(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0a
b c d a
-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ） A ．4
B ．
92
C
D ．2
2．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11
a
b
+的最小值是
( ) A ．2
B
．C ．4
D
．3．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（ ） A ．1-
B ．1
C ．3
D ．4
4．设a 为实数，函数()3
2
(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为（ ） A ．20x y +=
B ．20x y -=
C ．0x y -=
D ．0x y +=
5．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题： ①若12x x <，则
()()12212
1f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()12012
1
f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则
()()1212
1f x f x x x -<-；
④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
. 其中正确的命题个数是（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
6．曲线2
x
y x =
-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+
C ．23y x =-
D ．2y x =-
7．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
8．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的
前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．
2016
2017
B ．
2017
2018
C ．
2018
2019
D ．
2019
2020
9．设曲线3
1
x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4
B ．14
-
C ．
14
D ．4
10．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <
11．曲线1
2e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A ．
29e 2
B ．24e
C ．22e
D ．2e
12．下列导数运算正确的是
A ．()sin 'cos x x =-
B ．()3'3x x
=
C ．()21log 'ln2x x =
⋅ D ．211'x x
⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题
13．已知函数
的图像在点处的切线与直线
垂直，若数列
的前项和为，则__________． 14．函数
在
处的切线与直线
垂直，则a 的值为______．
15．已知曲线方程为1
1y x
=
-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 16．以下四个命题错误的序号为_______
(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.
(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,
x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均
数是11，方差是12.
(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.
17．对于曲线4
()1
x
f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线2
21()ln 2
g x ax x x x =-
+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是
____________.
18．已知函数()()2
0,0f x ax bx a b =+>>的图象在点()()
1,1f 处的切线的斜率为2，
则
8a b
ab
+的最小值为___________ 19．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________.
20．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+（t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.
三、解答题
21．已知函数
22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．
（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；
（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点． （i ）求a 的值；
（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围． 22．已知函数()m
f x mx x
=-
，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；
（3）若(1]x e ∈，
时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 24．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21
x x
f x x =
-+. 25．已知函数（
）
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当
时，试讨论
的单调性．
26．（1）求曲线1
y x
=
在点()1
1--，处的切线方程； （2）求经过点（4，0）且与曲线1
y x
=
相切的直线方程.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln x
y x
=
上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln x
y x
=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -
+-+=，∴ln a
b a =，2d
c =+，设(,)P a b ，(,)Q c
d ，则点P 在曲线ln x
y x
=
上，Q 在直线2y x =+上， 设曲线ln x
y x
=
上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 2
1ln x
y x -'=
， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln x
y x
=递减，max ln 1
e y e e
=
=， 直线2y x =+在曲线ln x
y x
=
上方， 由0
2
1ln 1x x -=，即2
00ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．
0ln1
01y =
=，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+
的距离为2h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为2
9
2
h =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，
(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线
上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．
2．C
解析：C 【分析】
求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】
解：()y ln x b =+的导数为1
y x b
'=
+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，
a 、
b 为正实数，
则
111()()22241b a b a a b a b a b a b a b
+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11
a b
+取得最小值4． 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．
3．C
解析：C 【分析】
设切点坐标为()0,1x ，求导得到44y x '=-，计算得到答案. 【详解】
设切点坐标为()0,1x ，∵44y x '=-，由题意知，0440x -=，∴01x =，即切点为
()1,1，∴124p =-+，∴
3p =.
故选：C . 【点睛】
本题考查了根据切线求参数，意在考查学生的计算能力.
4．C
解析：C 【分析】
求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点
()()0,0f 处的切线方程即可.
【详解】
由题, ()()2
321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,
故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.
故()3f x x x =+,()2
31f x x ='+.
又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
对于①，设112x =，21x =，
()()121221ln ln1122ln 21112
f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；
作出函数()ln f x x =的图象，取点()()
11,C x f x ，点()()
22,D x f x ，取线段CD 的中点
B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即④成立.
在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对.
对于③，1
()f x x
'=
，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对. 故选：B.
【点睛】
本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.
6．A
解析：A 【分析】
求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】
2
x
y x =
-的导数为22'(2)y x =--， 可得曲线2
2
y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2
x
y x =
-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--， 即21y x =-+， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
7．C
解析：C 【分析】
先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】
当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．
2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y π
ππ=∴=-=-'
则2sin cos y x x =+在点
(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
8．D
解析：D 【分析】
根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前
2019项的和.
【详解】
由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =
()2f n n n ∴=+ ()()211111
11
f n n n n n n n ∴
===-+++ 2019111111112019
112233420192019120202020
S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.
9．D
解析：D 【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】
解：由31x y x +=-，得()()
2213411x x y x x ---=---'=，
∴2'|4x y ==-， 又曲线3
1
x y x +=
-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，
∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．
10．B
解析：B 【分析】 令()()x
f x
g x e
=
，x ∈R ．()()
()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()
()x
f x
g x e =，x ∈R ． ()()
()x
f x f x
g x e '-'=
， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，
(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，
可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．D
解析：D 【详解】 因为曲线12x
y e =，所以
1
212
x y e '=切线过点（4，e 2）
∴f′（x ）|x=4=
12
e 2
， ∴切线方程为：y-e 2=
12
e 2
（x-4）， 令y=0，得x=2，与x 轴的交点为：（2，0）， 令x=0，y=-e2，与y 轴的交点为：（0，-e2），
∴曲线1
2x y e =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=1
2
×2×|-e 2|=e 2. 故选D ．
12．C
解析：C 【分析】
根据基本导数公式判断即可． 【详解】
()sin 'cos x x =，()3'3ln 3x
x
= ，()21log 'ln2x x =
⋅，'
211x x
⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】
本题考查了基本导数公式，属于基础题
二、填空题
13．n2n+1【解析】【分析】利用导数的几何意义求a 然后通过数列{1f(n)}的通项公式利用裂项法进行求和即可求出Sn 【详解】由题意知f(x)=2ax 则k=f(1)=2a2a ⋅(-18)=-1故a=4f 解析：
【解析】 【分析】
利用导数的几何意义求a ，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出
． 【详解】 由题意知
，则
，
，故，
，故
，
.
故答案为
【点睛】
本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题
14．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：
【解析】 【分析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数
在
处的切线与直线
垂直，
所以函数在处的切线斜率，
因为，所以
，解得
，
故答案是0. 【点睛】
该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.
15．【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率再根据点斜式求切线方程【详解】设是点P 附近的一点则当无限趋于0时无限趋于常数1∴曲线在点P 处有切线且切线的斜率为1故所求切线方程为【点睛】本题考查导 解析：30x y --=
【解析】 【分析】
根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】
设()12,12Q x x ⎛⎫+∆ ⎪ ⎪-+∆⎝
⎭是点P 附近的一点， 则
()
()1
1
12111PQ x x k x
x x x
+-+∆-∆=
=
=
∆∆--∆+∆．
当x ∆无限趋于0时，PQ k 无限趋于常数1，
∴曲线1
1y x
=-在点P 处有切线，且切线的斜率为1， 故所求切线方程为30x y --=．
【点睛】
本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.
16．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关
解析：（1）（2）（4） 【解析】
分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；
(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．
对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.
详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错
误；
对于(2), 设直线2
22233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，，
又∵直线与曲线均过点22-（，）
，于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）
时，9k =-． 若直线与曲线切于点
0002x y x ≠（，）（）， 则3200000000022
32122
y y k y x x x x x x ++=
=-∴=-----，，， 又
200|33k y x x x ='==-，
2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，， 故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,
x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21
x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；
对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）
点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..
17．【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案详解：∵∴∵故∵∴g′′（x ）=2（lnx+1）当x ∈（0）时g′′（x ）＜0g′（x ）为减函数；当x ∈（
解析：2,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【解析】
分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系，进而可得答案．
详解：∵()41
x f x e =+，∴()244
1(1)2x x x x
e f x e e e --==
+'++
∵11224x x
x x
e e e
+
+≥+=,故()[)'10f x ∈﹣， ∵()2
21ln 2
g x ax x x x =-
+,∴()'2g x a xlnx =+， g′′（x ）=2（lnx+1）， 当x ∈（0，
1
e
）时，g′′（x ）＜0，g′（x ）为减函数；
当x ∈（1
e
，+∞）时，g′′（x ）＞0，g′（x ）为增函数； 故当x=
1e 时，g′（x ）取最小值a ﹣2e ，即g′（x ）∈[a ﹣2
e
，0） 若对于曲线()4
1
x f x e =
+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线l 1， 总存在在曲线()2
21ln 2
g x ax x x x =-+上一点处的切线l 2，使得l 1∥l 2， 则[﹣1，0）⊆[a ﹣2e ，0）,即a ﹣2
e
≤﹣1． 解得：a ∈2,
1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 故答案为：2,
1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
. 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．
18．9【解析】分析：求出原函数的导函数由=2a+b=2得a+=1把变形为+后整体乘以1展开后利用基本不等式求最小值详解：由f （x ）=ax2+bx 得=2ax+b 又f （x ）=ax2+bx （a ＞0b ＞0）在点
解析：9 【解析】
分析：求出原函数的导函数，由(1)f '=2a+b=2，得a+2b =1，把8a b ab +变形为8b +1a
后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值． 详解：由f （x ）=ax 2+bx ，得()f x '=2ax+b ，
又f （x ）=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）在点（1，f （1））处的切线斜率为2， 所以(1)f '=2a+b=2，即a+2
b
=1． 则
8a b ab +=8b +1a =（8b +1a ）（a+2b ）=5+8a b +2b
a
≥9． 当且仅当8a b =2b
a ，即a=13
，b=43时“=”成立．
所以
8a b
ab
+的最小值是9． 故答案为：9
点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是
8a b ab +=8b +1a =（8b +1a ）（a+2
b
），这里
利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+2
b
”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.
常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.
19．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π
【解析】
三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为
=，表面积为246r ππ=
20．【解析】由题意可得所以第4秒末的瞬时速度为填
解析：3
2
【解析】
由题意可得t S t =+（）()1s t
=+
'所以第4秒末的瞬时速度为3(4)1
2
s '==，填32。

三、解答题
21．（1）34
0x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-
【解析】
试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程． （2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即
()12ln x x
a x
--⋅=
，构造函数h （x ）=
()12ln x x
x
--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递
增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）
min ≥m ．
试题
（1）当1a =-时，()()
22
2ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，
∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()
1,1f 处的切线方程340x y +-=.
（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()
22
2ln 22x x x ax x -++=+
∴()12ln x x
a x
--⋅=
令()()12ln x x
h x x
--⋅=
， 则
()222
1122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-
+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()22
1x t x x x
'--=--
= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数 又()()110t h '==，
∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.
（ⅱ）当1a =，()()
22
2ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，
只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或3
2x e -=，
2e x e -<<，∴函数()g x 在3
22,e e --⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增.
又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
， ()2
23g e e e =-
()3333
22213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3
2g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭
.
∴()()2
max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.
22．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛
⎫
-∞ ⎪-⎝⎭
，. 【解析】
试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可
得到答案；
（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值． 试题
（1）2m =时，()22f x x x =-，()22
2f x x
='+，()14f '=，切点坐标为()10，
， ∴切线方程为44y x =-
（2）1m =时，令()()()1
2ln h x f x g x x x x
=-=-
-， ()()2
2211210x h x x x x
-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，
内无实数根. （3）2ln 2m
mx x x
-
-<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]
1x e ，
∈时，222ln 1
x x x
m x +<-恒成立，
令()2
22ln 1
x x x
G x x +=
-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()
()
22
2
2ln ln 2
1
x x x G x x
-++-'=
，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]
1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]
1e ，
上单调递减，∴()G x 在(]
1e ，的最小值为()2
41
e
G e e =-， 则m 的取值范围是2
41e e ⎛⎫
-∞ ⎪-⎝⎭
，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 23．（Ⅰ）1y =-；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据切线的几何意义得到切线的斜率()00k f ='=，()01f =-，所以切线方程为1y =-；（2）先证充分性再证必要性，含参讨论，函数图像和x 轴的交点情况。

（Ⅰ）依题意，()2,x
f x xe ax x R =+∈'
所以切线的斜率()00k f ='=
又因为()01f =-，所以切线方程为1y =-. （Ⅱ）先证不必要性.
当0a =时，()()1x
f x x e =-，令()0f x =，解得1x =.
此时，()f x 有且只有一个零点，故“()f x 有且只有一个零点则0a <”不成立. 再证充分性. 方法一：
当0a <时，()()
2x
f x x e a '=+.
令()0f x '=，解得()120,ln 2x x a ==-. （i ）当()ln 20a -=，即12
a =-时，()()10x
f x x e -'=≥， 所以()f x 在R 上单调增. 又
()()2010,220f f e =-=-，
所以()f x 有且只有一个零点. （ii ）当()ln 20a -<，即1
02
a -
<<时， ()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
当0x ≤时，10x e -<，20ax ≤，所以0f x < 又()2
2
2420f e a e =+>->
所以()f x 有且只有一个零点. （iii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-
时，()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
因为()010f =-<，所以()(
,ln 2x a ⎤∈-∞-⎦时，()0f x < 令01x a =-，则01x >. 下面证明当1x >时，2x e x >.
设()2
(1)x x g x x e =>，则()()2'x
x x g x e
-=. 当()1,2x ∈时，()()'0,g x g x >在1,2（）上单调递增； 当()2,+x ∈∞时，()()'0,g x g x <在2,+∞（）上单调递减.
所以当=2x 时，()g x 取得极大值()2
4
21g e =<. 所以当1x >时，()1g x <, 即2x x e <.
所以()(
)00
22
0000x
x f x ae ax a x e
=-+=->.
由零点存在定理，()f x 有且只有一个零点.
综上，0a <是函数()f x 有且只有一个零点的充分不必要条件. 方法二：
当0a <时，注意到0x ≤时，()10x
x e -<，20ax ≤，()0f x ∴<，
因此只需要考察()0,+∞上的函数零点. （i ）当()ln 20a -≤，即1
02
a -
≤<时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴单调递增.
又()()22
10,2420f a f e a e ==+≥-
()f x ∴有且只有一个零点.
（ii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-
时，以下同方法一. 点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
24．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）2
1
'()2ln 2(1)
x f x x =-+. 【分析】
(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】
(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.
(2)f(x)=
1x x +-2x =1-11
x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2x
ln 2. 【点睛】
本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 25．（1）
（2）当时，在
上单调递减，在单调递增；
当时，
在
上单调递减； 当时，在
和
上单调递减，在
上单调递增。

【解析】
试题分析：（1）当
时，，由导数几何意义得曲线在
处的切线斜率为
，由直线点斜式方程求切线方程；（2）讨论函数单
调性，实质是考虑导函数符号，先求导函数得，转化为研究函数
的函数值符号，当易求；当
时，方程
的两根为
或
，通过比较根的大小以及根与定
义域比较，画出二次函数在给定定义域的图像，根据图像确定二次函数函数值的符号，进
而确定导函数符号，从而可判断单调性． 试题 （1），
，
切线：
（2）
①时，
在
单调递减，在
单调递增； ②时，在
单调递减，单调递增，在
单调递减；
③时，
在
单调递减；
④时，
在单调递减，在
单调递增，在
单调递
减； ⑤
时，
在
单调递增，在
单调递减；
考点：1、导数几何意义；2、利用导数判断函数单调性． 26．（1）20x y ++=；
（2）440x y +-= 【分析】
（1）求出函数在1x =-处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程； （2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为00
1
(,
)x x ，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即可求出切点的坐标，进而写出切线方程. 【详解】 解：
1
y x =
，21y x
'∴=- （1）当1x =-时，得在点()1
1--，处的切线的斜率为1-， ∴切线方程为：1(1)y x +=-+，即20x y ++=；
（2）设切点为00
1(,
)x x ，则切线的斜率为201
x -
∴切线方程为0200
11
()y x x x x -
=--， 切线过点(4,0)，
0200
11
(4)x x x ∴-
=--，解得02x =， ∴所求切线方程为11
(2)24
y x -
=--， 即440x y +-=. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.。