陕西省西安市临潼区临潼中学2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试题

陕西省西安市临潼区临潼中学2023-2024学年高一下学期期中
质量检测数学试题
一、单选题
1．复数1z =，则（ ）
A ．z 的实部为1-
B ．z 的虚部为
C ．z 的实部为1-
D ．z 的虚部为
2．在ABC V 中，2AB =，3AC =，BC =，则cos A =（ ） A ．16
-
B ．16
C ．112
-
D ．
112
3．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线1D E 异面的共有（ ） A ．5条
B ．6条
C ．7条
D ．8条
4．在四面体ABCD 中，已知底面ABC 为正三角形，则“三棱锥D ABC -为正三棱锥”是“ABD △与BCD △均为等腰三角形”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．()4
571i i ++=（ ） A ．4i +
B ．4i -+
C ．4i -
D ．4i --
6．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，
该不倒翁由上底面半径为2cm 、下底面半径为3cm 的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g ，则该不倒翁的总质量为（ ）
A ．370g
B ．490g
C ．650g
D ．730g
7．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．如图，已知AB AC =，π
6
BAC ∠=
，分别以,AB AC 为直径作半圆弧，
D 是半圆弧的中点，
E 为半圆弧上靠近点C 的三等分点，则向量AE u u u r
在向量AD u u u r
上的投影向量为（ ）
A AD u u
r B u u r C AD u u r D AD u u r
二、多选题
9
．在ABC V 中，AC =，sin A =B 可能为（ ） A ．π6
B ．π4
C ．3π4
D ．
5π6
10．已知四边形ABCD 用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A B C D ''''，如图所示，1A B ''=，2A D ''=，3B C ''=，A B B C ''''⊥，//A D B C ''''，则（ ）
A ．3A
B = B ．AB =
C ．DC =
D ．DC =11．已知向量()1,3a =r ，()2,b t =r
，则下列说法正确的是（ ）
A ．若a b ∥r r
，则6t =
B ．若a b a b +=-r r r r ，则2
3
t =
C ．a b +r r
的最小值为3
D ．当2
3
t ≤-时，a r 与b r 的夹角为钝角
12．如图所示，圆锥SO 的底面半径r =1SO =，AB 是底面圆周的一条直径，M 为底面圆周上与B 不重合的一点，则下列命题正确的是（ ）
A ．圆锥SO 的体积为π
B ．圆锥SO 的表面积为3)π
C ．SBM V
D ．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 爬行到点B
三、填空题
13．若复数13i z =+，且()z m m +∈R 为纯虚数，则m =，()2
z m -在复平面内对应的点位于
第象限．
14．已知向量(),1a x =r ，(),9b x =-r ，且a r ，b r
的夹角为钝角，则x 的取值范围为
15．已知球O 的表面积为20π，平面α截球O 所得的截面面积为3π，则以O 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为．
16．有一道解三角形的问题，缺少一个条件，具体如下：“在ABC V 中，已知a =45B =︒，，求角A 的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且正确答案为60A =︒，试将所缺的条件补充完整．
四、解答题
17．已知复数()3i R z a a =-+∈是纯虚数． (1)求a 的值；
(2)若2z ω=+，求复数ω以及ω的模．
18．已知a r
，b r
是两个单位向量，且a r
与b r
的夹角为
5π6
(1)求a b ⋅r
r ；
(2)求b +r
.
19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AC 的中点．
(1)证明：1//AB 平面1MBC ．
(2)若ABC V 是正三角形，2AB =，1BM MC =，求三棱柱111ABC A B C -的表面积． 20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是,,BC DC SC 的中点，求证：
(1)//EG 平面11BDD B ； (2)平面//EFG 平面11BDD B .
21．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos A B C
bc ab ac
=+. (1)求角A 的大小；
(2)若3c =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长.
22．已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()
sin cos sin A C B B =. (1)求C 的值；
(2)若
c =△ABC 面积S 的最大值。