16.3 可化为一元一次方程的分式方程 课件-华师版数学八年级下册

x x－4
x＋2 x－6
解：方程两边都乘以(x－4)(x－6)，
得x ( x－6)= ( x+2) ( x－4)，解得x=2.
当x=2 时， ( x－4) ( x－6)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=2.
知2－练
感悟新知
(2)
2－x x－3
1 3－x
－2
知2－练
解：方程两边都乘以(x－3)， 得2－x=－1－2(x－3)， 解得x=3. 当x=3时，x－3=0， ∴ x=3 不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解.
∴原分式方程的解为 x＝－32.
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(2)
2 3
＋
3x
x －
1=
9x
1 －
3.
知2－练
解：方程两边都乘以 3(3x－1)，
得 2(3x－1)＋3x＝1.解得 x＝13.
当 x＝13时，3(3x－1)＝0，∴原分式方程无解．
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知2－练
2-4.是否存在实数
x，使得式子xx
－ ＋
2－ 2
16 x2 －
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4. 检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程知的2－讲
解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解. (2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法 不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验 所得的解是否正确 .
的速度行驶了12 的路程时遇到了暴雨，立即将车速 减少了20 km/h，到达奶奶家时共用了 5 h，求小 强家到他奶奶家的距离是多少千米 .
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解：设平常的速度是
x
km/h，易知行驶12的路程用时
知3－练
2 h.
根据题意，得1x－－122·04x＋2＝5，解得 x＝60，
经检验，x＝60 是原分式方程的解，且符合题意．
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(3)
4x＋6 － 3 x－3
5 x－4 x－1
1
解：方程两边都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x=32 . 当x= 32时，3(x－1)≠ 0. ∴原分式方程的解为x=32 .
知2－练
感悟新知
知2－练
(4)
4＋ x2＋2 x
7 x 2－4
6 x 2－2 x
4×60＝240(km)．
答：小强家到他奶奶家的距离是 240 km.
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知3－练
例4 [ 中考·重庆 ] 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌 溉水渠．
解题秘方：紧扣工程问题中几个量之间的关系列方程 是解题的关键 .
感悟新知
(1)计划修建灌溉水渠 600 m，甲施工队施工 5 天后，知3－练 增加施工人员，每天比原来多修建 20 m，再施工 2 天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌 溉水渠多少米； 解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠 x m，则 原计划每天施工(x － 20) m， 由题意可得 5(x － 20) ＋ 2x=600，解得 x=100. 答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠 100 m.
解：原方程可化为
4＋
7
x x＋2 x＋2
x－2
6
x x－2
.
方程两边都乘以x(x+2)(x－2)，得4(x－2)+7x=6(x+2)，
解得x=4. 当x=4 时，x(x+2)(x－2)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=4.
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知2－练
2-1. [ 中考·永州 ] 解分式方程 2x－x＋1 1 =0去分母时， 方程两边同乘以的最简公分母是 __x_(x_＋__1_)_．
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知3－练
例3 [ 中考·岳阳 ] 星期天，小明与妈妈到离家 16 km 的洞 庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1 h 后妈 妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们 同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车 平均速度的 4 倍，求妈妈开车的平均速度．
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知3－练
解题秘方：根据题意中的两个等量关系，一个用来设 未知数，一个用来列方程解决问题 .
感悟新知
解：∵两施工队修建的长度恰好相同，
知3－练
∴两施工队修建的长度都为 900 m.
设乙施工队原来每天修建灌溉水渠 y m，
则技术更新后每天修建灌溉水渠( 1 ＋ 20%) y=1.2y(m)，
由题意可得36y0＋
900 － 360 1.2y
=
900 100
，
解得
y=90，
经检验， y=90 是原分式方程的解，且符合题意 .
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知1－讲
特别解读 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变
形，更不能用等式的性质变形 .
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2. 判断一个方程是分式方程的条件: (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可.
知1－讲
感悟新知
例1 判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
(1) 2x＋3 2
感悟新知
特别解读
知2－讲
1.解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不
含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来.
2.解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.
3. 对增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解；
(2)若分式方程有增根，则必是使最简公分母为 0
时未知数的值.
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(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠 知3－练 1 800 m，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施 工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工 . 甲施工 队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工 . 乙施工队 修建 360 m 后，通过技术更新，每天比原来多修建 20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相 同 . 求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
感悟新知
知3－练
解：设妈妈开车的平均速度为 x km/h，则小明骑自行
车的平均速度为
x 4
km/h，
根据题意得1x6
－
1=
16 x
，
解得
x=48，
4
经检验， x=48 是原分式方程的解，且符合题意 .
答：妈妈开车的平均速度是 48 km/h．
感悟新知
知3－练
3-1. [ 中考·常德 ] 小强的爸爸平常开车从家中到小强 奶奶家，匀速行 驶需要 4 h． 某 天，他们以平常
第十六章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
分式方程的概念 分式方程的解法 分式方程的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 分式方程的概念
知1－讲
1. 分式方程 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样
的方程叫做分式方程 . 分母中是否含有未知数是区分 分式方程和整式方程的依据 .
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(2)施工进行20 天后，为了减少对交通的影响，施工单知位3－练 决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过 40 天， 那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？ 解：设以后每天改造管网还要增加m米． 由题意得(40－20)(72＋m)≥3 600－72×20， 解得m≥36. 答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠 90 m．
感悟新知
知3－练
4-1. [ 中考·聊城 ] 为了解决雨季时城市内涝的难题， 我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在 改造一段长3 600 米的街道地下管网时，每天的施 工效率比原计划提高了 20%，按这样的进度可以 比原计划提前 10 天完成任务 .
感悟新知
(1)该种干果第一次的进价是多少元/ 千克？
知3－练
解题秘方：根据等量关系“第二次购进干果的质量=2× 第一次购进干果的质量+300 千克”列方程 进行求解；
4
与
1
＋
x
4 －
2的值相等？若存在，请求出
x
的值；若不存
在，请说明理由 .
感悟新知
解：不存在．理由：若存在实数 x 使两式的值相等，知2－练 则xx－ ＋22－x21－6 4＝1＋x－4 2， 方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得(x－2)2－16＝ (x＋2)(x－2)＋4(x＋2)．解得 x＝－2. ∵当 x＝－2 时，(x＋2)(x－2)＝0， ∴原分式方程无解．∴不存在实数 x 使两式的值相等．
知2－练
例2 解下列方程：
(1)
x x－4
x＋2 x－6
;(2)
2－x x－3
1 3－x
－2;
(3)
4 3
x＋6 x－3
－
5 x－4 x－1
1;(4)
4 ＋7 x2＋2x x2－4
6 x 2－2 x
.
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求
整式方程的解并检验，从而得到分式
方程的解.
感悟新知
(1)
8;(2)
3 4－x
4； x＋2
(3)
x2 x
1;(4)
1 x＋2
1 y－3
;
(5) x －2 x a为非零常数 .
a
知1－练
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母 中含有未知数进行识别.
感悟新知
知1－练
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数. (2)是分式方程，因为分母中含有未知数. (3)是分式方程，因为分母中含有未知数. (4)是分式方程，因为分母中含有未知数. (5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a
1 2
；
其中是分式方程的是__③__④___(填序号) .
知1－练
感悟新知
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整 式方程.
感悟新知
2. 解分式方程的一般步骤：
知2－讲
感悟新知
知2－讲
3. 增根：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘 以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产 生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.
知3－讲
(1)审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出
等量关系.
(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接
设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表
示，并用含未知数的式子表示相关量.
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知3－讲
(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式
感悟新知
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
知3－练
解：设原计划每天改造管网 x 米，则实际施工时每天改
造管网(1＋20%)x 米．
由题意得3 6x00－(1＋3 2600%0 )x＝10，解得 x＝60，
经检验，x＝60 是原方程的解，且符合题意．
此时，60×(1＋20%)＝72(米)．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是 72 米．
方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整.
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特别解读 1.审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、知3－讲
画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个 等量关系时，要选择一个能够体现全部( 或大部分) 数量的等量关系列方程. 2.设未知数时，一般题中问什么就设什么，即直接设 未知数；若直接设未知数难以列方程，则可设另 一个相关量为未知数，即间接设未知数；有时设 一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数， 即设辅助未知数. 3.应用题中解分式方程同样要验根.
为非零常数，不是未知数.
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1-1.下列是分式方程的是( D )
A.
x x＋1
＋
x＋4 3
B.
x 4
＋
x－5 2
=0
C.
3 4
(x－Βιβλιοθήκη )=4 3x
D.
1 x＋2
＋1=0
知1－练
感悟新知
1-2.下列关于x的方程：
①
2 3
x2=1；②
2 π
－
x2=1；③
2 3x
=x；
④
x
1 －
2＋
3=
x x
－ －
感悟新知
知识点 3 分式方程的应用
知3－讲
1. 列分式方程常用的等量关系： (1)行程问题：速度× 时间= 路程. (2)利润问题：利润= 售价－ 进价； 利润率= 利润÷ 进价×100%. (3)工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；总工作 量= 各个分工作量之和.
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2. 列分式方程解应用题的一般步骤：
感悟新知
知3－练
例5 某超市用3 000 元购进某种干果销售，由于销售状况 良好，超市又调拨9 000 元资金购进该种干果，但这 次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果的质 量比第一次的2 倍还多300 千克. 若超市按9 元/ 千克 的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 千克 按售价的8 折售完.
感悟新知
知2－练
2-2.
[
中考·北京
]
方程 5x
3 ＋
1=
1 2x
的解为
__x_＝__1____.
感悟新知
2-3.解下列方程：
(1)
[
中考·苏州
]
x
x ＋
＋ 1
3x=1
；
知2－练
解：方程两边都乘以 x(x＋1)，
得 x2＋3(x＋1)＝ x(x＋1)，解得 x＝－32.
当 x＝－32时，x(x＋1)≠0，