贵州省名校2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析

贵州省名校2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1
．若直线的参数方程为132x t
y =+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），则直线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
【答案】D 【解析】 【分析】
将直线的参数方程化为普通方程，求出斜率，进而得到倾斜角。

【详解】
设直线的倾斜角为)
,0,180αα⎡∈⎣o
o
，将直线的参数方程132x t
y =+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数）消去参数t
可得
)21y x -=-
，即2y =
，所以直线的斜率tan k α== 所以直线的倾斜角150α=︒，故选D. 【点睛】
本题考查参数方程和普通方程的互化以及直线的倾斜角，属于简单题。

2．已知函数()x
f x e =，()1
ln
22
x g x =+的图象分别与直线()0y m m =>交于,A B 两点，则AB 的最小值为( ) A ．2 B ．2ln2+
C ．2
1+
2
e D ．32ln
2
e - 【答案】B 【解析】
由题意，()12,,2,m A lnm m B e m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，其中，122m e lnm -
>，且0m >，所以122m AB e lnm -=-.
令1
2
y 2,0x e
lnx x -
=->，则12
1
y 2x e
x
--'=，y '为增函数. 令y 0'=，得12
x =. 所以102x <<
.时y 0'<，1
2
x >时y 0'>, 所以12
y 2,0x e lnx x -
=->在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. 所以1
2
x =
时, 22min AB ln =+.
点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：
（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式； （2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理. 3．已知l 、m 、n 是空间三条直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若l // m ，l // n ，则m // n B ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则m // n
C ．若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB // l
D ．若三条直线l 、m 、n 两两相交，则直线l 、m 、n 共面 【答案】A 【解析】
分析：由公理4可判断A ，利用空间直线之间的位置关系可判断B ，C ，D 的正误，从而得到答案． 详解：由公理4可知A 正确；
若l ⊥m ，l ⊥n ，则m ∥n 或m 与n 相交或异面，故B 错误；
若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB ∥l 或AB 与l 异面，故C 错误； 若三条直线l ，m ，n 两两相交，且不共点，则直线l ，m ，n 共面，故D 错误． 故选A ．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
4．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
设2
()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
在
【详解】
因为函数()y f x =的图象过原点， 所以可设2
()(0)f x ax bx a =+≠，
()'2f x ax b =+，
由图可知0,0a b <>,
2240,0244b ac b b a a a
--->=>， 则函数2
()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2,24b b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
在第一象限，故选A. 【点睛】
本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.
5．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A ．24种 B ．28种
C ．32种
D ．36种
【答案】B 【解析】
试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有
3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4
种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.
考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.
【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 6．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
设切点为()00x ,y ，则3
00y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出
曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】
若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32
000000y 1x 1k x x 1x 1x 1
--=
==++--， 又∵2
y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2
=-
， ∴过点()P 1,1与曲线3
C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 7．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．1
y x
=-
B ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．3y x =
D ．2log y x =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数． 【详解】 A ．1
y x
=-
在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数； D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数， 故选C ． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．
8．
1
1
||d x x -=⎰（ ）
A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据定积分的意义和性质，1
1
1
||2x dx xdx -=⎰
⎰，计算即可得出.
【详解】 因为
1
1
21
010
1||2=2|12
x dx xdx x -=⨯=⎰⎰， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题.
9．将两颗骰子各掷一次，设事件A 为“两颗骰子向上点数不同”，事件B 为“至少有一颗骰上点数为3点”则()
P B A =（ ） A ．
16
B ．
1130
C ．
815
D ．
13
【答案】D 【解析】 【分析】
用组合数公式计算事件A 和事件AB 包含的基本事件个数，代入条件概率公式计算． 【详解】
解：两颗骰子各掷一次包含的基本事件的个数是1．
事件A 包含的基本事件个数有111
66630C C C --=，则()305366
P A =
=． 事件AB 包含的基本事件个数为10，则()1036
P AB =
． 所以在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为：()10
136536
P B A =
=，
故选：D ． 【点睛】
本题考查条件概率，属于基础题．
10．在直角坐标系中，若角α的终边经过点22(sin
,cos )33
P ππ
，则sin()πα-=（ ） A ．
1
2
B
．
2
C ．12
-
D
． 【答案】C
【解析】
分析：由题意角α的终边经过点22(sin ,cos )33P ππ，即点1
)2
P -，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.
详解：由题意，角α的终边经过点22(sin
,cos )33P ππ，即点1
)2
P -，
则1r OP ===， 由三角函数的定义和诱导公式得1
sin()sin 2
y r παα-==
=-，故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
11．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，有下列命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥； ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；
④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，那么//αβ； 其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③
C ．②④
D ．②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面垂直与线面平行的性质可判断①;由直线与平面垂直的性质可判断②;由直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断④. 【详解】
对于①如果m n ⊥,m α⊥,//n β,根据线面垂直与线面平行性质可知αβ⊥或//αβ或αβ⋂,所以①错误
对于②如果m α⊥,//n α,根据直线与平面垂直的性质可知m n ⊥,所以②正确; 对于③如果//αβ,m α⊂,根据直线与平面平行的判定可知//m β,所以③正确;
对于④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,当两个平面相交时,若三个点分布在平面β的两侧,也可以满足条件,所以//αβ错误,所以④错误;
综上可知,正确的为②③ 故选:B 【点睛】
本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档题. 12．口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列
{}1,:1,n n n a a n -⎧=⎨
⎩第次摸取红球
第次摸取白球
，如果n S 为数列{}n a 前n 项和，则73S =的概率等于（ ）
A ．2
5
57
1233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．25
27
2133C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．2
5
57
1133C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．3
4
37
1233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】B 【解析】
分析：由题意可得模球的次数为7次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，利用独立性事件的概率乘法公式求解即可．
详解：由题意73S =说明摸球七次，只有两次摸到红球， 因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是2
3，摸到白球的概率是13
所以只有两次摸到红球的概率是2
2
5
72
1()()3
3
C ，故选B ．
点睛：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中通过73S =确定摸球次数，且只有两次摸到红球是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数22
log (3),2
()2,2
x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(log 12)f =_________ 【答案】3 【解析】 【分析】
判断2log 122≥，再代入2
()2x f x -=，利用对数恒等式，计算求得式子的值为3.
【详解】
因为2log 122≥，所以2(log 12)f =22log 12log 12222122324
-===，故填3.
【点睛】
在计算2log 1222-的值时，先进行幂运算，再进行对数运算，能使运算过程更清晰.
14．已知()()3
21233
f x x mx m x =
++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____． 【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 【解析】 【分析】
根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x ）≥0不恒成立，即可得到结论． 【详解】 ∵函数y 13
=
x 3
+mx 2+（m+2）x+3， ∴f′（x ）＝x 2+2mx+m+2， ∵函数y 13
=
x 3
+mx 2+（m+2）x+3在R 上不是增函数， ∴f′（x ）＝x 2+2mx+m+2≥0不恒成立， ∴判别式△＝4m 2﹣4（m+2）＞0， ∴m 2﹣m ﹣2＞0， 即m ＜﹣1或m ＞2，
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．
15．某中学开设类选修课门，类选修课门，类选修课门，每位同学从中共选门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_______种. 【答案】
【解析】 【分析】
每位同学共选门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A 类，可能是B 类，可能是C 类. 【详解】
（1）当选2门的为A 类，， （2）当选2门的为B 类，， （3）当选2门的为C 类，，
选法共有.
【点睛】
分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑. 16．若不等式
32
1032
a a x x -+<有且只有1个正整数解，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()6,+∞ 【解析】 【分析】 令()32132
a a f x x x =
-+（0x >），求出()()21f x ax ax ax x '=-=-，由导数研究函数()f x 的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出a 的范围． 【详解】 令()32132
a a f x x x =
-+（0x >），则()()21f x ax ax ax x '=-=-. 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >； 所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，不合题意，舍去； 当0a =时，有10<，显然不成立；
当0a >时，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<； 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
依题意，需()()110,32
84210,
32a a f a a f ⎧=-+<⎪⎪⎨⎪=-+≥⎪⎩
解得6a >，
故实数a 的取值范围是()6,+∞. 【点睛】
本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知二项式2
12
1
(2)x x
+． （1）求展开式中的常数项；
（2）设展开式中系数最大的项为t mx 求t 的值。

【答案】（1）7920；（2）12. 【解析】
【分析】
(1)直接利用展开式通项,取x 次数为0,解得答案.
(2)通过展开式通项最大项大于等于前一项和大于等于后一项得到不等式组,解得答案. 【详解】
解：（1）展开式中的通项(
)
1221224311212122r
r
r
r r r
r T C x
C x
x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，令2430r -=得8r =所以展开式中的常数项为84
1227920C =
（2）设展开式中系数最大的项是1r T +，则1211112121211312
12221013
3322r r r r r r r r
C C x C C -+----⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩ 所以4r =代入通项公式可得12t =. 【点睛】
本题考查了二项式定理的常数项和最大项,意在考查学生的计算能力.
18．有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费10元（不返还），游戏甲有3种结果：可能获得15元，可能获得10元，可能获得5元，这三种情况的概率分别为
16，12，1
3
；游戏乙有2种结果：可能获得20元，可能获得0元，这两种情况的概率均为
12
. （1）某人花20元参与游戏甲两次，用X 表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱数），求X 的概率分布及期望；
（2）用ξ表示某人参加n 次游戏乙的收益，n 为任意正整数，求证：ξ的期望为0. 【答案】（1）分布列见解析，期望为5
3
-；（2）见解析． 【解析】
分析：（1）X 表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为10，5，0，5-，10- 分布列为：
（2）用ξ表示某人参加n 次游戏乙的收益可能取值为10n ，()102n -，()104n -，…，
()102n k -，…10n -（k N ∈且0k n ≤≤），每次独立，获奖的概率为1
2
.满足二项分布。

详解：（1）则X 的所有可能取值为10，5，0，5-，10-，
()2
1110636
P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭，()1
21115626P X C ==⨯⨯=，。