2.2基本不等式

调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数
例１
已知x
>0，求x
1 x
的最小值.
解 因为x 0
： 所以x 1 2 x 1 2
x
x
一正 二定
当且仅当x 1 ，即x 1时,等号成立，因此所求最小值为2 x
三相等
基本不等式求最值及应用
例例34．若
0
a
1 2
，则
a
1
2a
的最大值是
第二章《一元二次函数、方程和不等式》
2.2 基本不等式(1)
新知引入：赵爽弦图与不等式
bc
a
a2 b2 2ab(当且仅当a b时等号成立)
推广 证明
a,b R,有a2 b2 2ab(当且仅当a b时等号成立).
[引例]若a 0,b 0,则a b _2___a_b_.
a b ab 2
若a
2
0,
b
Байду номын сангаас
0,
则
a
b
ab,
2
当且仅当a b时等号成立.
新知：基本不等式——2.结构及意义
若a 0,b 0,则 a b ab,当且仅当a b时等号成立. 2
(1) a b 称为a,b的算术平均数, ab为a,b的几何平均数. 2
(2)变形 : ①a b 2 ab(a,b 0). ②ab (a b)2 (a,b 0).
(3) 若a,b R且ab
0, 则 b a
a b
2.
√
仅当b a
a ,即a b
b时等号成立
(4) 若x 0, 则 x 3 2 3. × x 0时成立;但x 0时不成立
x
思考：若x 0, 则 x 3 的取值范围是_________.
x
例题讲解——利用基本不等式求最值
[变式]若x 0, 则y x 3 的函数值的取值范围是{_y_|_y____2__3.} x
A． 1
B． 1
8
4
C． 1 2
D．1
【答案】A
（）
定理2.基本不等式
均值不等式
例4 已知a,b,c都是整数，求证：
证明: a b 2 ab 0, 当且仅当a=b时，等号成立
； b c 2 bc 0, 当且仅当b=c时，等号成立
； c a 2 ac 0, 当且仅当c=a时，等号成立
即证a b 2 ab, 即证a b 2 ab 0,
即证( a b )2 0,(*) (*)式显然成立, 当且仅当a b时等号成立.
分析法(执果索因)
a 0,b 0时,( a b )2 0, 当且仅当a b时等号成立.
即a b 2 ab 0,
即a b 2 ab,
即 a b ab,
③若 a, b, c R ，则 a3 b3 c3 3abc
当且仅当 a b c 取等号
基本不等式及其推论
（4）基本不等式的推论4
若 ai
0, 1 i
n ，则：
a1 a2
an n
n
a1a2a3 an
（5）基本不等式的推论5（基本不等式链）
2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
4 当且仅当 a b 时取等号
（2）基本不等式的推论2
a, b R a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时取等号
基本不等式及其推论
（3）基本不等式的推论3
①若 a, b, c R ，则
abc 3
3
abc
当且仅当 a b c 取等号
②若
a,
b,
c
R
，则
abc
a
b 3
c
3
当且仅当 a b c 取等号
(求最值) 积定和最小
4
和定积最大
(3)代数意义：两正数的算术平均数大于或等于几何平均数.
几何意义：
新知：基本不等式——2.结构及意义
在圆O中,点C是直径AB上一点, AC a, BC b. 过C作CD AB交圆O上半圆于点D,连接AD, BD. 则OD _______,CD _______.
D
半径 半弦
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, A
OC
B
OD a b . ACD ∽ DCB, AC CD ,
2
CD BC
a
b
CD2 ab, CD ab. OD CD, a b ab. 2
当且仅当C,O重合,即a b时等号成立.
几何意义：①圆的半径大于或等于半弦； ②直角三角形的斜边上的中线大于或等于斜边上的高.
（2）.应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求 最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理拆、 凑、配等变换，配凑原则是“和”或“积”为定值.
新知：基本不等式——3.理解巩固
[练习1]判断下列说法的正误.
(1) 若x 0, 则 x 1 2. x
√
仅当x
1 ,即x x
1时等号成立
(2) a,b R且ab 0,则a b 2 ab; × a 0,b 0时不成立
关键(负化正) : y x 3 [x ( 3)], x 0.
x
x
解 : x 0时,x 0, 3 0,
x
由基本不等式得( x) ( 3 ) 2 ( x)( 3 ) 2 3.
x
x
当且仅当 x 3 ,即x 3时等号成立. x
即 (x 3) 2 3. x 3 2 3.
x
x
练习2 若0<x<
8
，则函数y=x(8-3x)的最大值为_______.
3
解：
0<x<
8 3
，
y=
1 3
(3x)(8-3x)≤
1 (3x 8 3x )2 32
析 : a ( a )2, b ( b )2,a b ( a )2 ( b )2 2 ab,
当且仅当 a b,即a b时等号成立.
新知：基本不等式——1.证明(分析法)
若a 0,b 0,则 a b ab,当且仅当a b时等号成立. 2
要证 a b ab(a 0,b 0), 2
名称
定理1：重要不等式 定理2：基本不等式
表达式
a2 b2≥2ab
文字叙述
两实数的平方和不小于它 两正数的算术平均数不小于它
们积的2倍
们的几何平均数
适用范围 “=”成立条件
a,b∈R a=b
a>0,b>0 a=b
基本不等式及其推论
（1）基本不等式的推论1
a 0, b 0 ab a b2 （和定积最大）
；
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc.
当且仅当a=b=c时，等号成立；即证原不等式成立.
利用基本不等式解决最值问题
（1）.牢记三个关键词：一正、二定、三相等； 一正：各项必须为正； 二定：各项之和或各项之积为定值； 三相等：必须验证取等号成立的条件是否具备；