2021年北京市八年级上学期期末数学模拟试卷 (解析版) (2)

北京市八年级上学期期末数学模拟试卷
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．4的平方根是（）
A．2B．﹣2 C．±2 D．16
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）[来源:学科网]
A．B．C．D．
3．在下列事件中，属于必然事件的是（）
A．今天云层很厚，会下雨
B．打开电视机，正在播广告
C．口袋里有10个红球，1个黄球，从中随机摸出一个球它一定是绿球
D．掷出一个骰子，朝上的面上的数字不会超过6
4．若分式的值为0，则x的值为（）
A．1B．0C．﹣2 D．1或﹣2
5．有5张质地、大小、背面完全相同的卡片，在它们正面分别写着“S”、“W”、“E”、“E”、“T”这5个字母，现在把它们正面朝下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面写着“E”这个字母的概率是（）
A．B．C．D．
6．如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．30°
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
8．如图，等边△ABC的边长为6，E是AC边上一点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点．若AE=2，则EP+CP的最小值为（）
A．2B．C．4D．
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是．
10．约分：=．
11．一元二次方程x（x+2）=0的根为．
12．如图1，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a和c称为正放置的正方形，b称为斜放置的正方形．如果a和c的面积分别为1和4，那么b的面积为；如图2，在直线l上依次摆放着若干个正方形，已知斜放置的正方形的面积分别是1、2、3、…，正放置的正方形的面积依次是S1、S2、S3、…、S202X，则
S1+S2+S3+…+S202X=．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13．计算：+﹣+．
14．先化简，再求值：，其中a=﹣2．
15．解方程：．
16．解方程：2x2﹣8x+3=0．
17．已知：如图，A、B、C、D四点在一条直线上，且AB=CD，∠A=∠D，∠ECA=∠FBD．求证：AE=DF．
18．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，AB=10，AC=6．求AD的长度．
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
19．如图是三个5×5的正方形网格，请你用三种不同的方法分别把每幅图中的一个白色小正方形涂上阴影，使每幅图中的阴影部分成为一个轴对称图形．
20．列方程解应用题
202X年11月，APEC（“亚太经济合作组织”的简称）会议在中国北京成功召开．会议期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加30车次．经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，APEC会议期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问APEC会议期间这路公交车每天运行多少车次？
21．已知：在纸片上画有一直角三角形ABC，∠A=90°，∠B=22.5°，将其折叠，使点B与点C重合，折痕交AB于点D，交BC于点E，再将其打开，如图所示．若BD=3，求AB的长．
22．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．现在要将△ABC扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．
赵佳同学是这样操作的：如图1所示，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD．所以，△ADB为符合条件的三角形．则此时△ADB的周长为．
请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长．
五、解答题（共3道小题，23小题6分，24，25小题每题8分，共22分）
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围．
24．阅读下面材料：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范围．请你写出AD的取值范围；
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请你解决以下问题：
（1）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为．
（2）如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
25．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
答案
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．4的平方根是（）
A．2B．﹣2 C．±2 D．16
考点：平方根．
分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解答：解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故选：C．
点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的定义和性质进行逐项分析解答即可．
解答：解：A、B、C项是轴对称图形，由至少一条对称轴，D项没有对称轴，不是轴对称图形，
故选D．
点评：本题主要考查轴对称图形的性质，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．在下列事件中，属于必然事件的是（）
A．今天云层很厚，会下雨
B．打开电视机，正在播广告
C．口袋里有10个红球，1个黄球，从中随机摸出一个球它一定是绿球
D．掷出一个骰子，朝上的面上的数字不会超过6
考点：随机事件．
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
解答：解：A、今天云层很厚，会下雨是随机事件，故A错误；
B、打开电视机，正在播广告是随机事件，故B错误；
C、口袋里有10个红球，1个黄球，从中随机摸出一个球它一定是绿球是不可能事件，故C错误；
D、掷出一个骰子，朝上的面上的数字不会超过6是必然事件，故D正确；
故选：D．
点评：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．若分式的值为0，则x的值为（）
A．1B．0C．﹣2 D．1或﹣2
考点：分式的值为零的条件．
专题：计算题．
分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
解答：解：∵分式的值为0，
∴，解得x=﹣2．
故选C．
点评：本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
5．有5张质地、大小、背面完全相同的卡片，在它们正面分别写着“S”、“W”、“E”、“E”、“T”这5个字母，现在把它们正面朝下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面写着“E”这个字母的概率是（）
A．B．C．D．
考点：概率公式．
分析：由有5张质地、大小、背面完全相同的卡片，在它们正面分别写着：“S”、“W”、“E”、“E”、“T”这5个字母，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵有5张质地、大小、背面完全相同的卡片，在它们正面分别写着“S”、“W”、“E”、“E”、“T”这5个字母，
现在把它们正面朝下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，
∴抽出的卡片正面写着“E”这个字母的概率是：．
故选：A．
点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6．如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．30°
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：求出∠ABC的度数，证明∠DBA=∠A=50°，即可解决问题．
解答：解：如图2，∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C==65°；
由题意得：DA=DB，
∴∠DBA=∠A=50°，
∴∠DBC=65°﹣50°=15°．
故选B．
点评：该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点是解题的关键．
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
分析：根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解答：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8．如图，等边△ABC的边长为6，E是AC边上一点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点．若AE=2，则EP+CP的最小值为（）
A．2B．C．4D．
考点：轴对称-最短路线问题．
分析：要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
解答：解：连接BE，与AD交于点G．
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EM+CM的最小值．
∴G点就是所求点，即点G与点P重合，
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴P为AD的中点，
∴PE是△ADF的中位线，
∴DF=2PE，
∴BE=2DF=4PE，
∴BE=BP．
在直角△BDM中，BD=BC=3，DP=AD=，
∴BP==，
∴BE=×=2．
∵EP+CP=BE
∴EP+CP的最小值为2．
故选B．
点评：本题考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
解答：解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
点评：此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．约分：=．
考点：约分．
专题：计算题．
分析：先找出分子与分母的最大公因数或式，再约去最大公因数或式，从而达到约分的目的．
解答：解：原式==．
故答案为．
点评：本题考查了分式的约分，解决此题的关键是找出分子与分母的最大公因数或式．
11．一元二次方程x（x+2）=0的根为x=0或x=﹣2．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：根据两整式相乘为0，两整式至少有一个为0得到x与x+2中至少有一个为0，即可求出方程的解．
解答：解：∵x（x+2）=0，
∴x=0或x+2=0，
解得，x=0，或x=﹣2．
故答案是：x=0或x=﹣2．
点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12．如图1，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a和c称为正放置的正方形，b称为斜放置的正方形．如果a和c的面积分别为1和4，那么b的面积为5；如图2，在直线l上依次摆放着若干个正方形，已知斜放置的正方形的面积分别是1、2、3、…，正放置的正方形的面积依次是S1、S2、S3、…、S202X，则S1+S2+S3+…+S202X=10072．
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：如图1，根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，再根据等角的余角线段得∠BAC=∠DCE，则可根据“AAS”判定△ACB≌△DCE，得到AB=CE，BC=DE；由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=5；如图2，由前面的结论可得S1+S2=1=1+2×0，S3+S4=3=1+2×1，
S5+S6=1+2×2，…S2013+S202X=2013=1+2×2006，然后相加得到S1+S2+S3+…+S202X=10072．
解答：解：如图1，∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
而∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即S b=S a+S c=1+4=5；
如图2，由前面的结论可得S1+S2=1=1+2×0，
S3+S4=3=1+2×1，
S5+S6=1+2×2，
…
S2013+S202X=2013=1+2×2006，
∴S1+S2+S3+…+S202X=1007+2（1+2+…+2006）=10072．
故答案为5，10072．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13．计算：+﹣+．
考点：实数的运算．
专题：计算题．
分析：原式各项化简后，合并即可得到结果．
解答：解：原式=+3﹣5+2=﹣+2．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．先化简，再求值：，其中a=﹣2．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
解答：解：原式=•=•=，
当a=﹣2时，原式==﹣5．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．解方程：．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：本题的最简公分母是x（x﹣1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
解答：解：两边同时乘以x（x﹣1），得
x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），
移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，
合并，得﹣x=﹣2，
系数化为1，得x=2．
检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得
x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．
∴x=2是原方程的解．
点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
16．解方程：2x2﹣8x+3=0．
考点：解一元二次方程-配方法．
专题：配方法．
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵2x2﹣8x+3=0
∴2x2﹣8x=﹣3
∴x2﹣4x+4=﹣+4
∴（x﹣2）2=，
∴x=2±，
∴x1=2+，x2=2﹣．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17．已知：如图，A、B、C、D四点在一条直线上，且AB=CD，∠A=∠D，∠ECA=∠FBD．求证：AE=DF．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：先证出AC=BD，然后利用“ASA”证明△EAC和△FBD全等，根据全等三角形对应线段相等进行证明．
解答：证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
，
∴△EAC≌△FDB（ASA），
∴AE=DF．
点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用已知和等式性质得到AC=BD是解题的关键．18．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，AB=10，AC=6．求AD的长度．
考点：勾股定理．
分析：首先利用勾股定理得出BC的长，得出DC=4，进而求出AD的长．
解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，AB=10，AC=6，
∴BC==8，则BD=CD=4，
∴AD==2．
答：AD的长度为2．
点评：此题主要考查了勾股定理，得出BC的长是解题关键．
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
19．如图是三个5×5的正方形网格，请你用三种不同的方法分别把每幅图中的一个白色小正方形涂上阴影，使每幅图中的阴影部分成为一个轴对称图形．
考点：利用轴对称设计图案．
分析：利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形即可．
解答：解：如图所示：
．
点评：此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
20．列方程解应用题
202X年11月，APEC（“亚太经济合作组织”的简称）会议在中国北京成功召开．会议期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加30车次．经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，APEC会议期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问APEC会议期间这路公交车每天运行多少车次？
考点：分式方程的应用．
分析：设APEC会议期间这路公交车每天运行x车次，则原来的运行为（x﹣30）车次，根据APEC 会议期间平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，列方程求解．
解答：解：设APEC会议期间这路公交车每天运行x车次，则原来的运行为（x﹣30）车次，
由题意得，=，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
答：APEC会议期间这路公交车每天运行100车次．
点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
21．已知：在纸片上画有一直角三角形ABC，∠A=90°，∠B=22.5°，将其折叠，使点B与点C重合，折痕交AB于点D，交BC于点E，再将其打开，如图所示．若BD=3，求AB的长。

考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：如图，首先证明∠DCB=∠B=22.5°，进而得到∠ADC=45°；证明AD=AC，此为解题的关键性结论；求出AD的长度，即可解决问题．
解答：解：如图，连接DC；
由题意得：DC=DB=3，
∴∠DCB=∠B=22.5°，
∴∠ADC=22.5°+22.5°=45°；
∵∠A=90°，
∴∠ACD=90°﹣45°=45°，
由勾股定理得：DC2=AD2+AC2，
即2λ2=9，解得：λ=，
∴AB=3+．
点评：该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理、勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．
22．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．现在要将△ABC扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．
赵佳同学是这样操作的：如图1所示，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD．所以，△ADB为符合条件的三角形．则此时△ADB的周长为16．
请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长．
考点：作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：利用勾股定理可求出AB的长进而得出△ADB的周长；再根据题目要求扩充成AC为直角边的直角三角形，利用AB=BD，AD=BD，分别得出答案．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，CD=BC，
∴AB==5，则AD=AB=5，
故此时△ADB的周长为：5+5+6=16；
如图2所示：AD=BD时，设DC=x，则AD=x+3，
在Rt△ADC中，
（x+3）2=x2+42，
解得：x=，
故AD=3+=，
则此时△ADB的周长为：++5=；
如图3所示：AB=BD时，在Rt△ADC中，
AD==2，
故答案为：16．
点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．
五、解答题（共3道小题，23小题6分，24，25小题每题8分，共22分）
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m 的取值范围．
解答：（1）证明：∵△=[﹣（5m+1）]2﹣4（4m2+m）=（3m+1）2，
∵（3m+1）2是非负数，
∴△≥0．
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：解关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m=0得到，
x=或，
∴x1=4m+1，x2=m．
则由题意，得或，
解得，＜m＜8，
即m的取值范围是＜m＜8．
点评：本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组．
24．阅读下面材料：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范围．请你写出AD的取值范围1＜AD＜4；
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个
请你解决以下问题：
（1）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为BE2+CF2=EF2．
（2）如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
分析：利用三角形全等可以得出AD=AE，由三角形的三边关系建立不等式就可以得出结论；
（1）①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC，就有EF=GF，连结FG、CG，可证△BED≌△CDG，则CG=BE，由三角形的三边关系就可以得出结论；[来源:]
②如图2，由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°由勾股定理就可以得出结论；（2）延长AC到G使CG=BE，连结DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，进而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出结论．
解答：解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=5，AC=3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4；
（1））①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC
∵ED⊥DF
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF；
②如图2，∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°．
在△BDE和△CDG中，
，
∵△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．∠B=∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB=90°．
即∠GCF=90°．
∴CF2+GC2=GF2，
∴BE2+CF2=EF2．
故答案为：BE2+CF2=EF2；
（2）EF=BE+CF
理由：如图3，延长AC到G使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，∴∠B=∠DCG．
在△DBE和△DCG中
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG．
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
点评：本题考查了三角形的三边关系的运用，勾股定理的运用，四边形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
25．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题：证明题．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE；
（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以=2；
（3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于
∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出=1．
解答：（1）证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，
，
∴△DBC≌△CFE；
（2）解：如图1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，
，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴的值为2；
（3）解：的值不变．
在EH上截取EQ=DG，如图2，
在△CDG和△CEQ中
，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，
优质资料
，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴===1．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．。