<f (x )min . g (a )>f (x )有解，则g (a )>f (x )min . g (a )<f (x )有解，则g (a )<f (x )max .(3)分离参数法是求参数范围的常用方法，恰当合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要分类讨论．调研三 “构造函数”解不等式、求最值、比较大小【例3】 (1)[2019·湖北恩施质检]设函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的函数，f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (x )＋x ln xf ′(x )>0，则不等式ln xf (x )>0的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(0,1)解析：构造函数g (x )＝ln xf (x )(x >0)，则g ′(x )＝1xf (x )＋ln xf ′(x )＝f (x )＋x ln xf ′(x )x >0，所以函数g (x )＝ln xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，而ln xf (x )>0⇔lnxf (x )>0⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)⇒x >1，故选B.答案：B(2)[2019·吉林调研]设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对任意实数x ，都有f (x )＝f (－x )＋2x .当x <0时，f ′(x )<2x ＋1，若f (1－a )≤f (－a )＋2－2a ，则实数a 的最小值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1解析：设g (x )＝f (x )－x 2－x ， 则g ′(x )＝f ′(x )－2x －1.因为当x <0时，f ′(x )<2x ＋1，所以g ′(x )<0，即g (x )在(－∞，0)上单调递减． 又g (x )＝f (x )－x 2－x ， 则g (－x )＝f (－x )－x 2＋x . 又f (x )＝f (－x )＋2x ， 则f (x )－f (－x )－2x ＝0，所以g (x )－g (－x )＝f (x )－f (－x )－2x ＝0，即g (x )为R 上的偶函数．又f (1－a )≤f (－a )＋2－2a ⇔f (1－a )－(1－a )2－(1－a )≤f (－a )－(－a )2－(－a )， 即g (1－a )≤g (－a )，所以|1－a |≤|a |， 解得a ≥12，即a 的最小值为12，故选C.答案：C(3)[2019·吉林延边质检]已知定义在R 上的函数f (x )和g (x )满足f (x )＝f ′(1)2e2x －2＋x 2－2f (0)x ，且g ′(x )＋2g (x )<0，则下列不等式成立的是( )A ．f (2)g (2017)<g (2019)B ．f (2)g (2017)>g (2019)C ．g (2017)<f (2)g (2019)D ．g (2017)>f (2)g (2019) 解析：∵f (x )＝f ′(1)2e2x －2＋x 2－2f (0)x ，∴f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，得f (0)＝1， ∴f (0)＝f ′(1)2e －2＝1，得f ′(1)＝2e 2，∴f (x )＝e 2x＋x 2－2x . 设F (x )＝e 2xg (x )，则F ′(x )＝2e 2xg (x )＋e 2xg ′(x )＝e 2x[2g (x )＋g ′(x )]<0，∴F (x )在R 上单调递减， ∴F (2017)>F (2019)， ∴e2017×2g (2017)>e 2019×2g (2019)，∴g (2017)>e 4g (2019)．又∵f (2)＝e 4，∴g (2017)>f (2)g (2019)， 故选D. 答案：D 方法点睛常见的构造函数的方法有如下几种： 1．利用和、差函数的求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . 2．利用积、商函数的求导法则构造函数(3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)； 上述(3)(4)都是利用积、商函数的求导法则构造函数的一般情况，但在考试中，g (x )往往是具体函数，所以还有如下列(5)～(16)常见构造函数类型．(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x(x ≠0)； (7)对于不等式xf ′(x )＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x nf (x )； (8)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n(x ≠0)； (9)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e xf (x )； (10)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )ex ；(11)对于不等式f ′(x )＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kxf (x )； (12)对于不等式f ′(x )－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )ekx；(13)对于不等式f (x )＋f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )；(14)对于不等式f (x )－f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x(sin x ≠0)；(15)对于不等式f ′(x )－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )；(16)对于不等式f ′(x )＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x(cos x ≠0)．调研四 方程思想在解题中的应用【例4】 (1)[2019·福建龙岩质检]若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tanα2等于( )A.23 B.12 C.32D.32解析：∵3sin α＋2cos α＝2， ∴6sin α2cos α2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin 2α2＋cos2α2＝2，∴6tan α2＋2－2tan2α2tan 2α2＋1＝2，∴3tan α2＋1－tan 2α2＝tan 2α2＋1，解得tan α2＝0或32.又∵α∈(0，π)，∴tan α2>0，∴tan α2＝32，故选D.答案：D(2)[2019·河北省石家庄市质检]将函数y ＝e x(e 为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则角θ满足的条件是( )A ．esin θ＝cos θB ．sin θ＝ecos θC ．esin θ＝1D ．ecos θ＝1解析：设直线y ＝kx 与y ＝e x相切，切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝e x，∴k ＝e x 0. 又∵e x 0＝kx 0，∴k ＝kx 0，解得x 0＝1，k ＝e ，即tan θ＝e ，∴sin θ＝ecos θ，故选B. 答案：B(3)[2019·河北衡水中学二调]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝5，a 11－a 4＝7，则S 13＝( )A ．152B ．154C ．156D ．158解析：设公差为d ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝5，7d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝1，∴S 13＝13×6＋13×122＝156，故选C.答案：C(4)[2019·四川省泸州市二诊]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与圆x 2＋y 2＝a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B .若|AB |＝|BF 2|，则C 的离心率为( )A.5＋2 3 B ．5＋2 3 C. 3D. 5解析：如图，由双曲线的定义可得 |BF 1|－|BF 2|＝2a ，又|AB |＝|BF 2|， 可得|AF 1|＝2a ，则|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，设AB 与圆x 2＋y 2＝a 2切于点T ，连接OT ，则OT ⊥AB . 在Rt △OTF 1中，cos ∠OF 1T ＝|F 1T ||OF 1|＝c 2－a2c.连接AF 2，在△AF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠AF 1F 2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－|AF 2|22|AF 1|·|F 1F 2|＝4a 2＋4c 2－16a 22·2a ·2c ＝c 2－3a 22ac.由∠OF 1T ＝∠AF 1F 2，得c 2－a 2c ＝c 2－3a 22ac，化简得13a 4＋c 4－10a 2c 2＝0，两边同除以a4得e 4－10e 2＋13＝0，解得e 2＝5±2 3.又e >1，则e 2＝5＋23，e ＝5＋23，故选A.答案：A 方法点睛方程思想的应用十分广泛，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，都可考虑通过构建方程或方程组求解，其主要应用有以下几个方面：(1)方程思想在三角函数求值问题中的应用．如：“切弦”互化问题，一般是将“弦”化“切”建立关于tanα的方程求解；结合三角恒等式sin2α＋cos2α＝1与已知条件构建方程组求解．(2)方程思想在函数与导数中的应用．如：曲线的切点问题，一般是利用导数的几何意义和已知条件，构建关于切点横坐标x0的方程求解．(3)方程思想在数列中的应用．如：等差(比)数列的求值问题，一般利用其通项公式与前n项和公式，构建关于首项与公差(比)的方程组求解．(4)方程思想在平面解析几何中的应用．如：椭圆或双曲线的离心率求值问题，一般是由已知条件构建关于a，b，c的方程求解．。
2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块一第一讲函数与方程思想Word版含解析.doc
模块一数学思想与解题技法篇第一讲函数与方程思想思想方法解说函数的思想：是经过成立函数关系或结构函数，运用函数的图象和性质去剖析问题、转变问题，进而使问题获取解决的思想．2．方程的思想：是成立方程或方程组或许结构方程或方程组，经过解方程或方程组或许运用方程的性质去剖析问题、转变问题，进而使问题获取解决的思想 .重点一函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用[分析](1)当 y＝a 时， 2(x＋1)＝a，所以 x＝a－1. 2设方程＋＝a 的根为t，则t＋＝，则＝－a＋1＝x lnx lnt a|AB| t2t ＋lnt＝ t －lnt＋1 .设 g(t) ＝ t －lnt ＋ 1(t>0) ，则 ′ (t) ＝1－ 1－＋ 1g t222 2 22 2tt －1＝ 2t ，令 g ′(t)＝0，得 t ＝1，当 t ∈(0,1)时， g ′(t)<0；当 t ∈(1，33＋∞)时， g ′(t)>0，所以 g(t)min ＝ g(1)＝ 2，所以 |AB|≥2，所以 |AB|的3最小值为 2，应选 D.(2)由于函数 f(x)＝log 3(9x ＋t 2)是定义域 R 上的增函数，且为 “优美函数 ”，则 f(x)＝x 起码有两个不等实根，由logx ＋t 2＝ ，得9 x3(9) x2xx 2x2x λ2＋t ＝3，所以 (3) －3 ＋t ＝0 有两个不等实根．令 λ＝3 ，则 λ( >0)＝ － 4t 2>0，1 1－λ＋t 2＝01有两个不等正实根，所以t 2>0，解得－ 2<t<2，11且 t ≠0，所以实数 t 的取值范围是 －2，0∪0，2.[答案] (1)D (2)C函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧(1) 求字母 (式子 )的值的问题常常要依据题设条件建立以待求字母(式子 )为元的方程 (组)，而后由方程 (组)求得．(2)求参数的取值范围一般有两种门路：其一，充足发掘题设条件中的不等关系，建立以待求字母为元的不等式 (组)求解；其二，充足应用题设中的等量关系， 将待求参数表示成其余变量的函数， 而后，应用函数知识求值域．(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是结构适合的函数，利用函数的图象和性质解决问题． 同时要注意在一个含多个变量的数学识题中，需要确立适合的变量和参数， 进而揭露函数关系，使问题更明亮化．一般地， 已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．[对点训练 ]1 ． ·湖南省湘中名校高三联考 ) 若正数a ， 知足： 1＋2＝1，(2017 b a b则 2 ＋ 1的最小值为 ( )a －1b －23 253 2A ．2 B.2C.2D ．1＋ 41 22a[分析]由 a ，b 为正数，且 a ＋b ＝1，得 b ＝a －1>0，所以 a －1>0，所以2 1 ＝ 2 ＋ 1 ＝2 a －1 － 1 ＋ －2 － 2a a － ＋ 2 ≥2a b a 1 a －1－212a －1 2 a －1 1 2a －1·2 ＝2，当且仅当 a －1＝ 2 和a ＋ b ＝1 同时成立，即 a ＝＝ 3 时等号成立，所以 2 ＋ 1 的最小值为 2，应选 A. b a －1 b －2[答案] A． ·豫南九校联考 若对于 的方程 － －|x ＋ 2|有实根，2 ) x 2 2＝2＋a(2017则实数 a 的取值范围是 ________．[分析] 令 f(x)＝2－2 －|x ＋2|，要使方程 f(x)＝2＋a 有实根，只要 2＋ a 是 f(x)值域内的值，又可知 f(x)的值域为 [1,2)，∴ 1≤2＋a<2，解得－ 1≤a<0.[答案 ] [－1,0)重点二函数与方程思想在数列中的用[ 思流程 ] (1)由已知推―→求a n―→关系式由已知方程(2) 结构函数―→研究所结构函数的性―→ 得果[ 分析 ] (1)∵a n＋1－a n＝2n，∴当 n≥2 ， a n－a n－1＝2(n－1)，∴a n＝(a n－ a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋⋯＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋ (2n －4)＋⋯＋2＋ 33＝n2－n＋33(n≥2)．又 a1＝33＝1－1＋33，故 a1足上式，∴a n＝n2－n＋33(n∈N* )，∴an n＝n＋33n－1，3333令 f(x)＝x＋x－1(x>0)， f′(x)＝1－x2 .令 f′(x)＝0，得 x＝ 33，易知当 x∈(0， 33)，f ′(x)<0，当 x∈( 33，＋∞)，f ′(x)>0，∴ f(x)在区 (0，33)上减，在区 (33，＋∞)上增，33533321又 5< 33<6 ，且f(5) ＝ 5＋5－ 1＝5， f(6)＝ 6＋6－1＝2 ，f(5)>f(6)，∴当 n＝6 ，an n有最小212.(2)结构函数 f(x)＝x5＋2016x，f(x)是奇函数，且在R 上增，依意得，f(1－a1008)＝－ f(1－a1009)，又－ f(1－a1009)＝f(a1009－1)，f(1－a1008)＝f(a1009－1)，所以 1－a1008＝a1009－1，即 a1008＋a1009＝2，所以 S2016＝a1＋a2016×2016＝a1008＋a1009×2016＝2016，清除 B，22D；由 f(1－a1008)>f(1－a1009)，得 1－a1008>1－a1009，所以 a1008<a1009，故 C.21(2)C[答案] (1) 2函数与方程思想在数列中的用技巧(1)数列的通与前n 和是自量整数的函数，可用函数的点去理数列，常波及最或参数范，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(2)解本例 (2)的关：一是会结构函数，即会通察已知等式的特色，结构函数，并判断所结构的函数的奇偶性与性；二是会利用函数的性，得出数列的性，进而比大小；三是能灵巧运用等差数列的性．[点 ]3．(2017 ·安徽皖江名校考 )等差数列 { a n} 的前 n 和 S n，且足S1S2S3S15S15>0，S16<0，a2，a2，a3，⋯， a15中最大的()S 8 S 7 S 6S 9A.a 8B.a 7C.a 6 D.a 9 [分析]15 a 1＋a 15>0，得 a 1＋a 15>0， 由 S 15＝ 2a 8>0，由 S 16＝ 16 a 1 ＋a 16<0，得 a 1 ＋a 16<0， a 8 ＋a 9<0，2∴ a 9<0，∴公差 d<0，所以 { a n } 减，S 1 S 2 S 8 S 9 S 10 S 15易知a 1 >0，a 2>0，⋯，a 8 >0，a 9 <0，a 10<0，⋯，a 15<0，且 S 1<S 2<⋯<S 8，a 1>a 2>⋯>a 8，S 1 S 2S 15S 8所以在 a 1，a 2 ，⋯，a 15中最大的是 a 8.故 A.[答案] A4．(2017 ·西安一模 ) 等比数列 { a n } 足 a 1＋ a 3＝10，a 2＋a 4＝5，a 1a 2⋯a n 的最大 ________．[分析]等比数列 { a n } 的公比 q ， 由 a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q(a 1＋a 3)＝ 5，知 q ＝1.又 a 1＋a 1q 2＝ 10，∴ a 1＝8.2n － 1 nn 1＋2＋⋯＋(n － 1)3n1 2故 a 1a 2⋯a a ＝a 1q＝2·23n － n 2 ＋ n－n 2 7＋ n＝ 22 2＝2 22.t ＝－ n 2 7n1 2－7n)，2 ＋2 ＝－ 2(n合 n ∈N *可知 n ＝3 或 4 ， t 有最大 6. 又 y ＝2t 增函数，进而 a 1a 2⋯a n 的最大 26＝64.[答案]64重点三 函数与方程思想在分析几何中的应用[ 解] (1)设直线 AP 的斜率为 k ，x 2－1k ＝41 ＝x －1，2x ＋213由于－ 2<x<2，所以直线 AP 斜率的取值范围是 (－1,1)．1 1(2)设直线 AP 的斜率为 k ，则 AP 方程为 kx －y ＋2k ＋4＝0.9 3 由题意 BQ ⊥AP.故 BQ 的直线方程为x ＋ky －4k －2＝0.－ ＋1 ＋1＝0，联立直线 AP 与 BQ 的方程 kx y 2k49 3x ＋ky －4k －2＝0， 解得点 Q 的横坐标是 x Q ＝－k 2＋ 4k ＋32.2 k ＋1由于 |PA|＝ 1＋k 2＋ 1 ＝ 1＋ k 2 ＋ ，x 2 (k 1)2|PQ|＝ 1＋k 2(x Q －x)＝－ k － 1 k ＋1 ，k 2＋1所以 |PA| ·|PQ|＝－ (k －1)(k ＋1)3.令 f(k)＝－ (k －1)(k ＋1)3，由于 f ′(k)＝－ (4k－2)(k＋1)2，所以 f(k)在区间－1，1上单一递加，1，1上单一递减，22127所以当 k＝2时， |PA| ·|PQ|获得最大值16.(1)求圆锥曲线的方程、离心率，往常利用方程的思想成立a，b，c的关系式求解．(2)解决分析几何中范围、最值问题的一般思路为：在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或许多个)变量的函数，而后借助于函数值域、最值的研究来使问题得以解决．[对点训练 ]5．(2017 ·郑州质检 )已知圆 M：x2＋y2＝r2(r>0)与直线 l1：x－3y→＋4＝0 相切，设点 A 为圆上一动点， AB⊥x 轴于 B，且动点 N 知足 AB →＝2NB，设动点 N 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)直线 l 与直线 l1垂直且与曲线 C 交于 P，Q 两点，求△ OPQ(O 为坐标原点 )面积的最大值．[ 解] (1)设动点 N(x，y)，A(x0，y0)，由于 AB⊥x 轴于 B，所以B(x0,0)，|4|由题意得， r＝＝2，所以圆 M 的方程为 M：x2＋y2＝4.→ →由于 AB ＝2NB ，所以 (0，－ y 0)＝2(x 0－x ，－ y)，x 0＝x ， 即y 0＝2y ，2将 A(x,2y)代入圆 M ： x 2＋y 2＝4 中，得动点 N 的轨迹方程为 x4＋y 2＝1.(2)由题意，设直线 l ： 3x ＋y ＋m ＝0，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆C 的方程得y ＝－ 3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx＋4m 2－4＝ 0，＝ 192m 2－4×13(4m 2－4)＝16(－m 2＋ 13)>0，解得 m 2<13，x 1＋2＝－8 3m，x 1·2＝4 m 2－1 x13x 13.又点 O 到直线 l 的距离 d ＝|m|，|PQ|＝2|x 1－x 2 ＝ 8213－ m ，2| 131 |m| 8 13－ m2 2m 2 13－m 2≤ 1，当且仅当 m2所以 S △ OPQ ＝ · ·13 ＝132 2＝13－ m2，即 m ＝± 226时，等号成立．故△ OPQ 面积的最大值为 1.—————————————————————1．函数思想与方程思想是亲密有关的，如函数问题能够转变为方程问题来解决， 方程问题也能够转变为函数问题加以解决，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y ＝f(x)的零点，再如方程 f(x)＝g(x)的解的问题能够转变为函数 y ＝f(x)与 y ＝g(x)的交点问题，也能够转变为函数 y＝ f (x)－g(x)与 x 轴的交点问题，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域．2．当问题中波及一些变化的量时，就需要成立这些变化的量之间的关系，经过变量之间的关系研究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及议论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，能够经过成立函数关系式或结构中间函数来求解．。
高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料 教案
高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料一、基础知识整合函数与方程的思想是中学数学的基本思想.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. 用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想,就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标(即函数y ＝f (x )的零点)；解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
如数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点处理数列问题;又如函数f (x )＝nb ax )(+（n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;又如解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.又如立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决等.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
备战高考数学二轮复习 思想3.1 函数与方程思想教学案 文
思想3.1 函数与方程思想1． 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2． 和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 【热点分类突破】类型一 函数与方程思想在数列中的应用例1 ．【2018河南林州一中调研】设{}n a 是公比大于1的等比数列, n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知37S =，且123,,1a a a - 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若421log ,1,2,3......n n b a n +== ，求和:12233411111......n nb b b b b b b b -++++.例2 知数列{}n a 中，11a =，且点()()*1n n P a a n N +∈，在直线10x y -+=上．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若函数()123123nnf n n a n a n a n a =++++++++…（n N ∈，且2n ≥），求函数()f n 的最小值； ⑶设1n nb a =，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()()12311n n S S S S S g n -++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．试题分析：（1）将点）（1,+n n a a P 代入直线01=--y x 得到11=-+n n a a ，∴数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由11=a 得到}{n a 的通项公式；（2）由（1）可得nnn n n f 22211)(+++++=， ∴22112213221)1(+++++-+++++=+n n n n n n n n n f ，0)()1(≥-+∴n f n f ，)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是65)2(=f ；（3）由（1）及nS n b n n 1312111++++=⇒= ，)2(11≥=-∴-n n S S n n ，即1)1(11+=----n n n S S n nS ，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n ，,1-n 1211++++=-∴-n n S S S S nS )2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n ，最后将该式整理即可得出n n g =)(．试题解析：⑴ 点）（1,+n n a a P 在直线01=--y x 上，即11=-+n n a a ，且11=a ，∴数列}{n a 是以1为【规律总结】(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解． 【举一反三】已知等比数列{}n a 的公比1q >，12a =且1a ，2a ，38a -成等差数列．数列{}n b 的前n 项和为n S ，且28n S n n =-．（1）分别求出数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n nb c a =，若n c m £，对于n *"蜰恒成立，求实数m 的最小值． 【解析】（1）12a =且1a ，2a ，38a -成等差数列，\21328a a a =+-， 即211128a q a a q =+-，22460q q --=，\13q =，21q =-．1q >，\3q =．\123n n a -=?（n *蜰）． 当1n =时，2111817b S ==-?-，当2n ³时，()()221818129n n n b S S n n n n n -轾=-=-----=-犏臌．当1n =时，1219b ?=满足上式，\29n b n =-（n *蜰）．（2）由（1）得，12923n n n c --=´，若n c m £，对于n *"蜰恒成立，即n m c ³的最大值．又112729420232323n n n n nn n n c c +----+-=-=创?．当1n n c c +=时，即5n =时，56c c =；当1n n c c +>时，即5n <（n *蜰）时，12345c c c c c <<<<鬃?；当1n n c c +<时，即5n >（n *蜰）时，6789c c c c >>>>鬃?． \n c 的最大值为561162c c ==，即1162m ³．\m 的最小值为1162．类型二 函数与方程思想在方程中的应用例3已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若方程()2123f x x x +=+-的零点分别为12,,...,n x x x ，则12n x x x +++=（ ）A ．nB ．n - C.2n - D ．3n - 【答案】B【规律总结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．【举一反三】 定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =（ ）A ．6B ．4或6C ．6或2D ．2【答案】D【解析】由图可知方程22(21)0t m t m -++=有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0,4)；由224(21)4026m m m m -+⨯+=⇒==或，又当2m =时，另6m =一根为1，满足题意；当时，另一根为9，不满足题意；所以选D.类型三 函数与方程思想在不等式中的应用例4【2018河南名校联考】已知函数()xf x e ax =-.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若存在[],0,2m n ∈，且1m n -≥，使得()()1f m f n =，求证： 11ae e ≤≤-. 试题分析：（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对a 进行分类讨论，当0a ≤时显然不行， 0a >时，不能有(),ln ,m n a ∈+∞，设02m n ≤<≤，则由0ln 2m a n ≤<<≤即可，利用单调性即可证出.因为()f x 在(),ln m a 上单调递减，在()ln ,a n 上单调递增，且()()1f m f n =，所以当m x n ≤≤时， ()()()f x f m f n ≤=.由02m n ≤<≤， 1m n -≥，可得[]1,m n ∈，故()()()1f f m f n ≤=， 又()f x 在(),ln a -∞上单调递减，且0ln m a ≤<，所以()()0f m f ≤， 所以()()10f f ≤，同理()()12f f ≤，即21{2e a e a e a-≤-≤-，解得21e a e e -≤≤-，所以11ae e ≤≤-. 【规律总结】根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想． 【举一反三】已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）当e a =-时，证明：()20f x +≤； （Ⅲ）当e a =-时，试判断方程类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例5【2018广西柳州摸底联考】已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()112212,,,()A x y B x y x x <两点，且6AB =. （1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.试题分析：（1）利用点斜式设直线直线AB 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求AB ,再根据6AB =解得2p =.（2）先设直线DE 方程x my t =+, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简MD ME ⊥，得48t m =+或44t m =-+,代入DE 方程可得直线DE 过定点()8,4-（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为： x my t =+，联立2{ 4x my ty x=+=，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>①. 设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-.∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++ 22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+，∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+.∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）.【规律总结】1、在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量；2. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．【举一反三】【2018江西南昌摸底联考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点， O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.。
2019江苏高考数学二轮练习教学案(祥解)--函数与方程思想
2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--函数与方程思想注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，那么从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查、”函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决、方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决、函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想、函数与方程的思想在解题应用中主要表达在两个方面：(1)借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2)通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解、由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视、1.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，那么实数a＝________.2.函数f(x)＝ax－a＋1存在零点x0，且x0∈[0,2]，那么实数a的取值范围是________、3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2，3，6，那么该长方体的外接球体积为________、4.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，那么实数a的取值范围是________、【例1】假设a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围、【例2】设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－a 2.(1)求证：函数f(x)有两个零点；(2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1－x2|的取值范围；(3)求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内、【例3】如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程、【例4】函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m>0(1)假设m<1，求证：函数f(x)是增函数；(2)如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m的取值范围；(3)如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值、1.(2017·北京)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥2，x －13，x<2，假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________、2.(2017·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和、假设a 1＝1，a k ＋a 4＝0，那么k ＝________.3.(2017·福建)假设曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，那么实数a 的取值范围是________、4.(2017·天津)设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，那么实数m 的取值范围是________、5.(2017·辽宁)设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f(x)≤2x －2.6.(2017·全国)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上、(1)求圆C 的方程；(2)假设圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值、(2017·广东)(本小题总分值14分)二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)、设函数f(x)＝g x x .(1)假设曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值(2)k(k ∈R )如何取值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点、解：(1)设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，那么g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，a ＝1.(1分)又g(x)在x ＝－1取极小值，－b 2＝－1，b ＝2，∴g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ；(2分)f(x)＝g x x ＝x ＋m x ＋2，设P(x 0，y 0)，那么|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，(4分) 当且仅当2x 02＝m 2x 02时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值 2.当m>0时，22m ＋2m ＝2，∴m ＝2－1(6分)当m<0时，－22m ＋2m ＝2，∴m ＝－2－1(7分)(2)由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋mx ＋2＝0，得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0.(*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m 2；(8分) 当k ≠1时，方程(*)Δ＝4－4m(1－k)>0，假设m>0，k>1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k21－k ＝1±1－m 1－kk －1；(10分)假设m<0，k<1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点，x ＝－2±4－4m 1－k 21－k＝1±1－m 1－kk －1；(12分) 当k ≠1时，方程(*)Δ＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有一个零点，x ＝1k －1.(14分)第19讲函数与方程思想1.在等差数列{a n }中，a 5＝10，a 12＝31，那么通项a n ＝__________.【答案】3n －5解析：显然公差不为零，故通项为n 的一次函数，设a n ＝an ＋b ，a ，b为常数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋b ＝10，12a ＋b ＝31⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－5，∴a n ＝3n －5. 2.设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，那么实数m 的取值范围是____________、【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m 2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0，因为x 2＞0，所以1－1m 2＋4m 2≥2x ＋3x 2，设g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 于是题目化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立的问题、 为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞的最大值、设u ＝1x ，那么0＜u ≤23. 函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23上是增函数，因而在u ＝23处取得最大值、 h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2×23＝83，所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(解法2)(前面同解法1)原题化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立的问题、为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞的最大值、 设t ＝2x ＋3，那么t ∈[6，＋∞)、g(x)＝h(t)＝4t t 2－6t ＋9＝4t ＋9t －6.因为函数t ＋9t 在(3，＋∞)上是增函数，所以当t ＝6时，t ＋9t 取得最小值6＋32.从而h(t)有最大值46＋32－6＝83.所以1－1m 2＋4m 2≥g max (x)＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(解法3)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m 2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0，令F(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3.由于F(0)＝－3＜0，那么其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立，必须使F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32为最小值，即实数m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1－1m 2＋4m 2＞0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥0， 解得m 2≥34，因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.基础训练1.1解析：a ＋2＝3，a ＝1，a 2＋4＞3，不用讨论、2.a ≤－1或a ≥1解析：f(0)·f(2)≤0，(a ＋1)(a －1)≥0.3.6π解析：设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，⎩⎨⎧ xy ＝2，xz ＝3，yz ＝6⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3， 2r ＝x 2＋y 2＋z 2＝6，V ＝43πr 3＝6π.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1解析：a ＝－sin 2x －cosx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx －122－54，最小值为－54，最大值为1.例题选讲例1点拨：此题解法很多，关键要学会转化、解：(解法1)将ab ＝a ＋b ＋3看成是含两个未知数的方程，可以用一个字母去表示另一个字母，再代入到a ＋b 中，转化为一元函数、b ＝a ＋3a －1，a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝2＋(a －1)＋4a －1，由b ∈R ＋得a ＞1，∴a ＋b ＝2＋(a －1)＋4a －1≥2＋2a －14a －1＝6，当且仅当a －1＝4a －1即a ＝3时取等号，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)、(解法2)直接利用基本不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，构造不等式，然后解不等式即可、ab ＝a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，(a ＋b)2－4(a ＋b)－12≥0，(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.从而得a ＋b ≥6.(当且仅当a ＝b ＝3时取等号)变式训练假设a ，b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围、【答案】ab ≥9.例2点拨：结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决、(1)证明：∵f(1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0.∴c ＝－32a －b.∴f(x)＝ax 2＋bx －32a －b ， 判别式Δ＝b 2－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －b ＝b 2＋6a 2＋4ab ＝(2a ＋b)2＋2a 2， 又∵a ＞0，∴Δ＞0恒成立，故函数f(x)有两个零点、(2)解：假设x 1，x 2是函数f(x)的两个零点，那么x 1，x 2是方程f(x)＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－b a －32. ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a －32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋22＋2≥ 2. |x 1－x 2|的取值范围是[2，＋∞]、(3)证明：f(0)＝c ，f(2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴f(2)＝a －c.①当c ＞0时，有f(0)＞0，又∵a ＞0，∴f(1)＝－a 2＜0，∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点、②当c ≤0时，f(2)＝a －c ＞0，f(1)＜0，f(0)＝c ≤0，∴函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点，综合①②可知函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点、变式训练设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)假设S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围、解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，S 6＝6a 1＋6×52d ＝－3，解得a 1＝7，d ＝－3.∴S 6＝－3，a 1＝7.(2)∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d)2＝d 2－8，∴d 2－8≥0.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.例3解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A(2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.例4(1)证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x 2)＝3x －x 3，因为f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x 2)>0，所以f(x)是增函数，(2)解：令g(x)＝x|x 2－3|，x ≥0，那么g(x)＝⎩⎨⎧ 3x －x 3，0≤x ≤3，x 3－3x ，x> 3.当0≤x ≤3时，g ′(x)＝3－3x 2，由g ′(x)＝0得x ＝1，所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数、当x>3时，g ′(x)＝3x 2－3>0，所以g(x)在[3，＋∞)上是增函数，所以x ∈[0，3]时，g(x)max ＝g(1)＝2，g(x)min ＝g(0)＝g(3)＝0，所以0<m<1不符合题意，1≤m ≤3符合题意、当m>3时，在x ∈[0，3]时，f(x)∈[0,2]，在x ∈[3，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3<m ≤2.综上，m 的取值范围是[1,2]、(3)由(2)可知，0<m<1时，函数f(x)的最大值为f(m)＝3m －m 3，当1≤m ≤2时，函数f(x)的最大值为f(1)＝2.由题意知2＝λm 2，即λ＝2m 2，m ∈[1,2]时这是减函数，∴λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m 3－3m ，由题意知m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3m ，这是增函数，∴λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 综上，当m ＝2时，实数λ取最小值为12.变式训练函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式、证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x 2，那么F ′(x)＝g ′(x)－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x 2′＝lnx －ln a ＋x 2.当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数、从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)、因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0，即0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2.再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，那么G ′(x)＝lnx －ln a ＋x 2－ln2＝lnx －ln(a ＋x)、当x ＞0时，G ′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数、因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0，即g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.综上得0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.高考回顾1.(0,1)解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是(0,1)、2.10解析：S 9＝S 4,9a 1＋9×82d ＝4a 1＋4×32d ，a 1＝1，d ＝－16；由1＋(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，得k ＝10.此题也可用数列性质解题，S 9＝S 4a 7＝0.3.(－∞，0)解析：由题意可知f ′(x)＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0a ＝－13x 3(x ＞0)a ∈(－∞，0)、4.(－∞，－1)解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －1mx －m x ＜0恒成立，显然m ≠0.所以当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m 2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解，综上所述实数m 的取值范围是m ＜－1.5.(1)解：f ′(x)＝1＋2ax ＋b x .由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f 10，f 1 2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝3.(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，那么g ′(x)＝－1－2x ＋3x ＝－x －12x ＋3x. 当0＜x ＜1时，g ′(x)＞0；当x ＞1时，g ′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞)单调减少、∴x ＝1时，g(x)取极大值即为最大值、而g(1)＝0，故当x ＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x －2.6.解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)、故可设圆C 的圆心为(3，t)，那么有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.那么圆C 的半径为32t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋a ＝0，x －32y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此，x 1,2＝8－2a56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12，① 由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0，②由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.。
2020版高考数学二轮复习第3部分策略1活用4大数学思想1函数与方程思想教案(理)
1．函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系.应用1 目标函数法求最值【典例1】(1)已知在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的最大值为________．(2)已知正四棱锥P ABCD 中，PA ＝23，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于________．切入点：(1)联想三角函数的定义、平面向量的坐标运算，建系求解． (2)建立体积V 与高h 之间的等量关系，借助导数等工具求V 最大时的h 值． (1)2213(2)2 [(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则OA →＝(2,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设P (2cos θ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝(2cos θ，2sin θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－12μ＝2cos θ，32μ＝2sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝43sin θ，λ＝cos θ＋13sin θ，则λ＋μ＝53sin θ＋cos θ＝2213sin(θ＋φ)，其中tan φ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.(2)设正四棱锥P ABCD 的底面边长为a ，∵PA ＝23，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝12，即a 22＋h 2＝12，故a 2＝24－2h 2，∴正四棱锥P ABCD 的体积V ＝13a 2h ＝8h －23h 3(h ＞0)，∴V ′＝8－2h 2，令V ′＞0得0＜h ＜2，令V ′<0得h >2，∴当h ＝2时，正四棱锥P ABCD 的体积取得最大值．]【对点训练1】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10(2)(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．(1)A (2)0 －10 [(1)因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝41＋k 2k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)． 所以|AB |＋|DE |＝41＋k2k2＋4(1＋k 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝－3，S 5＝－10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋5×42d ＝－10，解得a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝－4＋4×1＝0，S n ＝na 1＋n n －12d ＝－4n ＋n n －12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－818， ∴n ＝4或n ＝5时，S n 取最小值为S 4＝S 5＝－10.]应用2 分离参数法求参数范围【典例2】(1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．(2)若对x ∈(－∞，－1]，不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1恒成立，则实数m 的取值范围是________．切入点：(1)法一：分离参数构建函数，将方程有解问题转化为求函数的值域． 法二：三角换元转化为一元二次方程在给定区间上有解．(2)分离参数，建立函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值及解不等式问题． (1)(－1,1] (2)(－2,3) [(1)法一：(分离变量)把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x ，设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，显然，当且仅当a 属于f (x )的值域时有解．因为f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，且由x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2知sin x ∈(0,1]，易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]．法二：(换元法)令t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，可得t ∈(0,1]， 将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解，设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示，因此，f (t )＝0在(0,1]上有解 等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0＜0，f1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ＜0，1－a ≥0，所以－1＜a ≤1，故a 的取值范围是(－1,1]．(2)不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1恒成立，等价于m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x ⇔m 2－m ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x min ，构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x ，利用换元法，令t ＝12x ，则y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14，∵x ∈(－∞，－1]，∴t ∈[2，＋∞)，∴y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14的最小值为6，∴m 2－m ＜6⇔m 2－m －6＜0⇔－2＜m ＜3，所以实数m 的取值范围是－2＜m ＜3.]【对点训练2】(2019·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]C [当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1＞0恒成立， 当a ＜1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a ＜1. 综上，a ≥0.当x ＞1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立， 即a ≤xln x恒成立．设g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1ln x2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0，当x ＞e 时，g ′(x )＞0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e，即[0，e]．故选C.]应用3 函数思想解不等式(比较大小)【典例3】(1)设0＜a ＜1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a－1的大小关系为( ) A ．e a －1＜a ＜a eB ．a e ＜a ＜e a－1 C ．a e＜e a－1＜aD ．a ＜e a－1＜a e(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 内的奇函数和偶函数，当x <0时， f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－3,0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)切入点：(1)借助y ＝a x (0＜a ＜1)的单调性比较a 与a e的大小； 构造函数f (x )＝e x －x －1(x ＞0)比较e a－1与a 的大小．(2)构造函数F (x )＝f (x )g (x )，借助F (x )的奇偶性、单调性解f (x )g (x )＜0. (1)B (2)D [(1)设f (x )＝e x －x －1，x ＞0，则f ′(x )＝e x－1＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )＞0， ∴e x －1＞x ，即e a－1＞a .又y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，得a ＞a e， 从而e a－1＞a ＞a e.(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 内的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为定义在R 内的奇函数． 又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，f (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以当x >0时，f (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以由图可知f (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．] 【对点训练3】(1)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [(1)因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0对m ∈[1,4]恒成立．设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22＞0，4x －2＋x －22＞0，解得x ＜－2或x ＞2.(2)由f (x )是偶函数且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增可知，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又因为f (2|a －1|)＞f (－2)，而f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，解得12＜a ＜32.]应用4 应用方程思想求值【典例4】(1)(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.(2)[一题多解](2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.(1)217 3 (2)2 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得sin B ＝ba·sin A ＝27×32＝217. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．(2)法一：由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.]【对点训练4】(1)[一题多解](2019·秦皇岛模拟)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2(2)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．设b n ＝2S n ＋48n，则数列{b n }最小项的值为________．(1)A (2)23 [(1)法一：由|a ＋b |＝|a －b |， 可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a·b ＝0，故a·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1. 法二：a ＋b ＝(2λ＋2,2)，a －b ＝(－2,0)， 由|a ＋b |＝|a －b |，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1. (2)设公差为d ，且d ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋d 2＝a 1a 1＋5d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝0(舍去)，所以a n ＝3n －2，S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n2，所以b n ＝3n 2－n ＋48n＝3n ＋48n－1≥23n ·48n －1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }最小项的值为23.]应用5 方程思想解不等式【典例5】(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)[一题多解]若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________． 切入点：(1)f (x )＝0有两个相等实根，f (x )＝c 的两根分别为m ，m ＋6. (2)法一：注意到ab 与a ＋b 的关系，可将原等式转化为一元二次方程．法二：利用均值不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求解．(1)9 (2)[9，＋∞) [(1)因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝0，即a 2－4b ＝0， 又f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)．∴m ，m ＋6是对应方程f (x )＝c 的两个不同的根． 即x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根分别为m ，m ＋6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ，mm ＋6＝b －c .由题意得|m ＋6－m |＝a 2－4b －c ＝a 2－a 2＋4c ， 解得c ＝9.(2)法一：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3.所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝t －32－4t ≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t ＞3，t ＞0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法二：∵ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab －3＝a ＋b ≥2ab ， 令ab ＝t ，则t 2－2t －3≥0， ∴t ≤－1或t ≥3，∴ab ≤－1(舍)或ab ≥3，即ab ≥9.]【对点训练5】 关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为( )A ．(－3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2D ．(－1,2)C [由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)， 已知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2＜0可化为2x 2－3x －2＜0，即(2x ＋1)(x －2)＜0，解得－12＜x ＜2，即所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.]。
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2019-2020年高考数学二轮复习思想3.1函数与方程思想教学案文
1． 函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
2． 和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
【热点分类突破】
类型一 函数与方程思想在数列中的应用
例1 ．【xx 河南林州一中调研】设是公比大于1的等比数列, 为数列的前项和,已知，
且 成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若421log ,1,2,3......n n b a n +== ，求和: 12233411111......n n
b b b b b b b b -++++
.
例2 知数列中，，且点在直线上．
⑴求数列的通项公式；
⑵若函数()123123n
n f n n a n a n a n a =++++++++…（，且），求函数的最小值； ⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得()()12311n n S S S S S g n -++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
试题分析：（1）将点代入直线得到，数列是以为首项，为公差的等差数列，再由得到的通项公式；（2）由
（1）可得n
n n n n f 22211)(+++++= ， 2
2112213221)1(+++++-+++++=+n n n n n n n n n f ，，是单调递增的，故的最小值是；（3）由（1）及n
S n b n n 1312111++++=⇒= ，，即1)1(11+=----n n n S S n nS ，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n ，
,1-n 1211++++=-∴-n n S S S S nS )2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n ，最后将该式整理即可得出．
试题解析：⑴点在直线上，即，且，数列是以为
【规律总结】(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．
【举一反三】
已知等比数列的公比，且，，成等差数列．数列的前项和为，且．
（1）分别求出数列和数列的通项公式；
（2）设，若，对于恒成立，求实数的最小值．
【解析】（1）且，，成等差数列，， 即，，，． ，．（）． 当时，，当时，
()()221818129n n n b S S n n n n n -轾=-=-----=-犏臌
．当时，满足上式，（）． （2）由（1）得，，若，对于恒成立，即的最大值．又112729420232323
n n n n n n n n c c +----+-=
-=创?．当时，即时，；当时，即（）时，；当时，即（）时，．
的最大值为，即．的最小值为．
类型二 函数与方程思想在方程中的应用 例3已知函数是定义在上的偶函数，若方程的零点分别为，则（ ）
A ．
B ． C. D ．
【答案】B
【规律总结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
【举一反三】 定义域为的函数若关于的方程22
()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则（ ）
A ．6
B ．4或6
C ．6或2
D ．2 【答案】D
【解析】由图可知方程有两个不等实根，其中一根为4，另一根在；由224(21)4026m m m m -+⨯+=⇒==或，又当时，另一根为1，满足题意；当时，另一根为9，不满足题意；所以选D.
类型三 函数与方程思想在不等式中的应用
例4【xx 河南名校联考】已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在，且，使得，求证： .
试题分析：（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对进行分类讨论，当时显然不行， 时，不能有，设，则由即可，利用单调性即可证出.
因为在上单调递减，在上单调递增，且，
所以当时， .
由，，可得，故，
又在上单调递减，且，所以，
所以，同理，即，解得，
所以.
【规律总结】根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．
【举一反三】已知函数,其中．
（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由．
类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用
例5【xx 广西柳州摸底联考】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于()()112212,,,()A x y B x y x x <两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
试题分析：（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点
（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为： ，
联立，得，则①.
设，则.∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--
()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++
()222212121212416416444
4y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()22
12
121212343216y y y y y y y y =-++-++ 22161232160t m t m =--+-= 即2212321616t t m m -+=+，得： ，∴，即或，代人①式检验均满足，∴直线的方程为：
()4848x my m m y =++=++或.∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.
【规律总结】1、在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量；2. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
【举一反三】【xx 江西南昌摸底联考】已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.。