北京东城高三二模数学文科试题及答案

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）
高三数学（文科） 2015.5
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项）
（1）已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为
（A ）{}2 （B ）{}01， （C ）{}34， （D ）{}0,1,2,3,4
（2）若复数2
()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
（3）已知圆的方程为
222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为 （A ）(1,3)-- （B ）(1,3)- （C ）(1,3) （D ）(1,3)-
（4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（5）设
0.8log 0.9
a =，
1.1log 0.9
b =，0.9
1.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是C
（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）c a b <<
（6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于 （A ）3 （B ）4
1
正（主）视图
1
1
（C ）5 （D ）6
（7）若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩，，，
则2||z x y =+的最大值为
（A ）13 （B ）11 （C ）3 （D ）1
（8）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,
点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为
（A ）
23
()222f x x x =-+
，[0,1]x ∈ （B ）
3
1,[0,),22()11,[,1].22x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨
⎪+∈⎪⎩
（C ）2
2312,[0,],22()312(1),(,1].22x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨
⎪--+∈⎪⎩ （D ）
23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知抛物线2
2y x =上一点P (,2)m ，则m = ，点P 到抛物线的焦点F 的
距离为 .
（10）在△ABC 中，已知2,3a b ==， 那么
sin sin()
A
A C =+ .
（11）函数2
2(0)
y x x x =+<的最大值为 .
（12）若非零向量a ，b 满足
+a b =-a b =2a
，则向量b 与+a b 的夹角为 .
（13）设函数()cos f x x =，(0,2)x ∈π的两个的零点为1x ，2x ，且方程m x f =)(有两
个不同的实根3x ，4x ．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数
m = ．
（14）如图,△ABC 是边长为1的正三角形,以A 为圆心,AC 为半径，沿逆时针方向画圆弧，
交BA 延长线于
1
A ，记弧
1
CA 的长为1l
；以B 为圆心，
1
BA 为半径，沿逆时针方向画
圆弧，交CB 延长线于
2
A ，记弧
12
A A 的长为2l
；以C 为圆心，
2
CA 为半径，沿逆时
针方向画圆弧，交AC 延长线于3A ，记弧23A A 的长为3l
，则
123+l l l +=
.
如此继续以A 为圆心，3
AA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交
1
AA 延长线
于
4
A ，记弧
34
A A 的长为4l
，
，当弧长
8n l =π
时，n = .
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心
角均为15，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外 完全相同)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.
（16）（本小题共13分）
已知函数
)π
3
2
2
cos(
)
3
π
2
cos(
)
(+
+
+
=x
x
x
f
，
()cos2
g x x
=.
（Ⅰ）若
)
2
π
,
4
π
(
∈
α
，且
3
5
3
)
(-
=
α
f
，求
()
gα的值；
（Ⅱ）若x
]
3
π
,
6
π
[-
∈
，求
)
(
)
(x
g
x
f+的最大值.
（17）（本小题共13分）
如图，在四棱锥P ABCD
-中,平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，四边形BCDE为矩形，
60 PAD
∠=
，PB=22
PA ED AE
===.
（Ⅰ）若
()
PF PC
λλ
=∈R
，且PA∥平面BEF,求λ的值；
（Ⅱ）求证：CB⊥平面PEB.（18）（本小题共13分）
已知等比数列{}
n
a
的前4项和45
S=，且122
3
4,,
2
a a a
成等差数列．
（Ⅰ）求{}
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）设{}
n
b
是首项为2，公差为1a-的等差数列，其前n项和为n T，求满足10
n
T
-
>
的最大正整数n．
（19）（本小题共14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F
为左焦点，且
12
AF =，又椭圆C 过点(0,．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆22+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率
分别为1k ,
2
k ，若
12
34k k =
，证明：A ,P ,Q 三点共线．
（20）（本小题共14分）
已知函数
325()2f x x x ax b =+
++ ,327
()ln 2g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）．
（Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；
（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实
数b 的取值范围；
（Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．
北京市东城区2014-2015学年第二学期综合练习（二）
高三数学（文科）答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）B （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）2 52 （10）32
（11） 4- （12）6π
（13）
23
-
（14）4π 12
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：设顾客去甲商场，转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A ，
试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为2
r π（r 为圆盘的半径)，阴影区域的面
积为
22
142126S r r ππ
=⨯⨯=. 所
以
，
2
216()6r
P A r π==π. (5)
分
设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B ，记盒子中3个白球为1
a ，
2
a ，
3
a ，3
个红球为
1
b ，
2
b ，
3
b ，记(,)x y 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：12(,)
a a ，
13(,)
a a ，11(,)
a b ，
12(,)
a b ，13(,)
a b ，
23(,)
a a ，
21(,)
a b ，
22(,)
a b ，
23(,)
a b ，
31(,)a b ，
32(,)
a b ，
33(,)a b ，
12(,)
b b ，
13(,)
b b ，
23(,)
b b ，共15种.
摸到的2个球都是红球有
12(,)b b ，
13(,)b b ，
23(,)
b b ，共3种.
所以，
()P B =31155=
. …………………………
11分
因为()()P A P B <， 所
以
，
顾
客
在
乙
商
场
中
奖
的
可
能
性
大． …………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由
)
π32
2cos()3π2cos()(+++=x x x f 得()
f x x x x x 2sin 232cos 212sin 232cos 21---=
x 2sin 3-=. …………………………4分
因为
353)(-
=αf ，即3532sin 3-=-α，所以
53
2sin =α. 又因为
)
2π,4π(∈α，所以)
π,2π
(2∈α. 故
542cos -
=α，即
54
)(-
=αg . …………………………7分
（Ⅱ）)()(x g x f +x x 2cos 2sin 3+-=)
3π
2cos(2+=x . 因为x ]3π,6π[-∈，所以]
π,0[3π
2∈+x .
所以当
3π2=+
x ，即
6π
-=x 时，)()(x g x f +有最大值，最大值为2. ………………13分
（17）（共13分）
证明：（Ⅰ）连接AC 交BE 于点M ，连接FM .
因为PA
平面BEF ，平面PAC
平面BEF FM =，所以FM
AP .
因为EM
CD ，所以1
2AM AE MC ED ==
. 因为FM
AP ，所以1
2PF AM FC MC ==
. 所以
13λ=
.
…………………………6分
（Ⅱ）因为2,1,60,AP AE PAD ==∠=
所以PE =所以PE AD ⊥.
又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD
平面ABCD AD =,
PE ⊥平面ABCD ，所以PE CB ⊥.
又BE CB ⊥,且PE
BE E =, 所以CB ⊥平面
PEB . …………………………13分
（18）（共13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为12234,,2a a a 成等差数列，
所以122
43a a a +=.整理得12
2a a =，即
112a a q
=，解得2q =.
又414(12)512a S -==-，解得
11
3a =
.
所以
1
1
23n n a -=⨯. …………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1
a -1
=3-, 所以
172+(1)()33n n
b n -=-=
-. n T 72+
(13)3=
26n
n n n --⨯=. ………………
…………10分
所以由10n T ->，得[13(1)](1)
06n n --->，
整理得(1)(14)0n n --<， 解得114n <<.
故满足10
n T ->的最大正整数为
13. …………………………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知可得2a c -=
，b =222
12b a c =-=，
解得4a =.
故所求椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=． …………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知(4,0)A -，(4,0)B .设
11(,)
P x y ，
22(,)
Q x y ，
所以
2
11112
1114416PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--.
因为
11(,)
P x y 在椭圆C 上，
所以221111612x y +=，即
22
113124y x =-. 所以
2
1
12131234164PA x k k x -
⋅==-
-.
又因为
12
34k k =
，
所以21PA k k ⋅=-. （1） 由已知点
22(,)
Q x y 在圆22
16x y +=上，AB 为圆的直径，
所以QA QB ⊥.
所以21QA k k ⋅=-. （2） 由(1)（2）可得
PA QA
k k =．
因为直线PA ，QA 有共同点A ，
所以A ，P ，Q 三点共线． …………………………14分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）设()g x 在1x =处的切线方程为5y kx =-，
因为
21
()37,(1)11g x x x g x ''=++
=，
所以11k =，故切线方程为115y x =-.
当1x =时，6y =，将(1,6) 代入
32
7()ln 2g x x x x b =+
++，
得
3
2b =
． …………………………3分
（Ⅱ）()2'35f x x x a
=++， 由题意得方程32325352x x ax b x x ax x +++=+++有唯一解，
1)(,)8-+∞（Ⅲ）
2()ln ,F x ax x x =-- 所以221'()x ax F x x -+=-.
因为()F x 存在极值，所以221'()0x ax F x x -+=-=在),0(+∞上有根，
即方程0122=+-ax x 在),0(+∞上有根，则有2=80a ∆-≥.
显然当=0∆时，()F x 无极值，不合题意；
所以方程必有两个不等正根．
记方程0122=+-ax x 的两根为21,x x ，则
12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，
2212121212()()()()(ln ln )F x F x a x x x x x x +=+-+-+
21ln 14222-+-=a a >15ln 2- ,
解得162>a ，满足0∆>. 又
1202a x x +=>，即0a >， 故所求a 的取值范围是),4(+∞． …………………………14分。