勾股定理的培优专题

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勾股定理的培优专题

勾股定理的培优专题勾股定理培优专题一、基础知识1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。

3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数3、4、5 等，称为勾股数。

巩固练：1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。

2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。

4.若△ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则∠B=90°。

5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是直角三角形。

6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。

7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。

1) 两直线平行，同位角相等。

逆命题为：同位角相等，则两直线平行。

真。

2) 若 a>b，则 a>b。

逆命题为：若a≤b，则a≤b。

假。

二、例题和训练考点一：证明三角形是直角三角形例1：已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。

求证：△ABC 是直角三角形。

训练：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足a+b+c+3√3=10a+24b+26c。

试判断△ABC 的形状。

例2：如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于AC，且 AD=CD。

勾股定理经典培优题

勾股定理的应用经典培优题类型之一利用勾股定理解决平面图形问题图1－ZT －11．如图1－ZT －1，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于________．2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝4，有一个内角为60°，P 是直线AB 上不同于A ，B 的一点，且∠ACP ＝30°，求PB 的长．类型之二利用勾股定理解决立体图形问题3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图1－ZT －2所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．图1－ZT －2图1－ZT －34．如图1－ZT －3，将一根长为20 cm 的筷子置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度为________cm.类型之三利用勾股定理解决折叠问题5．如图1－ZT －4(1)是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图(2)，再将(2)沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图(3)，则折痕DE 的长为( )图1－ZT －4A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm图1－ZT－56．如图1－ZT－5，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．类型之四利用勾股定理解决实际问题7．如图1－ZT－6，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？图1－ZT－6详解详析1．82．解：若∠ACB 为60°，当点P 在线段AB 上时(如图①)，由直角三角形的性质得BC ＝2AC ，PC ＝2AP ，由勾股定理，得AB ＝BC 2－AC 2＝42－22＝2 3.再设AP ＝x ，∵∠PCB ＝∠ACB －∠ACP ＝60°－30°＝30°，∠B ＝90°－60°＝30°，∴∠PCB ＝∠PBC ，∴PC ＝PB ，则有PB ＝2x ＝23AB ＝43 3；当点P 在线段AB 外时(如图②)，可得PB ＝83 3；若∠ABC 为60°，当点P 在直线AB 上时(如图③)，可得PB ＝4.因此PB 的长为4 33或8 33或4.3．25 [解析] 把这个圆柱平均分成5段，将其中一段沿一条母线剪开，展开得到一个长方形，一条边(即这段圆柱的高)长4尺，另一条边长3尺，因此这一段葛藤长42＋32＝5(尺)．故葛藤的总长为5×5＝25(尺)．4．7 [解析]杯子内的筷子长度为122＋52＝13(cm)，则筷子露在杯子外面的长度为20－13＝7(cm)．5．A [解析] 在Rt △DC ′E 中，设DE ＝x ，则DE ＝AE ＝x ，AC ′＝AB －BC ′＝AB －BC ＝4，所以EC ′＝4－x .在Rt △AC ′D 中，∠A ＝30°，由勾股定理得DC ′＝43，在Rt △DEC ′中，根据勾股定理，得DE 2－EC ′2＝DC ′2，即x 2－(4－x )2＝(43)2，解得x ＝83. 6.32[解析] BC ＝AC 2－AB 2＝4. 由折叠的性质，得BE ＝B ′E ，AB ＝AB ′.设BE ＝x ，则B ′E ＝x ，CE ＝4－x ，B ′C ＝AC －AB ′＝AC －AB ＝2.在Rt △B ′EC 中，B ′E 2＋B ′C 2＝EC 2，即x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32. 7．解：(1)过点A 作AC ⊥BF 于点C ，则AC ＝12AB ＝150千米<200千米， ∴A 市会受到台风的影响．(2)以点A 为圆心，200千米为半径画弧，交BF 于点D ，E ，则CE ＝CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝50 7(千米)，∴A 市受台风影响的时间为50 7×210 7＝10(时)．。

勾股定理培优训练

勾股定理培优训练一．选择题（共19小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）（1题）（3题）A．2.4B．2.5C．4.8D．52．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5B．C．5或D．以上都不对3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，则CD的长为（）A．，2或3B．3或C．2或D．2或34．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判断△ABC是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知△ABC三边分别为a、b、c，根据下列条件能判断△ABC为直角三角形的有（）①∠A＝∠B+∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a：b：c＝3：4：5；④a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）（6题）（7题）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值是（）A．3.65B．2.42C．2.44D．2.659．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1C．n2﹣1D．n2+110．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）（11题）（14题）（15题）A．10B．9C．8D．712．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，613．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝20°，∠B＝70°C．AB：BC：CA＝3：4：5D．14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（）A．S3+S4＝4（S1+S2）B．S4﹣S1＝S3﹣S2C．S1+S4＝S2+S3D．S4﹣3S1＝S3﹣3S216．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（）（16）（17）（18）（19）A．30m B．40m C．50m D．60m17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（）A．B．C．9πD．918．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（）A．8B．C．D．519．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB ＝3，AD＝4，则ED的长为（）A．B．3C．1D．二．填空题（共11小题）20．如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米．（20）（21）21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC最小值是．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC＝．（22）（23）（24）23．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．24．如图，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，则图中此图形的面积是cm2．25．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝13cm，CD＝12cm，则四边形ABCD的面积cm2．（25）（26）（27）26．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．27．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4＝．28．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2＝S1+S3，则线段DC与AB存在的等量关系是．（28）（29）29．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy ＝12；④x+y＝40．其中正确的是（填序号）．30．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．（1）AP＝；（2）点B到直线AP的距离是；（3）∠APB＝；（4）S△APB ＝．三．解答题（共30小题）31．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a：b＝3：4，c＝75cm，求a、b；（2）若a：c＝15：17，b＝24，求△ABC的面积；（3）若c﹣a＝4，b＝16，求a、c；（4）若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．33．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．（1）如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端也将下滑1m吗？说明你的方法；（2）如果梯子的顶端下滑2m呢？说说你的理由．34．如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求水深是多少？35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E．（1）若AD＝CD，求∠C的度数．（2）若AB＝6，BC＝8．①求AE的长度；②求△ACD的面积．36．在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．37．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝5千米，BD＝15千米，且CD＝15千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．（1）请你在河流CD上设计选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省（作图）．（2）请你求出铺设水管的长及总费用是多少？38．一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？39．如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF交AC于点M，已知EF∥BC．（1）求证：M为EF中点；（2）若EM=3，求CE²+CF²的值．40．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点．求CD 的长．41．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形？42．若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．（1）a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c（2）a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0．43．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式当a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6、8、9时，△ABC三角形：当△ABC三边长分别为6、8、11时，△ABC三角形．（2）小明同学根据上述探究．猜想：“当a2+b2＞c2时．△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝7、b＝24时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、钝角三角形？44．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2﹣24，是判断△ABC的形状．45．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，AD是BC上的高，AD＝12，求△ABC的周长和面积．46．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．47．有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm．在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？解：由题意，得AC＝cm，AD＝cm，所以DB＝cm，在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB＝（cm）．48．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？49．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC．（1）求证：OD＝OE．（2）若AB＝3，BC＝4，求AD的长．50．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm，求△ABC 的周长．51．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求△ABC的面积．52．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B ﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；（2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．54．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）判断△ABC的形状．55．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB ＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A 站多少km处？56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝4，BD＝2.5．（1）则点D到直线AB的距离为．（2）求线段AC的长．57．（1）如图，作直角边为1的等腰Rt△OA1A2，则其面积S1＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt △OA2A3，则其面积S2＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA3A4，则其面积S3＝，……则S4＝；（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示S n，并求+++...+的值．58．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2＝AD2+BE2；（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．59．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？60．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/秒，设点P运动的时间为t秒．（1）当△PBC是以BC为斜边的直角三角形时，求t的值；（2）当△PBC为等腰三角形时，求t的值．。

勾股定理培优题

勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边）的三边关系，即a 2+b 2=c 2，它的变形式为c 2-a 2=b 2或c 2-b 2=a 2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a 的值是 .2.如图，图形A 是以直角三角形直角边a 为直径的半圆，阴影S A = .3.如图，有一个圆柱的高等于12cm ，底面半径3cm ，一只蚂蚁要从下底面上B 点处爬至上底与B 点相对的A 点处，所需爬行的最短路程是 .4.如图.在 △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AB =5，CD=BCD =30° ，则AC = . 5.的线段.6.在下列各组数中 ①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a ；⑤a 2+1，a 2-1，2a (a ＞1)；⑥m 2-n 2，2mn ，m 2+n 2(m ＞n ＞0)可作直角三角形三边长的有组.7.如图，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积是 .第2题图第3题图第4题图第7题图8.如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC =14BC ，试判断△ AEF 的形状.三、综合.提高.创新BADCBADCBAFE DCB A【例1】（1）在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长是多少？（2）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，按如图所示折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求折痕AF 的长.（3）如图，正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ，求S 2-T 2的值.【练】如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD =4，DC =3，求BE .【例2】（1）如图，△ABC 中，∠C =60°，AB =70，AC =30，求BC 的长.EDC BAFEDCBAPMCAD 'EDCB A（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积.【练】如图，△ABC 中，A =150°，AB =2，BCAC 的长.【例3】（1）如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，D 为BC 上一点，AD ⊥AB ，求CD .（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AC 中点，AD =5，BE=，求AB .【例4】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ，求证：CBADCBACBADCBAEDC BA（1）222111a b h +=；（2）a +b ＜c +h ；（3）以a +b ，h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.【例5】（1）如图，ABCD 为矩形，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，求证：PA 2-PB 2=PD 2 -PC 2.（2）锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，若∠B =2∠C ，求证：AC 2=AB 2+AB ·BC .变式：如图，AM 是△ABC 的BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).（3）如图，△ABC 中，AB =AC ，P 为线段BC 上一动点，试猜想AB 2，AP 2， PB ，PC 有何关系，并加以证明.D CBAPDCB ADCBAM BA变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP 2+BP 2，试探求P 点位置变化时，s 与2CP 2的大小关系，并证明.变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.【例6】（1）如图，△ABC 中，D 为BC 边上的中点，以D 为顶点作∠EDF =90°，DE 、DF 分别交AB 、AC 于E 、F ，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC =90°.P CB APC APCBACBAFED（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.AB C变式一:将（2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.AE变式二：如图，△AEF中∠EAF=45°，AG⊥EF于G，且GF=2，GE=3，求S△AEF.AG【例7】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.（2）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =CD ，求证BD 2=AB 2+BC 2.【例8】在等腰△ABC 中，AB =AC ，边AB 绕点A 逆时针旋转角度m ，得到线段AD . （1）如图1，若∠BAC =30°，30°＜m ＜80°，连接BD ，请用含m 的式子表示∠DBC ;（2）如图2，若∠BAC =90°，0°＜m ＜360°，射线AD 与直线BC 相交于点E ，是否存在旋转角度m，使AEBE若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.【例9】（1）已知点P 在一、三象限的角平分线上，且点P 到点A （3，6）的距离为PA =15，求点P 的坐标；PCBADCBADCB AE DCBA（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC的形状；（3的最小值；（4）已知a＞0，b＞0.自我归纳：四、课后练习1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？2.在△ABC 中，A =30°，B =45°，BC =10cm ，求AB ，AC 及△ABC 的面积.3.（1）如图，把长方形沿ABCD 对角线折叠，重合部分为△EBD . 1）求证和：△EBD 为等腰三角形； 2）若AB =2，BC =8，求AE .（2）如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上，已知AB =8cm ，CE =4cm ，求AD .4．如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC =90°，AB =AC ，D .E .是BC 上的两点，且∠DAE =45°，若BD =6，EC =8，求DE 的长.MDB A北C 'EDCB AFED CBA5．如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF. （1）求证：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.6．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC，求∠CPA.7．（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2. （2）①如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；C BAEDFC BAEPCB AAB CDP②如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.归纳结论：8．如图，△ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2-AC2=2BC·DE.9.10．试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n>0）的三角形是否为直角三角形？11．已知a，b，x，y.PDCBAPDCBAED C BA12．如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且AB PF+AC PE +BCPD=12，求PD、PE、PF的长.PFED CBA欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

完整版)勾股定理培优专项练习

完整版)勾股定理培优专项练习勾股定理练（根据对称求最小值）基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：由于AE=1，所以DE=√3.连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。

由正弦定理得：EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(60°-x)由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在直线AD上找一点N，使得MN+EB最小。

连接AC，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=30°，BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1，所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此，EN+BN的最小值为3+√3，此时x=30°。

2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。

由正弦定理得：EN/sinx = BN/sin(45°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(45°-x)由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在对角线AC上找一点N，使得MN+EB最小。

连接BD，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=45°，BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

第三章勾股定理培优专题折叠问题中的勾股定理应用(含解析)

第三章勾股定理培优专题折叠问题中的勾股定理应用（含解析）中小学教育资源及组卷应用平台第三章勾股定理培优专题折叠问题中的勾股定理应用类型1 勾股定理在三角形折叠中的应用1.如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,△B=90°,将△ABC折叠,使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN 的长为( )C.4D.5第1题图第2题图2.如图，三角形纸片ABC中，△BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C 与点D重合，若折痕与AC 的交点为E,则AE 的长是( )3.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A 与B 重合，折痕为DE.(1)如果AC=6 cm,AB=10 cm,可求得△ACD的周长为___________cm;(2)如果△CAD:△BAD=1:4,可求得△B 的度数为_____________;操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,AB=15 cm,请求出CD的长.类型2 勾股定理在四边形折叠中的应用4.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F 处,则CE 的长为_____________.第4题图第5题图5.如图,有一张长方形纸片ABCD,AB=8cm,BC=10 cm,点E为CD上一点,将纸片沿AE折叠,BC的对应边. 恰好经过点D，则线段DE的长为_____________cm.6.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP 沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,BE与CD 相交于点F,则AP 的长为____________.7.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A 落在点P处,折痕为EF.(1)试说明:△PDE△△CDF;(2)若CD=4 cm,EF=5cm ,求BC 的长.参考答案1. C 【解析】由折叠知DN=AN=9-BN.因为点D为BC的中点，所以因为△B=90°,所以NB +DB =DN ,即BN +3 =(9-BN) ,解得BN=4.故选C.2. A 【解析】因为沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，所以AD=AB=2,△B=△ADB.因为折叠纸片，使点C与点D重合，所以CE=DE,△C=△CDE.因为△BAC=90°,所以△B+△C=90°.所以△ADB+△CDE=90°.所以△ADE=90°.所以AD +DE =AE .设AE=x,则CE=DE=3-x.所以2 +(3-x) =x ,解得所以故选A.3.解:操作一:(1)14【解析】在Rt△ABC 中,AC=6 cm,AB=10 cm,根据勾股定理,得BC=8cm .由折叠知AD=BD.所以△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+8=14(cm).(2)40°.操作二:在Rt△ABC中,AC=9 cm,AB=15 cm,根据勾股定理,得BC =AB -AC =15 -9 =144.所以BC=12 cm.由折叠知AE=AC=9 cm.因为AB=15 cm,所以BE=AB-AE=6cm.设CD=x cm,则BD=(12-x) cm,DE=CD=x cm.在Rt△BDE中,根据勾股定理,得DE +BE =BD ,即x +6 =(12-x) .解得x=4.5.所以CD=4.5cm .【解析】设CE=x,则BE=6-x.由折叠性质,知EF=CE=x,DF=CD=AB=10.在Rt△DAF中,AD=6,DF=10,所以AF=8.所以BF=AB-AF=10-8=2.在Rt△BEF中,BE +BF =EF ,即((6-x) +2 =x .解得5.5 【解析】因为将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，所以C'E,所所以所以因为,即DE =4 +(8-DE) ,所以DE=5cm .6. 【解析】因为OD=OE,△D=△E=90°,△DOP=△EOF,所以△DPO△△EFO(ASA).所以PO=FO,EF=DP.所以PE=DF.设AP的长为x,则PE=DF=x,DP=EF=6-x,所以BF=BE-EF=8-(6-x)=2+x,CF=DC-DF=8-x.在Rt△BCF中,.BF =BC +CF ,即(2+x) =6 +(8-x) .所以7.解:(1)因为四边形ABCD是长方形,所以△A=△ADC=△B=△C=90°,AB=CD.由折叠得AB=PD,△A=△P=90°,△B=△PDF=90°,所以PD=CD.因为△PDF=△ADC=90°,所以△PDE=△CDF.在△PDE和△CDF中,所以△PDE△△CDF(ASA).(2)如图,过点E作EG△BC于点G,所以△EGF=90°,EG=CD=4 cm.在Rt△EGF中,由勾股定理,得FG =EF -EG =5 -4 =9,所以FG=3cm.设CF=x cm,则PE=AE=BG=x cm.因为△PDE△△CDF,所以DF=DE=CG=(x+3) cm.在Rt△CDF中,由勾股定理,得DF =CD +CF ,即x +4 =(x+3) ,所以所以所以BC的长为21世纪教育网精品试卷·第2 页（共2 页）21世纪教育网()。

勾股定理专题培优学案(勾股定理和几何计算、勾股定理和几何证明和勾股弦图)

勾股定理辅助线一、本章概述本章共分为勾股定理与几何计算、勾股定理与几何证明和勾股弦图三部分，都是勾股定理的重难点内容二、知识回顾1.勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边c的平方和。

（即：）2.勾股定理的逆定理（2）如果三角形的三边长：。

满足关系，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股定理的证明：（3）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进行割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

（4）常见方法如下：方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。

方法三：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.1. 勾股定理与几何计算一、本节概述本节主要讲解勾股定理常见的三个辅助线模型，将斜三角形问题，转化为直角三角形问题。

当遇到三角形内的几何计算，特别是长度计算时，可以考虑用勾股定理解决。

在没有直角三角形时，我们就构造直角三角形，方法就是作高。

要尽量作与题中条件有关系的高，总有一条适合你的，比如特殊角所对的高。

二、典例精析知识点：勾股定理与几何计算【例1】如图，已知AC=2,思路分析：标记条件，题目中给出三角形的两个角和一条边，符合“AAS”，故三角形形状固定，可通过作高转化为勾股定理来解决，作高的时候，要充分利用特殊角。

作AB角形问题。

解：，先从右边已知一边和一角的直角三角形入手，这是个（）的特殊直角三角形。

得到CD后，再看左边已知一边和一角的直角三角形，这是个（）的特殊直角三角形。

方法总结这是利用勾股定理时常见的辅助线做法之一：三角形给出的条件满足“AAS”，作高的时候要充分利用特殊角，使分割后得到的直角三角形可求解即可，此例题是垂线在三角形内，并获得特殊直角三角形的例子。

【例2】思路分析：标记条件，给出的三角形符合“SAS”，故形状固定，可通过作高解决，作高时要充分利用特殊三角形，因为给出的特殊角是钝角，故可利用它的补角。

专题勾股定理培优版(综合)

专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换（一）动点证明题1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.（二）最值问题2.如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1，P 为AC 上的动点，则PB +PE 的最小值是ABPCBCPADPED C C将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.D C CD C C长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD 的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD 和AB 的长．图① 图②DB C图2图1A'PPA ABCBC5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）6.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数. BAC图3CABP变式1：∆ABC 中， ∠ACB=90º，AC=BC ，点P 是∆ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的度数变式2：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB 的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3CBAPCA BEF MN图① 7. 已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．变式1：如图，在Rt ABC ∆中, 90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒ 且3BD =,4CE =,则DE =变式2：如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=其中正确的是（） CABE F MN 图②BCDEFA（三）其它应用7. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________；思维拓展：（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________；探索创新：（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图．．法．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．8.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式．。

勾股定理培优专项练习

勾股定理练习(根据对称求最小值)基本模型：已知点A 、B 为直线 m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ，使得AM+BM 有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E ，AE=1，AD ⊥BC 于D,请在AD 上找一点N ，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

2、.已知边长为4的正方形ABCD 上一点E ，AE=1，请在对角线AC 上找一点N ，使得EN+BN 有最小值，并求出最小值。

3、如图，已知直线 a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线 a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=2．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足30MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（）A ．6B ．8C ．10D ．124、已知AB=20，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=10，CB=5．（1）在AB 上找一点E ，使EC=ED ，并求出EA 的长；（2）在AB 上找一点F ，使FC+FD 最小，并求出这个最小值25、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 ，M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为．6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB．边上一点，则EM+BM的最小值为7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）66A．2 B．2C．3D．9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，cm连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.几何体展开求最短路径1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm？2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。

勾股定理培优---典型题型

典型题型题型一：利用勾股定理解决实际问题例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型二、与勾股定理有关的图形问题例2．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．题型三、关于翻折问题例3、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.例4、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知=，求BF的长．AB16cmCE6=，cm题型四、关于最短性问题例5、如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从A点向B 点爬行，问：爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？例6、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?题型五、关于勾股定理判定三角形形状例7、已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。

题型六、关于旋转中的勾股定理的运用：例8、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC P′重合，若AP=3，求PP′的长。

数学数学勾股定理的专项培优练习题(及解析

一、选择题1．如图，点A的坐标是(2)2，，若点P在x轴上，且APO△是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（2，0）B．（4，0）C．（－22，0）D．（3，0）2．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（）A．8 B．9 C．10 D．123．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（3﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．3小时B．23小时C．22小时D．232小时4．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A ．5B ．8C ．10D ．12 5．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（）A ．24B ．30C ．40D ．486．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（）A ．6B ．42C ．8D ．107．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c === C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===8．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（） A ．0.6米 B ．0.7米 C ．0.8米 D ．0.9米9．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，510．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（） A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．15．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.18．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．19．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．20．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．24．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在ABD外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③；④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+. 26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.27．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.28．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA＝52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）29．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【详解】解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA= 22，∴OA=AP=22∴P的坐标是（-22，0）．故选D．2．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．3．C解析：C【解析】【分析】过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得∠CDB=45°，∠CAD=30°，设BD=x则CD=BD=x，BC=2x，由∠CAD=30°可知tan∠CAD=3CDAD=即320(31)x=-+，解方程求出BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.【详解】如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则∠CDB=45°，∠CAD=30°，∵∠CDB=45°，CD⊥BD，∴BD=CD，设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t，∵tan∠CAD=3CDAD=，AD=AB+BD，∴3320(31)x=-+，得x=20（海里），∴BC=2BD=202（海里），∴t=202=22（小时），故选C.【点睛】本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 4．C解析：C【解析】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：∵DP ⊥BP ，AC 为直径；∴∠DPB=∠PBC=90°.∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线.∴∠PDE=90°=∠DEB,∴四边形PDEB 为矩形，∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6.∴PD=BE=EC.∴OE=12AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x..在Rt △OEC 中:222OE EC OC +=,即：()()222363x x +-=+，解得x=2.所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理. 5．A解析：A【解析】已知△ABC 的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC 是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC 的面积为12×6×8=24，故选A ． 6．A解析：A【分析】设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．【详解】设CF=x ，则AC=x+2，∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ，∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x ，∵∠A=90°，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A ．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．7．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形；C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形． 8．B解析：B【解析】试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定（米）．故选B ．9．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A 、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、222+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：22+＝5，43当斜边为4时，则第三边为：2243-＝7，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．7【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．【详解】连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，∵CE∥AB，∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝3，∴DE＝AD−AE＝1，∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝1，∴CF＝CE−EF＝2，OF＝OD−DF＝1，22OC CF OF3∴=-=，22BC=OB+OC=7∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．12．82【分析】根据S△PAD＝13S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【详解】设△PAD中AD边上的高是h．∵S△PAD＝13S矩形ABCD，∴12AD•h＝13AD•AB，∴h＝23AB＝4，∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE22228882AE AD++=即PA+PD的最小值为2．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标．【详解】解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点，在直角△OPC 中，CP ＝22OP OC -＝2254-＝3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点，过D 作DM ⊥BC 于点M ，在直角△PDM 中，PM ＝22PD DM -＝3，当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.14．2【分析】连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD =+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线， ∴225AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.1510【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴33417OE = ∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634217FG EC == ∴2034BE BO OE =+=∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.16．258【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB+BC=3+4=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．17．3．【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴33即BM+MN3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．18．4或25或10【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2222⨯=．在Rt△BAC中，BC2222=+=22，∴BD22222222BE DE（）（）=+=++= 25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210 BC CD=+=+=（）（）．故BD 的长等于4或．故答案为4或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，19．【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y =；当x=9时，x 、y =；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．20．78．【解析】∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC ．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM＝DN＝FN＝EM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF＝2DM，BE﹣CF＝2BM，在Rt△BMD中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM＝3BM，进而可得BE+CF＝3（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度22257-米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴BD+BE=DE=22CD CE -=222520-=15，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．23．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM = 【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==，∴2232MN MO NO p =-=， ∴32q p =；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =，∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．24．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==， ∴()22227BE +=，解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 4532HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为62，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+ 1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==， ∴622AH AE EH =+=+， 22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称，∴523AB BC ==+∴225231043AC BC ==+=+∴ min PC AC AP =-，10432=+⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．25．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=D C=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+；（3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，∴∠BED=90°，∴△BED 是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE =+=，∴2BD DE =.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.28．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于。

勾股定理经典培优题及答案

勾股定理经典培优题类型之一勾股定理的验证1．小明利用如图17－X －1①所示的图形(三个正方形和一个直角三角形)验证勾股定理验证勾股定理，，他的方法如下：过点D 作直线FG ∥AC ，过点E 作直线GH ∥BC ，直线FG 与直线GH 交于点G ，与直线BC 交于点F ，直线GH 与直线AC 交于点H ，如图②所示．请你回答：(1)△ABC 与△BDF ，△DEG ，△EAH 有什么关系？为什么？(2)用含a ，b 的代数式表示正方形CFGH 的面积；(3)你能否根据图形面积之间的关系找到a ，b ，c 之间的数量关系？(4)你能得到什么结论？图17－X －1 2．勾股定理神秘而美妙勾股定理神秘而美妙，，它的证法多样它的证法多样，，其巧妙各有不同其巧妙各有不同，，其中的“面积法”给了小明灵感其中的“面积法”给了小明灵感，，他惊喜地发现他惊喜地发现，，当四个全等的直角三角形如图17－X －2摆放时摆放时，，可以用“面积法”来证明a 2＋b 2＝c 2.(请你写出证明过程) 图17－X －2 类型之二勾股定理及其应用3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为() A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，，创制了一幅“弦图”创制了一幅“弦图”，，后人称其为“赵爽弦图”．如图17－X －3是由弦图变化得到的是由弦图变化得到的，，它由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3.若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝________. 图17－X －3 图17－X －4 5．图17－X －4①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍的直角边分别向外延长一倍，，得到图②所示的数学“风车”得到图②所示的数学“风车”，，则这个数学“风车”的外围周长是________．6．知识回顾：在学习《二次根式》时知识回顾：在学习《二次根式》时，，我们知道：2＋3≠5；在学习《勾股定理》时在学习《勾股定理》时，，由于2，3，5满足(2)2＋(3)2＝(5)2，因此以2，3，5为三边长能构成直角三角形．三角形．探索思考：请通过构造图形来说明：a ＋b ≠a ＋b (a ＞0，b ＞0)．(画出图形并进行解释) 7．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝20，D 是直线BC 上的一个动点上的一个动点，，连接AD ，如果线段AD 的长度最短是12，请你求△ABC 的面积．的面积．类型之三勾股定理的逆定理及其应用8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，，能构成直角三角形的有( ) A ．②B ．①②．①②C ．①③．①③D ．②③．②③ 9．如果△ABC 的三边长分别是m 2－1，m 2＋1，2m (m >1)，那么下列说法中正确的是( ) A ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2＋1 B ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为2m C ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2－1 D ．△ABC 不是直角三角形不是直角三角形10．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式(a ＋2b －60)2＋|b －18|＋c －30＝0，则△ABC 是________三角形．类型之四勾股定理及其逆定理的综合应用图17－X －5 11．如图17－X －5，E 是正方形ABCD 内的一点内的一点，，连接AE ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE ＝1，BE ＝2，CE ＝3，则∠BE ′C ＝________°. 12．如图17－X －6，在4×3的正方形网格中有从点A 出发的四条线段AB ，AC ，AD ，AE ，它们的另一个端点B ，C ，D ，E 均在格点上(正方形网格的交点)．(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB ，AC ，AD ，AE 的长度(结果可以保留根号)；(2)在AB ，AC ，AD ，AE 四条线段中四条线段中，，是否存在三条线段是否存在三条线段，，它们能构成直角三角形？如果存在它们能构成直角三角形？如果存在，，请指出是哪三条线段条线段，，并说明理由．并说明理由．图17－X －6 类型之五勾股定理在实际生活中的应用图17－X －7 13．如图17－X －7是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌，，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为________米(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．14．如图17－X －8，A ，B 两地之间有一座山两地之间有一座山，，汽车原来从A 地到B 地需经过C 地沿折线ACB 行驶行驶，，现开通隧道后隧道后，，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC ＝10千米千米，，∠A ＝30°，∠B ＝45°则隧道开通后则隧道开通后，，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？(结果保留根号) 图17－X －8 。

勾股定理培优

勾股定理培优(总7页) -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1■CAL-本页仅作为文档封面.使用请直接删除D. 94间的距离为第19讲勾股定理考点•方法•破译1. 会用勾股定理解决简单问题.2. 会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3. 勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可山勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典•考题•赏析【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的形，所有的三角形都是直角三角形•若正方形冻B 、C 、〃的 2, 3,则最大正方形疋的面积是（）A. 13B. 26C. 47【解法指导】观察勾股树，发现正方形A. B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边•此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形而积之和等于较大正方形的而积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C. D 四个面积之和，故选C.【变式题组】02 .（浙江省温州）在直线/上的依次摆放着七个正方形（如图所示），己知斜放置的三个正方形的面积分别是1, 2, 3,正放置的四个正方形的面积依次是Si, 51, Ss, 5*4,则S1+S2 + S3 + S4二03 .（浙江省丽江）如图，已知△ ABC 中，乙ABC 二90。

，AB = BC.三角形的顶点在相互平行的三条直线k I2. b 上,且〃、b 之间的距离为2, h. b 之 3,则AC 的长是（）A ・ 2V17B . 2y/sC . 4 72四边形都是正01・（安徽）如图，直线/过正方形ABCD 的顶点5点人C 到直线/的距离分别是1和2,则正方形的边长是.D . 7【例2】（青岛）如图，长方体的底面边长分别为和3c“ 高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要________ w；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B.那么所用细线最短需要_________【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短•画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10, 2^/97i67.【变式题组】01.（恩施）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,—只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点5需要爬行的最短距离是（）便于长为13如小孔到图中边距离为1“ 到上盖中与02 .（荆州）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5x6X10（单位:c加）,在上盖中开有一孔AB相邻的两边距离相等.设插入吸管后露在盒外面的长为hcn h则力的最小值大约为____ 精确到个位，参考数据:庞二1 • 4,丽二1 . 7:扁二2 . 2）03 .（荆州）若一边长为40c〃的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____ ⑷•（铁丝粗细忽略不计）【例3】（荆州妆口图，将边长为&加的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处‘折痕为NM,则线段CN的长是（）C • 5cmD . 6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN = x, DN二NE=E-x.在RfHCEN中，（8-x）2 = 42 + "%二5•故选C【变式题组】01 •在四边形ABCD中，乙3 二90。

初中数学数学勾股定理的专项培优练习题(附解析

一、选择题1．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（）A ．8B ．10C ．12D ．142．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（）A ．62B ．22C ．210D ．66．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )A ．3-B ．5-C ．13-D ．15-7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4 B ．16 C ．34D ．4或34 8．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（）A ．5B ．51-C ．51+D ．51-+9．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，B C '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（）A ．3B ．154C ．5D ．15210．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为．12．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)14．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．16．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.17．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ，且3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ．（1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．23．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．24．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．25．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B的二分割线，且DBC ∠角度是；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．26．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .27．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.28．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.29．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图30．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵DC＝2，BD＝6，∴BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝8，根据勾股定理可得DC′＝2222BC BD'+=+=．8610故选：B．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．3．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状.【详解】∵a+b=10，ab=18，∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64，∵,c=8，∴2c =64，∴22a b +=2c ，∴该三角形是直角三角形，故选：B.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22a b +是解题的关键.4．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ． ∵在△BAD 和△CAE 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．∴BD=CE ．本结论正确．②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD ⊥CE ．本结论正确．③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE ，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得：BE 2=BD 2+DE 2．∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AD ，即DE 2=2AD 2．∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2．而BD 2≠2AB 2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C ．5．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴====='' 2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210. 故答案为：210.6．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB 的长，即为AC 的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】由勾股定理得，22125AB =+=∴5AC AB ==∵点A 表示的数是1∴点C 表示的数是15-故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB 的长是解题的关键.7．D解析：D【解析】试题解析：当3和52235+34当5．故选D．8．B解析：B【分析】由数轴上点P表示的数为1-，点A表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得PB而即可得到答案．【详解】∵数轴上点P表示的数为1-，点A表示的数为1，∴PA=2，又∵l⊥PA，1AB=，∴PB=∵∴数轴上点C1．故选B．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．9．B解析：B【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：设ED=x，则AE=6-x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC；由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6-x）2，解得：x=154，∴ED=154．故选：B ．【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．10．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．二、填空题11．【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点B′，过B′点作B′D ⊥AB 于D ，交AC 于E ，连接AB′、BE ，则BE+ED=B′E+ED=B′D 的值最小．∵点B 关于AC 的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴，∵S △ABB′=12•AB•B′D=12•BB′•AC ，∴B′D=B 10121201313B AC AB '⋅⨯==,∴BE+ED= B′D=12013. 考点：轴对称-最短路线问题.12．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．13．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺），因此葛藤长222021+=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．14．5【分析】在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.15．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC＝6（cm）；①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.52＝3.75（秒）；②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，解得：t＝94，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.1610【分析】过点F作FG⊥BE，连接OF、EF，先根据等腰直角三角形的性质得出DC的值，再用勾股定理求出OE的值，然后根据中位线定理得出FG的的值，最后再根据勾股定理得出OF的值即可.【详解】过点F作FG⊥BE，连接OF、EF，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴33417OE = ∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634217FG EC == ∴2034BE BO OE =+=∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.1715【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-= ∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 18．485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485. 19．17，144，145【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．20．3或3或15【分析】根据直角三角形的性质求出BC ，勾股定理求出AB ，根据直角三角形的性质列式计算即可．【详解】解：如图∵∠B=90°，∠A=30°， ∴BC=12AC=12×8=4，由勾股定理得，22228443AC BC -=-=43333AD ∴==当点P 在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD ，∴∠ADP=90°，则AD 2+PD 2=AP 2，即（32=（2PD ）2-PD 2，解得，PD=3，当点P 在AB 上时，AP=2PD ，3∴3当点P 在BC 上时，AP=2PD ，设PD=x ，则AP=2x ，由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，()(222233x x ∴-=-解得，15 故答案为：3315【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(23y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED＝90°，进而可得∠BDE=30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，根据AAS易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可根据ASA证明△EMD≌△FND，可得EM＝FN，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM＝DN＝FN＝EM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF＝2DM，BE﹣CF＝2BM，在Rt△BMD中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM＝3BM，进而可得BE+CF＝3（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD ≌△FND （ASA ），∴EM ＝FN ，∴BE +CF ＝BM +EM +CN －FN ＝BM +CN ＝2BM ＝BD ＝12BC ＝12AB ；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再判断出CD 2+CE 2=2AC 2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝12∠ADE＝12×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC外侧与点B和点C组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC时；②当CD=CB=BD时；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时．【详解】（1）∵∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∴AB=AC=AD．∴四边形ABCD是邻和四边形；（2）如图，格点D、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23， ∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=，∴S △ADC =1423432⨯⨯=，S △ABC =12AB×BC =23， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63；②当CD =CB =BD =23时，如图所示：∴△BDC 为等边三角形，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =160302⨯︒=︒，∴12BE BD ==3DE ===，∴S △BDC =132⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，∴DF=12S △ADB =122⨯=，∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =；③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．∴邻和四边形ABCD 的面积是或【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．24．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由（1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.25．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；故答案为：20°；（2）如图所示：∠BAC=35°；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522A αα︒-︒-∠==︒-；当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．26．作图见解析，325 【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅ ∴8545∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭x ∴()2221654=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．27．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；D E=BE．设（2）作△ADC关于AC的对称图形AD'C,过点C作CE⊥AB于点E，则''D E=BE=x．在Rt△CEB和Rt△CEA中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC关于CD的对称图形△A′DC，∴A′D=AD，C A′=CA，∠CA′D=∠A=60°，∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，∴A′D=A′B，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△AD′C．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC平分∠BAD，∴D′点落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，设D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.28．（1）①详见解析；（2）2222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD=+=∴22CD =2222n n =+-（1n >）（2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.29．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，∴t=4.5s；当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E 作EF 垂直AB 于F ，∵ED=EA ，∴DF=AF=12AD=3，在Rt △AEF 中，EF=4；∵BM=2t ，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt △EFM 中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=4912．综上所述，符合要求的t 值为4.5或5或4912．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．30．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 73【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴()()22AB 234813=+++= 故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=。

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