2023年高考物理专题复习第14讲机械振动和机械波

第14讲机械振动和机械波
考向一振动与波动重难考向高分点
【研典题通法】
命题角度1波动图像分析
典例1 (多选)(2021·山东等级考)一列简谐横波沿x轴传播,如图所示,实线为t1=2 s时的波形图,虚线为t2=5 s时的波形图。

以下关于平衡位置在O处质点的振动图像,可能正确的是()
【解析】选A 、C 。

若机械波沿x 轴正方向传播,在t 1=2 s 时O 点振动方向竖直向上,则传播时间Δt =t 2-t 1=3 s,满足Δt =3
4T +nT (n =0,1,2,3…),解得T =12
4n+3 s (n =0,1,2,3…),当n =0时,解得T =4 s,故A 正确、B 错误;若机械波沿x 轴负方向传播,在t 2=5 s 时O 点处于波谷,则Δ
t =14T +nT (n =0,1,2,3…),解得T =12
4n+1s(n =0,1,2,3…),当n =0时,解得T =12 s,故C 正确、D 错误。

【类题拓展】
(多选)一列简谐横波沿x 轴传播,如图所示,实线为t 1=2 s 时的波形图,虚线为t 2=5 s 时的波形图。

下列说法正确的是( )
A.波速是1
3 m/s B.波速可能是73 m/s
C .x =4 m 处的质点t 1到t 2时间内的位移可能是25 cm
D .x =4 m 处的质点t 1到t 2时间内的位移可能是55 cm
【解析】选B 、C 、D 。

若向左传播,则t 2-t 1=(1
4+n )T ,v =λ
T =
4n+13
m/s;若向右传播,则
t 2-t 1=(34+n )T ,v =λT =
4n+3
3 m/s,若n =1,v =7
3 m/s,选项A 错误、B 正确。

x =
4 m 处的质点可能先向
下运动,运动了(n +1
4)T ,则运动路程x =(4n +1)A =5×(4n +1) cm,若n =1,x =25 cm,选项C 正确。

x =4 m 处的质点可能先向下运动,运动了(n +3
4)T ,则运动路程x =(4n +3)A =5×(4n +3) cm,若n =2,x =55 cm,选项D 正确。

命题角度2 波动图像和振动图像的综合应用
典例2(多选)(2022·龙岩模拟)图甲为一列简谐横波在t=0.10 s时刻的波形图,此时质点P 的位置横坐标为x=1 m,质点Q的位置横坐标为x=4 m。

图乙为质点Q的振动图像。

则下列说法正确的是()
A.该波沿x轴正方向传播
B.该波的传播速度是40 m/s
C.从t=0.10 s到0.20 s内,质点P沿x轴方向运动4 m
D.t=0.10 s时,沿x轴正方向与P相距10 m处的质点与P点振动方向相反
[思路导引]
(1)观察波长、周期,计算波速;
↓
(2)根据距离、波速计算传播所用时间;
↓
(3)根据质点振动时间分析质点的位移、回复力……
【解析】选B、D。

在t=0.10 s时,由图乙知质点Q正向下运动,根据“同侧法”可知该波沿x 轴负方向传播,故A错误;由题图甲知波长λ=8 m
由题图乙知该波的周期是T=0.20 s
则波速为v=λ
T =8
0.20
m/s=40 m/s,
故B正确;质点P垂直波的传播方向振动,因此P不沿x轴运动,故C错误;因为λ=8 m,所以在t=0.10 s时,沿x轴正方向与P相距10 m处的质点的振动情况相当于沿x轴正方向与P相距2 m处的质点振动情况,由题意可知当该点在P右边2 m处时与P点振动方向相反,故D正确。

命题角度3波传播的周期性和多解性问题
典例3 (多选)A、B两列简谐波在两种介质中均沿各自x轴正向传播,在某时刻的波形分别如图中甲、乙所示,经过时间t(t小于A波的周期T A),这两列简谐横波的波形分别变为图中丙、
丁所示,则A 、B 两列波的波速v A 、v B 之比可能是( )
A.1∶1
B.2∶1
C.1∶3 D .3∶1
【解析】选A 、C 。

A 波t 时间内的传播距离可能是0.12 m,所以A 波的波速v A =0.12t
(m/s),B
波t 时间内的传播距离可能是0.12n m,所以B 波的波速v B =0.12n t
(m/s),所以v A ∶v B =1∶n ,选
项A 、C 正确。

【通法悟道】计算波速的两个方法 (1)根据波长λ、周期T 计算波速v =λ
T ;
(2)根据波形传播的距离x 和所用的时间t 计算波速v =x
t 。

【悟 模型图解】
项目
振动图像
波形图像
图像
物理 定义
表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 图像 信息
(1)振动周期
(2)振幅 (3)各时刻位移
(4)各时刻速度、加速度方向
(1)波长、振幅 (2)任意一质点位移
(3)任意一质点在该时刻的加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
[提醒] 研究振动和波动问题的三个角度: ①根据t =(n +m )T 分析质点振动周期; ②根据l =(n +m )λ分析波长
;
③根据v=λ
T 、v=x
t
分析波速。

【练预测题组】
1.(角度1)如图所示为一列简谐横波沿x轴传播在t=0时刻的波形图,P、Q分别是平衡位置在x
1
=1 m、x2=12 m处的质点,从t=0时刻开始,质点Q比质点P早0.1 s第一次到达波峰,则下列说法错误的是()
A.波沿x轴正向传播
B.波传播的速度大小为10 m/s
C.3 s内质点P运动的路程为1 m
D.质点Q的振动方程为y=-10sin(3π
5
t) cm
尝试建构模型:_________________________
【解析】选D。

从t=0时刻开始,质点Q比质点P早0.1 s第一次到达波峰,说明t=0时刻质点P、Q沿y轴负方向运动,因此波沿x轴正向传播,故A正确,不符合题意;质点Q比质点P早0.1 s第一次到达波峰,则质点P从t=0时刻到达平衡位置需要的时间为0.1 s,则波传播的速
度v=x
t =1
0.1
m/s=10 m/s,故B正确,不符合题意;质点振动的周期T=λ
v
=1.2 s,3 s内质点P运动
的路程s=t'
T
×4A=100 cm=1 m,故C正确,不符合题意;波沿x轴正向传播,初始时刻质点Q处于
平衡位置,则质点Q的振动方程为y=-A sin(2π
T t) cm=-10sin(5π
3
t) cm,故D错误,符合题意。

2.(角度2·多选)一列简谐横波沿x轴传播,在t=0.125 s时的波形如图甲所示,M、N、P、Q 是介质中的四个质点,已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m。

如图乙所示为质点P的振动图像。

下列说法正确的是()
A.该波的波速为120 m/s
B .该波沿x 轴正方向传播
C .质点P 的平衡位置位于x =3 m 处
D .从t =0.125 s 开始,质点Q 比质点N 早1
30 s 回到平衡位置 尝试建构模型:____________________________
【解析】选A 、D 。

设该波的波长为λ,根据三角函数知识可知,N 、Q 两质点平衡位置间的距离为x NQ =3λ
4-π6
2π
·λ=16 m,解得λ=24 m,由题图乙可知该波的周期为T =0.2 s,所以该波的波速为
v =λ
T =120 m/s,故A 正确;由题图乙可知,t =0.125 s 时刻,质点P 沿y 轴负方向运动,此时P 应位于波传播方向波形的上坡,所以该波沿x 轴负方向传播,故B 错误;由题图乙可知,在t =0.125 s 之后,质点P 第一次位于波峰的时刻为t =0.25 s,易知此波峰为t =0.125 s 时刻质点Q 所在处的波峰传播来的,所以有
x Q -x P v
=0.25 s-0.125 s,解得x P =1 m,故C 错误;从t =0.125 s 开始,
质点Q 第一次回到平衡位置所经历的时间为t 1=T
4=0.05 s,图甲中,质点Q 左侧波形的第一个平衡位置处坐标为x 1=x Q -λ
4=10 m,该振动状态第一次传播到质点N 所经历的时间为t 2=x
1v =1
12 s,则Δt =t 2-t 1=1
30 s,即质点Q 比质点N 早1
30 s 回到平衡位置,故D 正确。

3.(角度3·多选·2022山东等级考)一列简谐横波沿x 轴传播,平衡位置位于坐标原点O 的质点振动图像如图所示。

当t =7 s 时,简谐波的波动图像可能正确的是( )
尝试建构模型:____________________
【解析】选A 、C 。

由O 点的振动图像可知,周期为T =12 s,设原点处质点的振动方程为
y =A sin(
2πT
t +φ),则10=20sin φ,解得φ=π6,在t =7 s 时刻y 7=20sin(2π12×7+π
6)cm =-10√3 cm
≈-17.3 cm,因7 s=1
2T +1
12T ,则在t =7 s 时刻质点在y 轴负方向向下振动,根据“同侧法”可判断若波向右传播,则波形如C 所示;若波向左传播,则波形如A 所示。

故选A 、C 。

【加固训练】
(多选)两列简谐横波在同种介质中沿x 轴相向传播,如图所示是两列波在t =0时的各自波形图, 实线波A 向右传播,周期为T A 。

虚线波B 向左传播,已知实线波的振幅为10 cm,虚线波的振幅为5 cm 。

则下列说法正确的是( )
A.实线波和虚线波的传播速度之比为2∶1
B.两列波在相遇区域内不会发生干涉现象 C .两列波相遇后,x =5 m 处的质点振幅最小 D .t =T A 时,x =5 m 处的质点的位移为5 cm
【解析】选C 、D 。

同种介质中波的传播速度相同,故A 错误;实线波的波长与虚线波的波长相同,它们的波速相等,由波速公式v =λf 可得,频率相同,能发生干涉现象,故B 错误;两列波相遇后,x =5 m 处的振动方向恰好相反,振幅最小,故C 正确;在时间t =T A 内,实线波A 向右传播一个周期,而虚线波B 向左传播一个周期,此时x =5 m 处的质点由实线波引起的位移为10 cm,由虚线波引起的位移为-5 cm,则此时此质点的位移为5 cm,故D 正确。

考向二 机械振动与动力学、能量、动量的综合应用 重难考向 高分点 命题角度1 机械振动与动力学综合问题
典例4 (多选)(2022·湖南选择考改编)下端附着重物的粗细均匀木棒,竖直浮在河面,在重力和浮力作用下,沿竖直方向做频率为1 Hz 的简谐运动:与此同时,木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动,如图(a)所示。

以木棒所受浮力F 为纵轴,木棒水平位移x 为横轴建立直角坐标系,浮力F 随水平位移x 的变化如图(b)所示。

已知河水密度为ρ,木棒横截面积为S ,重力加速度大小为g 。

下列说法正确的是( )
A.x 从0.05 m 到0.15 m 的过程中,木棒的动能先增大后减小
B.x 从0.21 m 到0.25 m 的过程中,木棒加速度方向竖直向下,大小逐渐变小
C.x =0.35 m 和x =0.45 m 时,木棒的速度大小相等,方向相反
D.木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为F 1-F
2
2ρSg
【解析】选A 、B 、D 。

由简谐运动的对称性可知,0.1 m 、0.3 m 、0.5 m 时木棒处于平衡位置;则x 从0.05 m 到0.15 m 的过程中,木棒从平衡位置下方向上移动,经平衡位置后到达平衡位置上方,速度先增大后减小,所以动能先增大后减小,A 正确;x 从0.21 m 到0.25 m 的过程中,木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置),加速度方向竖直向下,大小逐渐减小,B 正确;x =0.35 m 和x =
0.45 m 时,由图像的对称性知浮力大小相等,说明木棒在同一位置,竖直方向速度大小相等,速度方向相反,而两时刻木棒水平方向速度相同,所以合速度大小相等,方向不是相反,C 错误;木棒在竖直方向的简谐运动可类比于竖直方向的弹簧振子,设木棒长度为L ,回复力系数为k ,在平衡位置时木棒重心在水面下方Δx 0,则有ρgS (L
2+Δx 0)=Mg ,木棒重心在平衡位置上方最大位移A 处时Mg -F 2=Mg -ρgS (L
2+Δx 0-A )=kA ,木棒重心在平衡位置下方最大位移A 处时F 1-Mg =ρ
gS (L 2+Δx 0+A )-Mg =kA ,可解得k =ρgS ,A =F 1-F
22ρSg ,D 正确。

命题角度2 机械振动与动力学、能量、动量综合问题
典例5 (多选)如图所示,一倾角α=37°的直角斜面体固定在水平面上,AB 面光滑,AC 面粗糙。

一不可伸长的轻绳一端与静止在斜面AC 上、质量为M 的物体Q 相连,另一端跨过光滑定滑轮与AB 面上的轻弹簧相连,弹簧处于原长,绳与两斜面均平行。

现将一质量为m 的球P 与弹簧下端相连,并由静止释放,小球在ab 间做简谐运动,当小球运动到b 点时,物体Q 受到的摩擦力恰好为零。

已知ab 间距离为l =0.2 m,弹簧弹性势能的表达式为E p =1
2kx 2,式中x 表示弹簧的形变量,重力加速度g 取10 m/s 2,物体Q 始终处于静止状态,sin37°=0.6,cos37°=0.8,则下列判断正确的是( )
A .2M =3m
B .M =3m
C .小球运动的最大速度为√3
5 m/s
D .小球由静止释放到回到a 的过程中,物体Q 受到的摩擦力一直减小
【解析】选A 、C 。

根据题意,小球在ab 间做简谐运动,在a 点对小球受力分析可知,小球的回复力为F =mg sin37°,当小球运动到b 点时,设此时弹簧的弹力为F T ,根据对称性,对小球受力分析有F T -mg sin37°=mg sin37°,对物体Q ,根据平衡条件有F T =Mg sin53°,联立解得2M =3m ,故B 错误,A 正确;根据题意可知,当小球受到的回复力等于零时,速度最大,此时,弹簧的形变
量为Δx =l
2=0.1 m,则有mg sin37°=k Δx ,根据动能定理有mg sin37°·Δx -1
2k ·Δx 2=1
2m v m 2
,解
得v m =√3
5 m/s,故C 正确;根据题意,对物体受力分析,开始时,根据平衡条件有f =Mg sin53°,当小球运动起来后,有F T '+f'=Mg sin53°,则小球由静止释放到回到a 的过程中,弹簧弹力先增大后减小,则物体Q 受到的摩擦力先减小后增大,故D 错误。

【悟 模型图解】
简谐运动的几种常见模型
模型
图解
分析
单摆
①平衡位置:最低点
②回复力:重力的分力 ③周期:T =2π√l
g 水平弹簧振子
①平衡位置:弹簧原长处 ②回复力:弹簧的弹力
斜面上的挡板、物块组成的弹簧振子
①平衡位置:受力平衡处
②回复力:重力沿斜面的分力与弹簧弹力的合力 ③特殊情况:若向上运动时弹簧弹力大于下方物块沿斜面方向的重力的分力,物块会离开挡板 两物块叠放的竖直弹簧振子
①平衡位置:受力平衡处 ②回复力:重力与弹簧弹力的合力
③特殊情况:若向上运动时弹簧长度超出原长,两物块会分离
[提醒] 对于竖直面上两物块叠放在弹簧上的运动,向上运动过程中,两物块可能分离。

分离的位置可能在弹簧原长处,也可能在其他位置,分离时两物块间弹力恰好为零。

【练 预测题组】
1.(角度2)一根劲度系数为k 的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m 的物块。

用一水平木板将物块托住,使弹簧处于原长状态,如图所示。

现让木板由静止开始向下做匀加速运动,加速度大小a =g
2,忽略一切阻力。

下列说法正确的是( )
A.物块下落的整个过程中,物块、弹簧和地球组成的系统机械能守恒 B .当弹簧的伸长量x =
mg k
时,物块与木板分离
C .物块下落到最低点时的加速度大小为g
D .下落过程中物块的最大速度v m =g
2k √3mk 尝试建构模型:_____________________________
【解析】选D 。

物块下落的整个过程中,受到木板的支持力作用,且支持力对物块做负功,所以物块、弹簧和地球组成的系统机械能减小,故A 错误;当物块与木板之间的弹力为零,加速度为
g
2时,恰好与木板分离,则对物块受力分析有mg -kx =m ·g 2
,解得x =mg
2k ,故B 错误;若没有木板的作用,则物块由初态(弹簧处于自然长度)开始下落,到最低点为简谐运动,由对称性可知最低点时的加速度大小为g ,但实际过程中,有木板的作用力,则物块全程不是简谐运动, 则最低点加速度不为g ,故C 错误。

物块加速度为零时,速度达到最大,即满足mg =kx 1,
因为木板与物块分
离时,向下运动的位移为x ,则此时的速度为v 2
=2ax ,解得v =g √m
2k ,则从脱离到达到最大速度,
对物块与弹簧组成的系统,由机械能守恒定律得mg (x 1-x )+1
2mv 2=1
2k (x 12-x 2)+1
2m v m 2
联立解得v m =g
2k √3mk ,故D 正确。

2.(角度1)如图所示,倾角θ=30°的斜面固定在水平地面上,劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在斜面底端,另一端位于斜面上的O 点,此时弹簧处于原长。

质量为m 的滑块与弹簧拴接,恰好静止在O 点。

现将滑块沿着斜面向上拉到a 点,Oa =
4mg k
,g 为重力加速度大小,最大静摩擦力等
于滑动摩擦力,弹簧始终在弹性限度内,滑块可视为质点。

弹簧的弹性势能可表示为:E p =12
kx 2,k 为弹簧的劲度系数,x 为弹簧的形变量。

则滑块从a 点由静止释放以后,求:
(1)最大速度和最大加速度的大小;
(2)滑块向上运动的过程中到a 点的最近距离。

尝试建构模型:__________________________ 【解析】(1)滑块静止在O 点时,有mg sin θ=F f
在滑块从a 点由静止释放后,弹簧弹力等于滑块受到的合力,到O 点时速度最大,由动能定理
W k =1
2m v m 2-0 从a 点到O 点,弹簧弹力做功W k =F ·Oa F =
k ·Oa 2
联立可得v m =4g √m
k
滑块沿着斜面向下可视为简谐运动,振幅A 1=
4mg k
到达最低点时加速度最大,根据对称性,将要到达最低点时F k =ma m 可得a m =4g
(2)滑块沿着斜面上升到新的平衡位置时弹簧的压缩量为x 1,有kx 1=mg sin θ+F f 即滑块的振幅A 2=
3mg k
滑块到a 点的最近距离d =2(A 1-A 2)=2mg k
答案:(1)4g√m
k 4g (2)2mg
k
【加固训练】
(多选)如图甲所示,一轻弹簧上端固定在天花板上,下端与一质量为m的物体相连,物体下有一托盘,用托盘托着物体使弹簧处于原长状态。

现在突然撤去托盘,在物体竖直向下运动的整个过程中,其加速度a与弹簧的伸长量x间的关系如图乙所示。

已知x2=2x1,设弹簧的劲度系数为k,根据图中提供的信息,下列说法正确的是()
A.a1>a2
B.x2=2mg
k
C.当弹簧的伸长量为x1时,物体的速度大小为√a1x1
D.弹簧的伸长量从零增大到x2的过程中,弹簧弹力对物体做的功与重力做的功相同
【解析】选B、C。

由简谐运动的对称性可知,a1=a2,A错误;当x=x1时,对物体受力分析有kx1=mg,
则x2=2x1=2mg
k
,B正确;0~x1过程中图像与坐标轴围成的面积等于速度平方的一半,所以
v2=2·a1x1
2
=a1x1,解得伸长量为x1时,物体的速度v=√a1x1,C正确;弹簧的伸长量从零增大到x2的过程中,弹簧弹力对物体做负功,重力对物体做正功,两种力对物体做功不相同,D错误。