浙江省温州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学试题【含答案】

2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测
数学试题（B 卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：
1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上.
2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.
3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数32z i =-的虚部为（）
A ．2
B ．2
-C ．2i
-D ．2i
2．已知向量)
3,1a =
，(3b = ，则a b ⋅= （
）
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．3
3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列是真命题的是（）
A ．若//m α，//n α，则//m n
B ．若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥
C ．若m α⊥，//n α，则m n
⊥D ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ
4．气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（）
A ．整个城市明天的平均降雨概率为50%
B ．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨
C ．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨
D ．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多
5．如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图为A B C ''' ，若1A B A C ''''==，B C ''=
，则BC =（
）
A
B
C ．
D ．6．一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设A =“第一次摸到黑球”，B =“第二次摸到红球”，则A 与B 的关系为（）
A ．互斥
B ．互为对立
C ．相互独立
D ．相等
7．已知平面向量1e 和2e 满足2122e e == ，1e 在2e 方向上的投影向量为214
e -
，则2e 在1e 方
向上的投影向量为（）A ．1
-B ．12
-
C ．1
12
e - D ．1
e - 8．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为（
）
A ．2π
3
B ．π
C ．2π
D ．4π
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，则下列结论正确．．的是（）
A ．::::A
B
C a b c =B ．πA B C ++=C ．若A B >，则a b >
D ．4ABC abc
S R
=
△（R 为ABC 的外接圆半径）10．已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）
A ．1
z z ⋅=B ．1z z
+∈R
C ．1z -的最大值为2
D ．21
z =11．小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不．公平的是（）
A ．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜
B ．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜
C ．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷
D ．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷
非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．已知复数z 满足()1i 42i z +=-，则z =.
13．如图，在ABC 中，π
3
BAC ∠=
，点P 在线段BC 上，若ABC 的面积为12
AP mAC AB =+
，则AP 的最小值为
.
14．已知样本数据129,,,x x x 的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x ，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．已知a ，b
为单位向量.
(1)若=+
c a b ，求c 的最大值；
(2)若a b ⊥ ，求2a b + 与a
夹角的余弦值.
16．在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PC 两两垂直，1PA =，PB PC ==
(1)求三棱锥-P ABC 的表面积；(2)求P 到平面ABC 的距离.
17．如图，小明统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.小明按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了频率分布直方图.
(1)通话时长在区间[)15,20，[)20,30内的次数分别为多少？(2)若小明爸爸通话时间的众数是第p 百分位数，求p 的值.
18．在ABC 中，4AB =，2AC =，222sin sin sin sin sin A B C B C --=.(1)求A ；
(2)D 为边AC 的中点，E 为边BC 上一点，AE 交BD 于P .（i ）若E 为BC 的中点，求DPE ∠的余弦值；（ii ）当AE BD ⊥时，求PBC 的面积.
19．已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为线段CD 的中点，沿线段AE 将ADE V 翻折到APE V ，Q 为线段PB 的中点.
(1)证明：//CQ 平面PAE ；
(2)若平面PAE ⊥平面ABCE ，求直线CQ 与平面ABCE 所成角的正切值；
(3)当ADE V 在翻折过程中，是否存在点P 使直线PA 与直线CE 所成角为45 若存在，求出二面角P AE B --平面角的余弦值；若不存在，请说明理由.1．B
【分析】根据复数的概念可直接选出答案【详解】因为32z i =-，所以其虚部为2-，故选：B
【点睛】本题考查的是复数的概念，较简单.2．D
【分析】直接使用向量数量积的坐标表示即可.
【详解】11a b ⋅=+=
故选：D.3．C
【分析】根据线面关系可判断A ；举反例可判断BD ；利用线面平行、线面垂直的性质定理可判断C.
【详解】对于A ，若//m α，//n α，则//m n ，或,m n 相交，或异面，故A 错误；对于B ，如下图，m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则,αβ不一定垂直，故B 错误；
对于C ，因为//n α，过n 做平面β，与平面α交于直线l ，所以//n l ，因为l ⊂α，m α⊥，所以m l ⊥，m n ⊥，故C 正确；
对于D ，如图，m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则,αβ不平行，故D 错误.
故选：C.4．B
【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A ，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A 错误；
对于B ，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B 正确；对于C ，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C 错误；
对于D ，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D 错误.故选：B.5．D
【分析】计算得出
O C ''=2O B ''=，然后还原直观图得到ABC ，结合勾股定理计算即可.
【详解】因为1A B A C ''''==，B C ''=，
所以2
2
2
2A B A C B C +==''''''，所以C A A B ''''⊥，即C A O B ''''⊥，因为
45C O A '''∠= ，所以O C ''=1O A ''=，所以2O B ''=，
还原直观图得到ABC ，如图所示：
此时2,OB OC ==BC ==.
故选：D.6．C
【分析】根据概率值判断相等，再应用独立事件概率乘法公式判断独立事件.
【详解】因为A =“第一次摸到黑球”，B =“第二次摸到红球”，A 与B 不相等，D 选项错误；则()()11,22
P A P B ==,()()()()()11331,22664
P A P B P AB P A P B ⨯=
====⨯，,A 与B 相互独立，C 选项正确；A 与B 可以同时发生，A 选项错误；B 选项错误；故选：C.7．D
【分析】先根据投影向量公式求出向量数量积，再求出投影向量即可.【详解】因为1e 在2e 方向上的投影向量为214
e - ，所以122222
·14e e e e e e -=⨯
,又因为121,2e e == ，所以12
12·1,·144
e e e e =-=- ,2e 在1e 方向上的投影向量为
1211111
·11e e e e e e e -⨯=⨯=-
.
故选：D.8．A
【分析】根据等体积法求出内切球的半径即可进一步求解.
【详解】如图，
正八面体E ABCD F --的棱长为1，点O 为AC 中点（显然根据对称性可知点O 也是内切球球心），显然EO ⊥平面ABCD ，
因为直线AO ⊂平面ABCD ，所以EO AO ⊥，在正方形ABCD
中，12
AO AC =
所以2
EO =
，
正八面体的表面积为18112S =⨯⨯⨯=设内切球半径为r ，
由等体积法有，2111
2212333
E ABCD
F E ABCD V S r V ---=⨯==⨯⨯⨯⨯，
解得r =2
2π4π3S r ==.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是求出内切球的半径，由此即可顺利得解.9．BCD
【分析】对于A ，给出()(,,a b c =作为反例即可；对于B ，直接利用三角形的内角和为π即可；对于C ，使用余弦定理即可；对于D ，使用面积公式和正弦定理即可.
【详解】对于A ，由于当()(,,a b c =时，()πππ,,,,442A B C ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，从而::1:1:2A B C =，
::a b c =
，故A 错误；
对于B ，由于三角形的内角和为π，所以πA B C ++=，故B 正确；对于C ，若A B >，由于(),0,πA B ∈，故cos cos A B <.
所以22222222b c a a c b bc ac
+-+-<
，这就得到()()
222222
a b c a b a c b +-<+-.从而()()()(
)()
2222222
330b a c b a b c a ab a b c a b a b <+--+-=---+-()()
()()(
)
()()()2
2222a b ab c a ab b a b a b c a b a b c a b c =--+++=-+-=-+-++，
再由()()0a b c a b c +-++>得到0a b ->，即a b >，故C 正确；对于D ，有11sin 2224ABC c abc
S ab C ab R R
==⋅=△，故D 正确.故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对正弦定理和余弦定理的运用.10．ABC
【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.
【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；
112z z -≤+=,C 选项正确；
设i z a b =+,因为1,z =221,1a b =+=，所以
()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；
1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z
+
=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.11．AD
【分析】对于每个选项，由古典概型概率计算公式计算各自获胜的概率即可求解.【详解】对于A ，小明获胜的概率为211
632
P =
=<，故A 符合题意；对于B ，若要点数之和为奇数，则只能是一奇一偶，而每抛一次出现奇数，偶数的概率都是
12
，
但可能是先出现奇数，有可能先出现偶数，故小明获胜的概率为133331
66662
P ⨯⨯=+=⨯⨯，故B 不符合题意；
对于C ，若点数之和为6，则两个加数可以是()()()()()1,5,5,1,2,4,4,2,3,3，即小明获胜的概率为2556636
P =
=⨯，若点数之和为8，则两个加数可以是()()()()()2,6,6,2,3,5,5,3,4,4，即小红获胜的概率为
355
6636
P =
=⨯，故C 不符合题意；对于D ，抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，则这三个自然数可以是
{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6，
所以小明获胜的概率为443211
6669
P ⨯⨯⨯=
=⨯⨯，
若掷出的点数都相同，则这三个自然数可以是{}{}{}{}{}{}1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6，所以小红获胜的概率为561
66636
P ==⨯⨯，故D 符合题意.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：关键是准确计算出各自获胜的概率，由此即可顺利得解.12
【分析】根据复数的除法和复数模的计算公式即可得到答案.【详解】()()()
(42i)1i 42i 26i
13i 1i 1i 1i 2z ----=
===-++-，则
z =
13．【分析】先通过三角形面积公式、三点共线结论得出⋅=AB AC 16以及1
2
m =，再结合模长公式以及基本不等式即可求解.
【详解】若
ABC 的面积为π3BAC ∠=
，则12AB AC ⋅=⋅=AB AC 16，又因为12
AP m AC AB =+
，点P 在线段BC 上，
所以112m +
=，所以12
m =
，AP =
=
4AC AB ==，所以AP
的最小值为
故答案为：14．19.8
【分析】利用平均数公式和方差公式计算.【详解】设增加的数为k ，
则12981x x x +++= ，129100x x x k ++++= ，所以19k =，
又因为()9211912,9i i x =-=∑ 即()9
2
1
9108,
i i x =-=∑所以()()()()999
222
11111101092998119.8,1010i i i i i i x k x x ===⎡⎤⎡⎤-+-=---++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑∑故答案为:19.8.15．(1)2
【分析】（1）利用三角不等式求解；（2）利用数量积的定义和坐标表示求解.
【详解】（1）由于112c a b a b =+≤+=+= ，且当a b = 时222c a b a a =+=== .所以c r 的最大值是2.
（2）由已知有0a b ⋅= ，故()
222cos 2,22a b a a a b a a b a a b +⋅⋅+==+⋅+ .
所以2a b + 与
a .
16．(1)1
【分析】（1）根据勾股定理求出三角形ABC 的三条边长，结合余弦定理、平方关系以及得出sin BAC ∠，再结合三角形面积公式即可求解；
（2）由等体积法列方程即可求解.
【详解】（1）
因为,,PA PB PC 两两垂直，1
PA =，PB PC
==，
所以2AB AC BC ===，所以(
)2334
1cos ,sin 32BAC BAC +-∠==∠=⨯从而三棱锥-
P ABC
的表面积为
11112211122223
S =⨯+⨯++⨯=+；（2）设点P 到平面ABC 的距离为h ，
由（1）得三角形ABC
的面积为1123
S =，由等体积法有，A PBC P ABC V V --=
，即1111323
h ⨯=，解得22h =，所以点P 到平面ABC 的距离为22
.17．(1)9；12
(2)15
【分析】（1）根据频率直方图的性质求出a 值，利用在区间[)15,20，[)20,30的频率求得通话时长在区间[)15,20，[)20,30内的次数；（2）由众数结合百分位的定义求解即可.
【详解】（1）由频率直方图的性质可得(0.060.0460.0240.0302)51a ++++⨯=，解得：0.020a =，
所以通话时长在区间[)15,20内的次数为0.0305609⨯⨯=次；
通话时长在区间[)20,30内的次数为0.04056012⨯⨯=次；
（2）由图可得通话时长众数为2.5，所以0.0350.15⨯=，则小明爸爸通话时间的众数是第15百分位数，即15
p =18．(1)2π3A =
(2)（i
）7-；（ii
）7
【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理即可求解；
（2）（i ）分解向量得1122AE AB AC =+ ，12BD AB AC =-+ ，再分别求出它们的模、数量积，结合向量夹角公式即可求解；（ii ）设()1AE AB AC λλ=+- ，由12BD AB AC =-+ 以及AE BD ⊥，可求出λ，再结合三点共线的向量推论得出PE AE
的值即可得出面积比，再结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A B C B C --=，所以222a b c bc --=，即222b c a bc +-=-，所以2221cos 222
b c a bc A bc bc +--===-，
因为()0,πA ∈，所以2π3
A =；（2）（i ）若E 为BC 的中点，D 为边AC 的中点，则1122AE A
B A
C =+ ，()
1111122222BD BA BC BA BA AC AB AC =+=++=-+
，
从而AE =
BD = ，
22111111222244AE BD AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
221111442262424⎛⎫=-⋅-⋅⋅⋅-+⋅=- ⎪⎝⎭，
所以cos cos ,AE BD DPE AE BD AE BD
⋅∠====⋅ 所以DPE ∠
的余弦值为（ii ）由（2）（i ）可知，12BD AB AC =-+ ，因为,,B C E 三点共线，所以可设()1AE AB AC λλ=+- ，当AE BD ⊥时，
()112AE BD AB AC AB AC λλ⎛⎫⎡⎤⋅=+--+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 2231122AB AB AC AC λλλ-⎛⎫=-+-⋅+ ⎪⎝⎭
2231141422222λλλ-⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅⋅⋅-+⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
166422λλλ
=--++-2460λ=-+=，所以14
λ=，
所以1344
AE AB AC =+ ，因为,,B P D 三点共线，所以设()112AP AB AD AB AC μμμμ-=+-=+ ，因为AE 与AP 是共线向量，且AC 与AB 不共线，所以132μμ-=，解得17μ=，所以134777AP AB AC AE =+= ，37PE AE = ，所以点P 到BC 的距离与点A 到BC 的距离之比为
3sin 3:77sin AEB AEB ∠=∠，所以PBC 的面积为3313634277227PBC ABC S S ==⋅⋅⋅⋅= .【点睛】关键点点睛：第二问（ii ）的关键是得出PE AE
的值，由此即可顺利得解.19．(1)证明过程见解析(2)1
321
【分析】（1）设点F 是线段AP 的中点，连接,FE FQ ，只需证明//CQ FE ，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）将问题转化为求FE 与平面ABCE 所成角的正切即可，然后根据定义找到线面角，结合解三角形知识即可求解；
（3）设二面角的余弦值为cos θ，利用二面角的余弦值表示出得到232cos PB θ=- ，利用直
线PA 与直线CE 所成角为45 ，结合余弦定理得到2522PB =±，从而建立方程即可求解.
【详解】（1）如图，点F 是线段AP 的中点，连接,FE FQ ，
因为点Q 是线段PB 的中点，所以1//,2FQ AB FQ AB =
，因为1//,2
EC AB EC AB =，所以//,FQ EC FQ EC =，即四边形FQCE 是平行四边形，所以//CQ FE ，又因为CQ ⊄平面PAE ，FE ⊂平面PAE ，
所以//CQ 平面PAE ；
（2）如图，
过分别过点,P F 作,PH AE FG AE ⊥⊥，垂足分别为,H G ，
因为点F 为线段AP 的中点，//FG PH ，所以FG 是三角形PAH 的中位线，所以12
FG PH =，而1,90PA PE APE ==∠= ，所以2AE =45PAE ∠= ，PH 也是三角形PAE 的中线，所以11224FG PH AE =
==2AG FG =32GE 1tan 3FEG ∠=，因为FG AE ⊥，且平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE 平面ABCE AE =，FG ⊂平面PAE ，所以FG ⊥平面ABCE ，
所以FEG ∠为FE 与平面ABCE 所成的角，
因为//EF CQ ，
所以直线CQ 与平面ABCE 所成角的正切值即为13
；（3）如图，
一方面：因为1,90BC CE BCE ==∠= ，
所以BE AE ==，又因为2AB =，
所以222AE EB AB +=，即EB EA ⊥，
设,HP EB θ= ，
因为PH AE ⊥，EB EA ⊥，
所以二面角P AE B --平面角的大小即为,HP EB θ= ，
而22PH HE EB ===，
所以()
()2211222cos π32cos 222PB PH HE EB θθ=++=++⋅⋅-=- ，另一方面：若直线PA 与直线CE 所成角为45 ，且注意到//CE AB ，所以45PAB ∠= 或135PAB ∠= ，
又因为1,2PA AB ==，
所以222
2cos PB PA AB PA AB PAB =+-⋅⋅∠，即222212212522PB ⎛=+-⋅⋅⋅±=± ⎝⎭
令32cos 5θ-=±，解得()cos 11,1θ=∈-满足题意，
cos 11θ=-<-，不满足题意，舍去；
综上，存在点P 使5PB =-PA 与直线CE 所成角为45 ，
此时所求二面角P AE B --平面角的余弦值为cos 1θ=.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到232cos PB θ=- 以及25PB =±顺利得解.。