勾股定理的培优专题

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勾股定理培优专题

一、本节基础知识

1、勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方，即：a 2

+b 2

=c 2

。

公式变形：a 2 = ； b 2= 。 （ a=22b c - ；

22b c b -=；22b a c +=）

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。

3、满足2

22c b a =+的三个 ，称为勾股数。请你写出几组勾股数：

___________，_________,____________,____________,_______________,

4、巩固练习：

1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2

＋b 2

＝c 2

，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．

2．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号) 3．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2

，则∠B ＝_________；

4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是________三角形．

5．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、

a ＋2为边的三角形的面积为________．

二、经典例题、针对训练、

考点一 证明三角形是直角三角形

例1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2

+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.

例2：(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41

BC ，求证：∠EFA=90︒.

A

B D

C

F

E

2

例3：已知△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，求△ABC 的周长。

例4：一直角三角形的一直角边长为7，另两条边长为两连续整数，求这个直角三角形的周长。

例5：如图，长方形ABCD 中，AB=8。BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落到D ′，则重叠部分

△AFC 的面积是多少？

例6： 如图，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，

宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？

例7： 如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，

BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．

例8：如图2-5，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C 点

与A 点重合，•则折叠后痕迹EF 的长为（ ）

A ．3.74

B ．3.75

C ．3.76

D ．3.77

D

D C

B A

F

2-3

例9：如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

例10：如图，等腰△ABC中AB=AC，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，求△ABC的周长。

例11：如图:长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿

长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？

问题1：如图,圆柱的高为10cm,底面半径为4cm,在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到下底面D处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？为什么？（π取3）

问题2：如图,圆柱的高为10cm,底面半径为4cm,在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到距离下底面1cm的E处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？为什么？（π取3）

问题3：一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A

点爬到盒顶的B点。你能帮蚂蚁设计一条最短线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

问题3：如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm ，一只蚂蚁如

果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

·E

A B

8cm 8cm

12cm

15cm

10cm

20cm

A

C

B

·

3

4

问题4：:如图将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h 的取值范围是 。

问题5：如图，长方体的底面边的长分别为1cm 和3cm ，高6cm 。如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 。

问题6：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、

高分别等于5cm 、3cm 、1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物。请你想一想，它爬行的最短路程是多少？

5米

3米

（第11题） （第14题）（第15题）

三，作业：11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地

毯,地毯的长度至少需要____________米.

12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.

15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.

A

B

A

B

C

D

第18

题图

7cm

B

3 1

6