高考物理 考点解题思路大揭秘一 电磁场中的单杆模型

第六章 电磁场
解题模型：
一、电磁场中的单杆模型
1． 如图7.01所示，Ω6=Ω=215R R ，，电压表与电流表的量程分别为0～10V 和0～3A ，
电表均为理想电表。

导体棒ab 与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab 棒处于匀强磁场中。

（1）当变阻器R 接入电路的阻值调到30Ω，且用F 1＝40N 的水平拉力向右拉ab 棒并使
之达到稳定速度v 1时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab 棒的速度v 1是多少？
（2）当变阻器R 接入电路的阻值调到3Ω，且仍使ab 棒的速度达到稳定时，两表中恰有
一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab 棒的水平向右的拉力F 2是多大？
图7.01
解析：（1）假设电流表指针满偏，即I ＝3A ，那么此时电压表的示数为U ＝IR 并＝15V ，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。

因此，应该是电压表正好达到满偏。

当电压表满偏时，即U 1＝10V ，此时电流表示数为
I U R A 11
2=
=并
设a 、b 棒稳定时的速度为v 1，产生的感应电动势为E 1，则E 1＝BLv 1，且E 1＝I 1(R 1＋R 并)＝20V
a 、
b 棒受到的安培力为
F 1＝BIL ＝40N 解得v m s 11=/
（2）利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I 2＝3A ，此时电压表的示数为
U I R 22=并＝6V 可以安全使用，符合题意。

由F ＝BIL 可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以
F I I F N N 22113
2
4060=
==×。

2． 如图7.02甲所示，一个足够长的“U ”形金属导轨NMPQ 固定在水平面内，MN 、PQ 两导轨
间的宽为L ＝0.50m 。

一根质量为m ＝0.50kg 的均匀金属导体棒ab 静止在导轨上且接触良好，abMP 恰好围成一个正方形。

该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。

ab 棒的电阻为R ＝0.10Ω，其他各部分电阻均不计。

开始时，磁感应强度
B T 0050=.。

图7.02
（1）若保持磁感应强度B 0的大小不变，从t ＝0时刻开始，给ab 棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动。

此拉力F 的大小随时间t 变化关系如图2乙所示。

求匀加速
运动的加速度及ab 棒与导轨间的滑动摩擦力。

（2）若从t ＝0开始，使磁感应强度的大小从B 0开始使其以
∆∆B
t
＝0.20T/s 的变化率均匀增加。

求经过多长时间ab 棒开始滑动？此时通过ab 棒的电流大小和方向如何？（ab 棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）
解析：（1）当t ＝0时，F N F F ma f 113=-=，
当t ＝2s 时，F 2＝8N
F F B B Lat
R
L ma f 20
0--= 联立以上式得：
a F F R B L t
m s F F ma N f =
-==-=()/21022
2
141， （2）当F F f 安=时，为导体棒刚滑动的临界条件，则有：
B B t L R
L F f ∆∆2
=
则B T B B B
t
t t s ==+=41750，，∆∆.
3． 如图7.03所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m ，导轨
平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值为R 的电阻。

匀速磁场方向与导轨平面垂直。

质量为0.2kg 、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。

（1）求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；
（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R 消耗的功率为8W ，求该速度的大小； （3）在上问中，若R ＝2Ω，金属棒中的电流方向由a 到b ，求磁感应强度的大小与方向。

（g ＝10m/s 2
，sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8）
图7.03
解析：（1）金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律
mg mg ma sin cos θμθ-= ①
由①式解得 a m s =42
/ ②
（2）设金属棒运动达到稳定时，速度为v ，所受安培力为F ，棒在沿导轨方向受力平衡：
mg mg F sin cos θμθ--=0 ③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R 消耗的电功率
Fv P = ④
由③、④两式解得：
v m s =10/ ⑤
（3）设电路中电流为I ，两导轨间金属棒的长为l ，磁场的磁感应强度为B
I vBl
R
=
⑥ P I R =2 ⑦
由⑥、⑦两式解得 B PR
vl
T =
=04. ⑧ 磁场方向垂直导轨平面向上。

4． 如图7.04所示，边长为L ＝2m 的正方形导线框ABCD 和一金属棒MN 由粗细相同的同种材
料制成，每米长电阻为R 0＝1Ω/m ，以导线框两条对角线交点O 为圆心，半径r ＝0.5m 的匀强磁场区域的磁感应强度为B ＝0.5T ，方向垂直纸面向里且垂直于导线框所在平面，金属棒MN 与导线框接触良好且与对角线AC 平行放置于导线框上。

若棒以v ＝4m/s 的速度沿垂直于AC 方向向右匀速运动，当运动至AC 位置时，求（计算结果保留二位有效数字）： （1）棒MN 上通过的电流强度大小和方向； （2）棒MN 所受安培力的大小和方向。

图7.04
解析：（1）棒MN 运动至AC 位置时，棒上感应电动势为E B r v =2·
线路总电阻R L L R =+()20。

MN 棒上的电流I E R
=
将数值代入上述式子可得： I ＝0.41A ，电流方向：N →M （2）棒MN 所受的安培力：
F B rI N F A A ==2021.，方向垂直AC 向左。

说明：要特别注意公式E ＝BLv 中的L 为切割磁感线的有效长度，即在磁场中与速度方向垂直的导线长度。

5． 如图7.05所示，足够长金属导轨MN 和PQ 与R 相连，平行地放在水平桌面上。

质量为m
的金属杆ab 可以无摩擦地沿导轨运动。

导轨与ab 杆的电阻不计，导轨宽度为L ，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面。

现给金属杆ab 一个瞬时冲量I 0，使ab 杆向右滑行。

（1）回路最大电流是多少？
（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q 时，杆ab 的加速度多大？ （3）杆ab 从开始运动到停下共滑行了多少距离？
图7.05
答案：（1）由动量定理I mv 000=-得v I m
00
=
由题可知金属杆作减速运动，刚开始有最大速度时有最大E BLv m =0，所以回路最大电流：
I BLv R BLI mR
m =
=
00
（2）设此时杆的速度为v ，由动能定理有：
W mv mv A =
-1212
202
而Q ＝-W A 解之 v I m Q
m =
-022
2 由牛顿第二定律F BIL ma A ==及闭合电路欧姆定律
I BLv
R
=
得 a B L v mR B L mR I m
Q
m ==
-2222
022
2 （3）对全过程应用动量定理有：
-=-∑BI L t I i ·∆00
而
I t q i ·∆∑=所以有q I BL
=
又q I t E R t R t t R BLx R
==
===·∆∆∆Φ∆∆∆Φ 其中x 为杆滑行的距离所以有x I R
B L =022。

6． 如图7.06所示，光滑平行的水平金属导轨MNPQ 相距l ，在M 点和P 点间接一个阻值为R
的电阻，在两导轨间OO O O 11''矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d 的匀强磁场，磁感强度为B 。

一质量为m ，电阻为r 的导体棒ab ，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d 0。

现用一大小为F 、水平向右的恒力拉ab 棒，使它由静止开始运动，棒ab 在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab 与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。

求： （1）棒ab 在离开磁场右边界时的速度；
（2）棒ab 通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能；
（3）试分析讨论ab 棒在磁场中可能的运动情况。

图7.06
解析：（1）ab 棒离开磁场右边界前做匀速运动，速度为v m ，则有：
E Blv I E
R r
m ==
+， 对ab 棒F BIl -＝0，解得v F R r B l
m =+()
22
（2）由能量守恒可得：
F d d W mv m ()0212
+=+
电 解得：W F d d mF R r B l 电=+-+()()022
44
2
（3）设棒刚进入磁场时速度为v 由：
F d mv v Fd m
·可得：02
122=
= 棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论：
①若2022Fd m F R r B l =+()
（或F d B l m R r =+20442
()），则棒做匀速直线运动； ②若2022
Fd m F R r B l <+()（或F d B l m R r >+2044
2()），则棒先加速后匀速； ③若2022Fd m F R r B l >+()（或F d B l m R r <+2044
2
()
），则棒先减速后匀速。